L'étude des propriétés des nombres entiers et rationnels se nomme l'arithmétique a) Diviseurs d’un entier a et b sont deux entiers On dit que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b si a b est un entier Ex : 5 est un diviseur de 30 car 30 5 = 6 est un entier
3ème / Arithmétique / Leçon page 8 / 8 Si on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, alors on obtient une fraction irréductible
Arithmétique : les nombres premiers, décomposition en facteurs premiers « Dieu a fait le nombre entier, le reste est l’œuvre des hommes » Leopold Kronecker Introduction L’arithmétique est le domaine des mathématiques qui s’intéresse aux propriétés des nombres entiers Dans cette leçon, nous allons comprendre et utiliser les
3ème ARITHMETIQUE Leçon1 Pascaldorr © www maths974 I DIVISIBILITE a Division euclidienne Définition: Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est
Arithmétique Exemple : Simplifier la fraction 556 148 Recherchons le Plus Grand Commun Diviseur de 556 et 148 7 est le dernier reste non nul de cet algorithme donc : pgcd (556 ; 148) = 4 On en déduit que la fraction peut être simplifiée par 4 : 556 148 = 556 ∶ 4 148 ∶ 4 = 139 37
Chapitre n°3 : Arithmétique 1) Diviseurs et multiples Activité d’introduction: Une librairie a reçu 259 livres On les range sur des étagères pouvant contenir chacune 25 livres Combien faut-il prévoir d’étagères ? IL faut prévoir 11 étagères : 10 étagères pour ranger 250 livres et une étagère
Cours d’arithm´etique Premi`ere partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi D´ecembre 2004 Ce document est la premi`ere partie d’un cours d’arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´e-
L'arithmétique est l'étude des propriétés des nombres entiers, appelés aussi entiers naturels L'ensemble N des entiers naturels est l'ensemble fondamental à partir duquel se sont construites les mathématiques, nous admettrons l'existence de cet ensemble ainsi que les trois propriétés qui le caractérisent : N
EN ARITHMÉTIQUE Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques – Grandeurs et Mesure au collège – Année 2014/2015 • Comment résoudre un problème à l’aide d’équations ? • Comment exprimer des relations entre grandeurs ? (formules générales, équations de courbes, équations différentielles )
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1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr ARITHMETIQUE Le mot vient du grec " arithmos » = nombre. En effet, l'arithmétique est la science des nombres. Citons la célèbre conjecture de Goldbach énoncée en 1742 et à ce jour jamais démontrée : " Tout nombre entier pair est la somme de deux nombres premiers » I. Divisibilité 1) Rappels Un nombre entier est divisible : - par 2, si son chiffre des unités est pair, - par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, - par 10, si son chiffre des unités est 0, - par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, - par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemples : 1) 30 est divisible par 2, 5, 10 et 3. 2) 1071 est divisible par 3 et 9 3) 3192 est-il divisible par 7 ? Méthode : 3 1 9 2 on soustrait le double de 2 à 319 - 4 3 1 5 on soustrait le double de 5 à 31 - 1 0 2 1 21 est divisible par 7, donc 3192 aussi. 3) 61952 est-il divisible par 11 ? Méthode : 6 1 9 5 2 on soustrait 2 à 6195 - 2 6 1 9 3 on soustrait 3 à 619 - 3 6 1 6 on soustrait 6 à 61 - 6 5 5 55 est divisible par 11, donc 61952 aussi.
2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exercices conseillés En devoir p46 n°20 à 22 p46 n°33 à 37 p53 n°136 p46 n°30 et 32 p55 n°2, 3 et 4 2) Nombres premiers Définition : Un nombre est premier s'il possède deux diviseurs uniques qui sont 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Cette liste est infinie. 3) Diviseurs communs à deux entiers Exemple : Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20 4) PGCD Définition : Le PGCD de deux nombres entiers est le Plus Grand Commun Diviseur à ces deux entiers. Exemple : Le PGCD de 60 et 100 est donc 20, on note PGCD(60,100) = 20 Exercices conseillés En devoir p47 n°40 à 44 p51 n°111 p50 n°106 à 108 5) Algorithme de calcul du PGCD de deux nombres entiers Le mot " algorithme » vient d'une déformation du nom du mathématicien perse al Khwarizmi (IXème siècle). Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s'exécutent toujours de la même façon.
3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode 1 : L'algorithme d'Euclide Déterminons PGCD(252,360) - on divise le plus grand par le plus petit : 360 252 108 1 - on divise le diviseur précédent par le reste précédent 252 108 36 2 - on divise le diviseur précédent par le reste précédent 108 36 0 3 - le reste est nul, on arrête. PGCD(252 , 360) = 36 (dernier reste non nul) Exercices conseillés En devoir p44 n°5 et 6 Méthode 2 : Soustractions successives Déterminons PGCD(252,360) : - on soustraie le plus grand par le plus petit : 360 - 252 = 108 - on soustraie les plus petits entre eux : 252 - 108 = 144 - on soustraie les plus petits entre eux : 144 - 108 = 36 - on soustraie les plus petits entre eux : 108 - 36 = 72 - on soustraie les plus petits entre eux : 72 - 36 = 36 - on soustraie les plus petits entre eux : 36 - 36 = 0
4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr - la différence est nulle, on arrête. PGCD(252,360) = 36 (dernière différence non nulle) Exercices conseillés En devoir PGCD(295,177) PGCD(405,243) PGCD(494,143) Sol : 59, 81 et 13 p44 n°3 et 4 Problèmes : p47 n°55 à 57 p49 n°83 et 84 p52 n°130, 134 p53 n°138 p44 n°7 et 8 p49 n°87 et 90 TP info : L'algorithme d'Euclide http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Euclide.pdf http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Euclide.ods (feuille de calcul OOo) TP info : L'algorithme le plus performant http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Compa_algo.pdf http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Compa_algo.ods (feuille de calcul OOo) ou TICE p56 n°30 II. Nombres premiers entre eux Exemple : Tous les diviseurs de 10 sont : 1, 2, 5, 10 Tous les diviseurs de 7 sont : 1, 7 donc PGCD(10,7) = 1 On dit que 10 et 7 sont premiers entre eux. Propriété : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Exercices conseillés En devoir p47 n°46 à 50 p132 n°135 p47 n°51
5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr III. Application aux fractions Définition : On dit qu'une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Pour rendre une fraction irréductible, il faut la simplifier par le PGCD de son numérateur et son dénominateur. Méthode : Les fractions et sont-elles irréductibles ? Dans le cas contraire, les rendre irréductible. 1) PGCD(10,7) = 1 donc est irréductible. 2) PGCD(252,360) = 36 donc Exercices conseillés En devoir p45 n°10 à 19 p44 n°9 p48 n°61 et 62 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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Cours de mathématiques (troisième) : Arithmétique