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deux points du plan tels que : EG EF G2 et E AB et est le barycentre des points A;2 et B ;3 1)Montrer que est le barycentre des points E; 1 et F;2: 2) en déduire que les droites EF et AB se coupent et déterminer le point d’intersection solution : EG EG GF2 EG EG GF EG GF2 2 1 2 0 3 GE GF20 donc est le barycentre des points et

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deux points du plan tels que : EG EF G2 et E AB et est le barycentre des points ;2A;3 et B 1)Montrer que est le barycentre des points E; 1 et F;2 2) en déduire que les droites EF et se coupent et déterminer le point d’intersection solution : EG EG GF2 EG EG GF EG GF GE GF20 donc est le barycentre des points et

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Barycentre de deux points Pour les exercices suivants, les points A, B et C sont indiqués sur la figure Dans les deux cas suivants, trouver deux réels et tels que

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deux points du plan tels que : EG EF 2 et E AB et G est le barycentre des points A;2 et ;3B 1)Montrer que est le barycentre des points E; 1 et F;2 2) en déduire que les droites EF et AB se coupent et déterminer le point d’intersection solution : F2 EG EG GF EG GF GE GF20 donc est le barycentre des points et

LE BARYCENTRE DANS LE PLAN - cafepedagogiquenet

deux points On peut localiser le barycentre de deux points sur la droite joignant ces deux points Plus précisément, α β+ ≠ 0 G barycentre de {(A B, , ,α β) ( )} Support : Exercice n° 65 On ne change pas le barycentre d’un système de points en multipliant tous les coefficients du système par un même nombre non nul

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Cours et exercices corrigés A priori, les notions de barycentre et de produit scalaire sont complètement indépendantes l’une de l’autre Mais leur utilisation en commun va nous donner un certain nombre de propriétés intéressantes Nous commençons par les barycentres Un barycentre est tout simplement un point d’équilibre

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Le barycentre de deux points A et B appartient à la droite (AB) Il est sur le segment [AB] si les coefficients sont de même signe, Faire des mathématiques avec GéoPlan Page 3/19 Le barycentre en 1S

NOM : BARYCENTRES 1ère S

NOM : BARYCENTRES 1ère S Exercice 15 Soit ABCun triangle isocèle en Atel que BC= 8 cmet BA= 5 cm Soit Ile milieu de [BC] 1) Placer le point Ftel que BF= 1 3 BAet montrer que Fest le barycentre des points Aet Bpondérés par

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n, le barycentre de ces points tous affectés d’un même coefficient non nul Définition 1 2 Remarques : Soit 2R , le milieu Id’un segment [AB] est en fait le barycentre de (A; ) et (B; ) ou de manière équivalente l’isobarycentre de Aet B L’isobarycentre de trois points non alignés A, Bet Cest le centre de gravité du triangle ABC

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1ère S Exercices sur le chapitre 14 (barycentres de trois points ou plus) 1 On considère un triangle ABC quelconque On note G le barycentre des points pondérés (A ; 4), (B ; 1) et (C ; –1)

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NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 1

ABCDest un quadrilatère etGest le barycentre de(A; 1),(B; 1),(C; 3)et(D; 3).

Construire le pointG. Expliquer.

IllustrationD. LE FUR 1/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 2

ABCest un triangle.

1)Gest le barycentre de(A; 1),(B; 2)et(C; 3). Construire le pointG. Expliquer.

2)G0est le barycentre de(A; 1),(B; 3)et(C;3). Construire le pointG0. Expliquer.

3)Démontrer que(AG0)est parallèle à(BC).

IllustrationD. LE FUR 2/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 3

Best le milieu de[AC].

Démontrer que le barycentre de(A; 1)et(C; 3)est confondu avec celui de(B; 2)et(C; 2).

IllustrationD. LE FUR 3/ 50

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Exercice 4

Dans le triangleABC,Eest le milieu de[AB]etGest le barycentre de(A;2),(B;2)et(C; 15).

Démontrer queG,CetEsont alignés.

IllustrationD. LE FUR 4/ 50

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Exercice 5

On considère un triangleABCet l"on désigne parGle barycentre de(A; 1),(B; 4)et(C;3).

1)Construire le barycentreIde(B; 4)et(C;3).

2)Montrer que!GA+!GI=!0.

En déduire la position deGsur(AI).

IllustrationD. LE FUR 5/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 6

ABCest un triangle. On noteGle barycentre de(A; 2),(B; 1)et(C; 1). Le but de cet exercice est de déterminer la position précise du pointG.

1)SoitIle milieu de[BC]. Montrer que!GB+!GC= 2!GI.

2)En déduire queGest le barycentre deAetImunis de coefficients que l"on précisera.

3)Conclure.

IllustrationD. LE FUR 6/ 50

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Exercice 7

Une balance est constituée d"une masseMet d"un plateau fixé aux extrémités d"une tige. Pour peser une masse

m, le vendeur place à une position précise un crochet sur la tige. Cette balance a l"avantage pour le commerçant

de ne pas manipuler plusieurs masses.

1)Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochetGsur le segment[AB]pour réaliser l"équilibre?

(M= 2kg)On pourra reproduire ces schémas à l"échelle de son choix.

2)Le pointGest tel que!AG=23

!AB. Quelle est la massempesée? (M= 2kg)D. LE FUR 7/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 8

ABCDest un quadrilatère. On noteGson isobarycentre. Le but de cet exercice est de préciser la position deG.

1)On noteIle milieu de[AB]etJle milieu de[CD].

Montrer queGest le barycentre deIetJmunis de coefficients que l"on précisera.

2)Conclure et faire une figure.

IllustrationD. LE FUR 8/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 9

1)Placer dans un repère les pointsA(1 ; 2),B(3 ; 4)etC(2 ; 5).

SoitGle barycentre des points pondérés(A; 3),(B; 2)et(C;4).

2)Quelles sont les coordonnées deG? PlacerG.

3)La droite(BG)passe-t-elle par l"origine du repère? Justifier.

IllustrationD. LE FUR 9/ 50

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Exercice 10

Étant donné un triangleABCetkun rél non nul donné, on définit les pointsDetEpar les relations :

!AD=k!ABet!CE=k!CA.

1)Faire une figure illustrant ces données lorsquek=13

, puis lorsquek=1.

2)Démontrer queDest le barycentre de(A; 1k)et(B;k).

3)Démontrer queEest le barycentre de(C; 1k)et(A;k).

4)En déduire que pour tout pointMdu plan, on a :

MD+!ME=!MA+!MC+k!CB= 2!MB0+k!B0C0

oùB0etC0sont les milieux respectifs de[AC]et[AB].

5)SoitIle milieu de[DE]. Déduire de la question précédente queI,B0etC0sont alignés.

IllustrationD. LE FUR 10/ 50

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Exercice 11

ABCest un triangle. SoitGle barycentre de(A; 1),(B; 3)et(C;3). Démontrer que les droites(AG)et(BC)sont parallèles.

IllustrationD. LE FUR 11/ 50

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Exercice 12

ABCest un triangle. On considère le barycentreA0de(B; 2)et(C;3), le barycentreB0de(A; 5)et(C;3) et le barycentreC0de(A; 5)et(B; 2). Démontrer que les droites(AA0),(BB0)et(CC0)sont concourantes. Indication : on pourra considérer le barycentreGde(A; 5),(B; 2)et(C;3).

IllustrationD. LE FUR 12/ 50

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Exercice 13

ABCest un triangle de centre de gravitéG. On noteI,J,M,N,RetSles points définis par :!AI=13 !AB;!AJ=23 !AB; AM=13 !AC;!AN=23 !AC; BR=13 !BC;!BS=23 !BC. Démontrer que les droites(IS),(MR)et(NJ)sont concourantes enG.

IllustrationD. LE FUR 13/ 50

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Exercice 14

SoitABCun triangle équilatéral de côté3cm.

1)Placer, en justifiant, le barycentreZde(A; 1),(B; 3)et(C;3).

2)Montrer que les droites(AZ)et(BC)sont parallèles.

IllustrationD. LE FUR 14/ 50

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Exercice 15

SoitABCun triangle isocèle enAtel queBC= 8cmetBA= 5cm. SoitIle milieu de[BC].

1)Placer le pointFtel que!BF=13

!BAet montrer queFest le barycentre des pointsAetBpondérés par des réels que l"on déterminera.

2)Pétant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :

12 !PB+12 !PC; !PA+ 2!PB; 2 !PB2!PA.

3)Déterminer et représenter l"ensemble des pointsMdu plan vérifiant :

12 !MB+12 !MC !MA+ 2!MB

4)Déterminer et représenter l"ensemble des pointsMdu plan vérifiant :

!NB+!NC

2!NB2!NA

IllustrationD. LE FUR 15/ 50

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Exercice 16

SoitABCun triangle.Yest le milieu de[BC].

1)Placer, en justifiant, le barycentreUde(A; 4)et(C; 1)puis placer le barycentreEde(A; 4)et(B; 1).

2)SoitGle barycentre de(A; 4),(B; 1)et(C; 1). Montrer queGest aussi barycentre de(E; 5)et(C; 1).

3)Démontrer que les droites(EC),(AY)et(BU)sont concourantes.

IllustrationD. LE FUR 16/ 50

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Exercice 17

Dans un repère(O;!i ;!j), placer les pointsA(2 ; 1),B(1 ; 5),C(5 ; 7)etG(1 ;52

1)Déterminer les coordonnés de l"isobarycentreIdes pointsBetC.

2)Déterminer les coordonnées du centre de gravitéHdu triangleABC.

3)Existe-t-il un réelktel queGsoit barycentre de(A; 1)et(B;k)? Justifier.

IllustrationD. LE FUR 17/ 50

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Exercice 18

SoitABCun triangle etGun point vérifiant :

!AB4!GA2!GB3!GC=!0: Le pointGest-il le barycentre des points pondérés(A; 5),(B; 1)et(C; 3)? Justifier.

IllustrationD. LE FUR 18/ 50

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Exercice 19

SoientAetBdeux points distincts etGle barycentre de(A;),(B;)avec+6= 0.

Démontrer l"équivalence :

G2[AB]()etsont de mêmes signes.

IllustrationD. LE FUR 19/ 50

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Exercice 20

SoitABCDun carré etKle barycentre des points pondérés(A; 2),(B;1),(C; 2)et(D; 1). On noteIle barycentre des points pondérés(A; 2)et(B;1), etJcelui de(C; 2)et(D; 1).

1)PlacerIetJen justifiant.

2)Réduire l"écriture des vecteurs suivants :

2!KA!KBet2!KC+!KD.

En déduire queKest le barycentre de(I; 1)et(J; 3).

3)PlacerKen justifiant.

IllustrationD. LE FUR 20/ 50

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Exercice 21

On considère un segment[AB]de médiatrice(d). SoientCetDdeux points de(d)etGl"isobarycentre deA,B,CetD.

Démontrer queGest sur(d).

IllustrationD. LE FUR 21/ 50

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Exercice 22

A B C DI J GABCDest un quadrilatère.Gest le centre de gravité du triangleABC.IetJsont les milieux respectifs de[AB]et[BC].

Lest le barycentre de(A; 1)et(D; 3)etKcelui de

(C; 1)et(D; 3). Le but de l"exercice est de démontrer que les droites (IK),(JL)et(DG)sont concourantes. Pour cela, on utilisera le pointHbarycentre de(A; 1), (B; 1),(C; 1)et(D; 3).

1)Placer, en justifiant, les pointsLetK.

2)Démontrer queHest le barycentre deGetDmu-

nis de coefficients que l"on précisera.

3)Démontrer queHest le barycentre deJetLmu-

nis de coefficients que l"on précisera.

4)Démontrer queHest le barycentre deIetKmu-

nis de coefficients que l"on précisera.

5)Conclure.

IllustrationD. LE FUR 22/ 50

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Exercice 23

ABCDEest une pyramide à base carréeBCDE.

SoitGl"isobarycentre deA,B,C,DetE.

On noteOle centre du carréBCDE, c"est-à-dire l"intersection des diagonales(CE)et(BD).

1)Démontrer queOest l"isobarycentre deBCDE.

2)Démontrer queGest le barycentre de(O; 4)et(A; 1).

3)SoitG1le centre de gravité du triangleABEetIle milieu de[CD]. Démontrer queGest sur(G1I).

Pour cet exercice, une figure est recommandée.

IllustrationD. LE FUR 23/ 50

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Exercice 24

ABCest un triangle de centre de gravitéG.

On noteI,JetKles milieux respectifs de[BC],[AC]et[AB].

On définit les pointsP,Q,R,S,UetVpar :!AP=13

!AB;!AQ=23 !AB; AR=13 !AC;!AS=13 !AC; BU=13 !BC;!BV=23 !BC. On note :A0= (QU)\(SV);B0= (SV)\(RP);A0= (RP)\(QU).A B C P QR S U VG IJKA 0B

0C01)Démontrer queAQA0Sest un parallélogramme.

2)En déduire que!AA0= 2!AG, puis queGest le milieu de[AA0].

3)On démontre, de même, queGest le milieu de[BB0]et de[CC0]. Démontrer queGest le centre de gravité

du triangleA0B0C0

IllustrationD. LE FUR 24/ 50

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Exercice 25

ABCDest un tétraèdre etGest le barycentre de(A; 4),(B; 1),(C; 1)et(D; 1). On noteHle centre de gravité du triangleBCD, c"est-à-dire l"isobarycentre deB,CetD.

1)Démontrer queGest le barycentre de(H; 3)et(A; 4).

2)Situer le pointGsur la droite(AH).

Pour cette figure, une figure est recommandée.

IllustrationD. LE FUR 25/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 26

A B C P QR S U V

GABCest un triangle de centre de gravitéG.

On définit les pointsP,Q,R,S,UetVpar :!AP=13

!AB;!AQ=23 !AB; AR=13 !AC;!AS=13 !AC; BU=13 !BC;!BV=23 !BC.

1)Démontrer quePest le barycentre de(A; 2)et(B; 1)et queVest le barycentre de(C; 2)et(B; 1).

2)En déduire queGest le milieu de[PV].

3)On démontre, de même, queGest le milieu de[RU]et de[SQ](inutile de refaire les calculs). Démontrer

queRPUVest un parallélogramme.

IllustrationD. LE FUR 26/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 27

ABCDest un carré.

1)Quel est l"ensembleEdes pointsMdu plan tels que

2!MA!MB+!MC

=AB?

2)Représenter cet ensembleE.

IllustrationD. LE FUR 27/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 28

ABCest un triangle . On définit les pointsI,JetKpar :

BI=k!BC!CJ=k!CA!AK=k!ABaveck2R.

On noteGl"isobarycentre deA,BetC.

1)Faire une figure dans le cask=13

2)Démontrer queGest l"isobarycentre deI,JetK.

IllustrationD. LE FUR 28/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 29

ABCest un triangle équilatéral de côté4cm. Déterminer l"ensembledes pointsMdu plan tels que : !MA+!MB+ 2!MC !MB+ 3!MC

IllustrationD. LE FUR 29/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 30

Le plan est rapporté à un repère orthonormal(O;!i ;!j).

Soient les pointsA(4 ;1),B(3 ; 3)etC(2 ; 1).

1) a) SoitM(x;y). Calculer en fonction dexetyles coordonnées du vecteur3!MA+!MB, puis celles du vecteur!MA+ 3!MC. b)En déduire une équation de l"ensemble(E)des pointsMdu plan tels que :

3!MA+!MB

!MA+ 3!MC c)Quelle est la nature de cet ensemble?

2)Reprendre la question précédente par une méthode géométrique, en utilisant le barycentreGde(A; 3)et

(B; 1)ainsi que le barycentreHdes points(A; 1)et(C; 3).

IllustrationD. LE FUR 30/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 31

1)Placer deux points distinctsAetBet le barycentreGdes points(A; 1)et(B; 2). Justifier brièvement par

une formule du cours.

2)Placer quatre points distinctsA,B,CetD. Construire le pointGbarycentre des points(A; 1),(B;1),

(C; 1)et(D; 2). Expliquer brièvement votre procédé.

IllustrationD. LE FUR 31/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 32

SoientA,BetCtrois points distincts.

1)Placer le pointMtel que :

2!MA+ 3!MB=!AC

2)Déterminer et représenter l"ensemble des pointsMtels que :

2!MA+ 3!MB

6!MA!MC

IllustrationD. LE FUR 32/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 33

A,BetCsont 3 points non alignés que vous disposerez à votre guise sur une figure.

1)Construire soigneusement les barycentres suivants :

Gbarycentre de(A; 1),(B; 2)et(C; 2);

G1barycentre de(A;1),(B; 2)et(C; 2);

G2barycentre de(A; 1),(B;2)et(C; 2);

G3barycentre de(A; 1),(B; 2)et(C;2).

2)Montrer queG1,G2etCsont alignés.

3)Montrer queG2(AG1).

4)En se servant du résultat précédent et en s"en inspirant, montrer que les droites(AG1),(BG2)et(CG3)sont

concourantes.

IllustrationD. LE FUR 33/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 34

Déterminer les coefficientsa,betcpour queGsoit le barycentre des points(A;a),(B;b)et(C;c).

Figure 1ABC

G

Figure 2ABC

G

D. LE FUR 34/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 35

ABCDEFGHest un cube.

On a!DQ=13

!DGet!AP=13 !AE.

Iest le milieu de[AD].

Jest le milieu de[EG].

Kest le milieu de[PQ].

1)Montrer quePest le barycentre deAetEavec

des coefficients que l"on déterminera.

2)Montrer queQest le barycentre deDetGavec

des coefficients que l"on déterminera.

3)Montrer queKest le barycentre de(A; 2),

(D; 2),(E; 1)et(G; 1). En déduire que les pointsI,JetKsont alignés.

IllustrationD. LE FUR 35/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 36

On considère un triangleABCvérifiant :AC= 6cm,BA= 5cmetBC= 4cm.

Gest le barycentre de(A; 1),(B; 2)et(C;1).

Hest le barycentre de(A;3)et(C; 1).

1)Question de cours : démontrer, en n"utilisant que la définition du barycentre que le pointHappartient à la

droite(AC).

2)Construire un triangleABCainsi que les pointsGetH.

3)Déterminer et construire l"ensemble(E)des pointsMtels que :

!MA+ 2!MB!MC !AC

4)Déterminer et construire l"ensemble(F)des pointsNtels que :

!NA+ 2!NB!NC

3!NA+!NC

IllustrationD. LE FUR 36/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 37

ABCDest un quadrilatère quelconque.

Iest le milieu de[AC]etJcelui de[BD].

On définit le pointKpar!KA=2!KB.

Lest le barycentre de(D; 2)et(C; 1).

Mest le milieu de[KL].

1)Faire une figure.

2)Montrer queKest le barycentre deAetBavec des coefficients que l"on déterminera.

3)Montrer queMest le barycentre deA,B,CetBDavec des coefficients que l"on déterminera.

4)En déduire que les pointsJ,MetIsont alignés.

IllustrationD. LE FUR 37/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 38

ABCest un triangle. On considère les pointsI,JetKtels que :!AI=14 !AB.

Jest le milieu de[AC].!BK=32

!BC.

1)Faire une figure.

2)On se propose de démontrer que les pointsI,JetKsont alignés.

a)Justifier les affirmations suivantes : -Jest l"isobarycentre deAetC; -Aest le barycentre de(B;1)et(I; 4); -Cest le barycentre de(B; 1)et(K; 2). b)En utilisant la propriété de réduction des barycentres, montrer que!JB+ 4!JI= 3!JA. c)De même, montrer que!JB+ 2!JK= 3!JC. d)En déduire queJest le barycentre de(I; 4)et(K; 2).

Conclure.Illustration

D. LE FUR 38/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 39

SoitABCDun quadrilatère. On noteMle point tel que!BM=23 !BC.B MCDA1)Exprimer le pointMcomme barycentre des pointsBetCaffectés de coefficients positifs.

2)On noteGle barycentre de(A; 1)et(D;3). Exprimer le vecteur!AGen fonction du vecteur!AD. Sur le

dessin ci-dessus, placer le pointG.

3)On noteOle barycentre de(A; 2),(B; 1),(C; 2)et(D;6).

a)Sur le dessin ci-dessus, construire le pointO. b)Montrer que le pointOest un point de la droite(GM).

IllustrationD. LE FUR 39/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 40

On donne trois points non alignésA,BetCdu plan.

Iest le milieu de[BC].

On noteGkle barycentre de(A;k),(B; 1)et(C; 1)oùkdécritRnf2g.

1)Déterminer et construire les pointsG1,G0etG1.

2)Montrer queGkest barycentre deAetIavec des coefficients que l"on déterminera.

En déduire l"expression de!AGken fonction de!AI.

3)Déterminer l"ensemble des pointsGklorsquekdécritRnf2g.

4)(C)est l"ensemble des pointsMdu plan tels que :

!MA+!MB+!MC =AB: a)Montrer queCappartient à(C). b)Montrer que(C)est un cercle de centreG1. Le construire.

5)(D)est l"ensemble des pointsMdu plan tels que :

k!MA+!MB+!MC !MA+k!MB+!MC a)Déterminer l"ensemble(D). b)Construire(D)lorsquek=1.

IllustrationD. LE FUR 40/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 41

ABCest un triangle.

kest un réel quelconque différent de1. On appelleGkle barycentre de(A;k4),(B; 2k4)et(C; 3k+ 2). Quel est le lieu géométrique des pointsGklorsquekprend toutes les valeurs possibles? On pourra utiliser le pointHbarycentre de(A; 1),(B; 2)et(C; 3).

IllustrationD. LE FUR 41/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 42

D. LE FUR 42/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 43

D. LE FUR 43/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 44

D. LE FUR 44/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 45

D. LE FUR 45/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 46

D. LE FUR 46/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 47

D. LE FUR 47/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 48

D. LE FUR 48/ 50

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Exercice 49

D. LE FUR 49/ 50

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Exercice 50

D. LE FUR 50/ 50

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