Exercice 1 : Energie mécanique et trajectoire

Considérons un point matérielMde masse?soumis à l"interaction gravitation- nelle par une masse ponctuelleM?située au pointO. Soit le référentiel galiléen ?(O?XYZ).

1. Montrer que le moment cinétique est conservé. En déduire que le mouvement

est plan. On choisit?tel que le mouvement deMsoit dans le plan (OXY). On utilise dans la suite de l"exercice les coordonnées polaires (ρ?φ).

2. Calculer l"énergie cinétiqueE?et l"énergie potentielleE?deMen prenant

lim ρ→+∞E?(ρ) = 0. En déduire que l"énergie mécanique deMest donnée par E ?=1

2?ρ2+?C22ρ2+Kρ

en explicitant l"expression deKet de la constante des airesC.

3. On poseρ=1

?. Retrouver l"expression deE?=?(φ)?

4. En utilisant le théorème de l"énergie mécanique, montrerque l"équation du

mouvement en?(φ) est 2? ?φ2+?=-K?C2

5. Résoudre l"équation du mouvement en?(φ). En déduire que l"équation du mou-

vement enρ(φ) est de la forme

1 +?cos(φ - φ0)?

Quelle est la nature de la trajectoire en précisant les expressions de?et de

6. En utilisant l"expression deE?en fonction de?(φ), montrer que

E ?=GM??

2???2-1??

Discuter la nature de la trajectoire en fonction de?et déduire le signe deE? pour chaque type de trajectoire. 1

7. En utilisant la conservation de l"énergie mécanique, déduire que l"excentricité

dans ce cas est donnée par

1 +?V20GM?-2?ρ0

oùρ(?= 0) =ρ0et|?V(M/?)|(?= 0) =V0.

Exercice 2 : Cas d"une trajectoire circulaire

On reprend les résultats de l"exercice précédent.

1. A quelle condition la trajectoire deMest circulaire? On suppose que cette

condition est vérifiée dans la suite de l"exercice et on note le rayon de la trajectoire parρ=R.

2. En utilisant le PFD, montrer que le mouvement circulaire est uniforme

. En déduire que l"expression du module de la vitesse deMen fonction deRest donnée par ?V(M/?)|=? GM? R?

3. Montrer que la période de révolutionTdeMest donnée par

2=4π2R3

GM??

Commenter ce résultat.

4. Montrer que l"énergie mécaniqueE?dans ce cas vérifie les relations suivantes

E ?=-E?=1 2E? oùE?etE?sont respectivement les énergies cinétique et potentielle.

Exercice 3 : Cas d"une trajectoire elliptique

On utilise les résultats de l"exercice 1.

1. A quelle condition le mouvement deMest elliptique? On suppose que c"est

le cas pour le reste de l"exercice avecφ0= 0.

2. La figure ci-contre, représente l"ellipse dans le référentiel?où le foyerF

de l"ellipse est confondu avecO. Soit??(C????) un référentiel immobile par rapport à?, voir figure. 2

3. Donner les équations de l"ellipse dans?et dans??en fonction de?et de?.4. En utilisant les notations de la figure, mon-

trer que les expressions des paramètres géo- métriques de l"ellipse sont ???=?/(1 +?) ???=?/(1-?) a =?/(1-?2) b =?/⎷ 1-?2 c =??/(1-?2)

5. Calculer les vitesses deMrespectivement à

l"apogée,A, et à la périgée,Pen fonction de (?,?,G,M?).

6. En déduire queE?=-GM??

2?.

F=OF' C

XY xy M b a cp PA minρmaxρa c 2a ρe ?e

Dans la suite de la série, on utilise les résultats des exercices précédents sans les redémontrer

Exercice 4 : Mise en orbite d"une sonde spatiale

On souhaite mettre une sonde spatialeSde masse?Sen orbite autour de Mars. La vitesse de la sonde au point de lancementAest?VAet présente un "paramètre d"impact"?, voir figure ci-contre.

1. On suppose qu"au pointAla sondeSest trés éloi-

gnée de Mars et que l"on peut ainsi négliger l"éner- gie gravitationnelle. Calculer l"énergie mécanique de la sondeSau pointAet déduire la nature de sa trajectoire.

2. Calculer la constante des airesCen fonction deVA

et?.

3. Sachant que la trajectoire d"approche est tangente

au cercle de rayonα?MenB, calculer le module de la vitesse enB,VB, en fonction deVA,?M,αet?. bI Mr

M rα

AB B V O A v

4. Exprimer le paramètre d"impact?en fonction de?M,VA, la masse de MarsMM

etα. En déduire la valeur du paramètre d"impact??pour que la sonde se pose sur la surface de Mars.

5. Déterminer le module de la vitesseV???d"un objet sur l"orbite circulaire de

rayonα?M.

6. On veut que la sonde passe sur l"orbite circulaire de rayonα?M. Calculer la

variation de vitesse à communiquer à la sonde au pointB. 3quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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Série N° 4

Filières SMP/SMC/SMA