MP MP* PT PT* et des systèmes Mécanique du solide

MAPLE en MPSI

Commentaires et conseils concernant l’usage du logiciel de calcul formel L’impression générale est ici un peu mitigée Et il semble utile de redonner une liste de « savoir-faire » déjà publiée dans le rap-port 2009 et qui ﬁgure en Annexe

EYR O LLE S Best f - cours, examens

En application de la loi du 11 mars 1957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement le présent ouvrage, sur quelque support que ce soit, sans autorisation de l’Éditeur ou du Centre Français d’Exploitation du Droit de Copie, 20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris

Cours d‘Allemand

des articles de journaux actuels Rap-pel de grammaire et élargissement du champs lexical et préparation à l´aide de copies d´anciens examens 80 heures de cours Pour les participants du niveau C1 ou pour ou pour ceux qui ont un niveau équivalent et qui veulent étudier dans une université allemande

Rapport final de l’examen 2015

sonnes ont été notées Les experts ont bénéficié, au travers de différents cours, d’une pré-paration très complète à l’examen spécialisé, sur la base du nouveau concept, de façon à faire valoir une compétence globale lors de l’examen La Commission d’examen a validé

Deuxième niveau Troisième niveau Quatrième Cinquième niveau

Cours au choix : Les étudiants du cinquième niveau peuvent substituer le cours de lecture ou de compré‑ hension/expression orale avec un cours au choix Deux cours facultatifs sont offerts chaque trimestre Ils couvrent des matières telles que : Commu‑ nication et culture, Préparation au TOEFL (Test of English as a

Physique UE3 -- PACES - Dunod

des exercices et des QCM de diﬃculté progressive Il présente de nombreux sujets d’adaptation progressive aux programmes et aux exi-gences de ces concours et examens diﬃciles – Les cours, exposés de façon détaillée, présentent les résultats fondamentaux ainsi que des compléments sur des notions plus délicates

Halle d’exercices Cifer Pas d’examens « au rabais

tions plus difficiles Si les examens écrits et oraux ont été supprimés en 2020, les évaluations pratiques ont bien eu lieu, à la satisfaction générale Pas d’examens « au rabais » VALÉRIE BOURDIN Fi gur es : L uc V enditti Halle d’exercices Cifer

Exercices danalyse financière-5

Béatrice et Francis GRANDGUILLOT Exercices d’analyse financière avec corrigés détaillés 5e édition 2010-2011 Lim-1438 indd 3 5/10/10 15:51:43

PC PCMP MPPT PT*

| Classe | prépa

Mécanique du solide

et des systèmes||

Jean-Claude Hulot

Professeur en classes préparatoires

Marc Venturi

Professeur de chaire supérieure

en classes préparatoires au lycée Carnot à Dijon© Nathan,classe prépa

Cet ouvrage fait partie de la collection " Classe prépa », une collectiond'ouvrages simples et accessibles couvrant l'ensemble des programmes

des classes préparatoires aux Grandes Écoles scientifiques. Élaborée pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés, cette collec- tion est basée sur une approche pragmatique des programmes. Ainsi, chaque chapitre est constitué de cinq rubriques : • Retenir l'essentiel qui reprend les notions indispensables du cours et indique des conseils pour éviter les erreurs les plus fréquentes ; Avant la colle qui regroupe des QCM et des exercices d'application immédiate pour vérifier les connaissances ; Savoir résoudre les exercices qui, sur la base d'exercices " classiques », permet aux élèves de développer les méthodes indispensables en prépa : analyse de l'énoncé, démarche à suivre, réflexes à acquérir... terie d'exercices ; mentés.

Coordination éditoriale : Isabelle Ravilly

Relecture : Fanny Morquin

Composition : Softwin

Couverture : Marie-Astrid Bailly-Maître

Maquette intérieure : Thierry Méléard

© Nathan, 2009 - ISBN 978-2-09-160920-1

© Nathan,classe prépa

Avant-propos

La mécanique a non seulement pour but de décrire les mouvements des objets mais aussi d'en comprendre les causes (les forces). Les lois fondamen- tales de la mécanique newtonienne, associées à des modèles de forces, four- nissent les équations nécessaires à la compréhension et à la prévision des mouvements. Le domaine de validité des lois newtoniennes est vaste. Il s'étend des systè- mes ayant pour dimension celle de quelques molécules aux distances astro- nomiques entre les galaxies, à plusieurs centaines de millions d'années- lumière de la Terre, et englobe en particulier l'échelle des phénomènes de taille humaine. En dehors de ces domaines et pour quelques systèmes parti- culiers (superfluides, supraconducteurs...), la mécanique quantique ainsi que la mécanique relativiste restreinte et générale deviennent nécessaires. Le modèle du solide (au sens de système indéformable idéal) joue un rôle particulier mais extrêmement important. Les systèmes indéformables (ou quasi indéformables) sont fréquents autour de nous. La mécanique de ces objets acquiert ainsi un intérêt concret et directement utile. Même si les phénomènes en jeu nous semblent familiers (les forces de con- tact par exemple), leur compréhension et leur description mathématique restent difficiles. Loin d'être évident, le mouvement des objets ou la cause de ces mouvements restent parfois hors du " sens commun » et de l'intui- tion. Dans cet ouvrage destiné aux élèves de seconde année de CPGE, on rap- pelle dans le cours tous les théorèmes et relations au programme. Les exer- cices proposés sont issus pour la plupart d'écrits et d'oraux de concours d'entrée aux Grandes Écoles. Que ces exercices soient des vérifications et applications directes du cours ou qu'ils permettent de vérifier sa maîtrise et de s'entraîner, leur correction est toujours explicite et détaillée. Nous espérons que les étudiants trouveront ici les moyens de se familiariser avec les lois de la mécanique des systèmes. Nous voulons remercier très chaleureusement Philippe Fleury pour ses con- seils et ses remarques toujours judicieux et constructifs, les éditions Nathan, et tout particulièrement Isabelle Ravilly pour ses travaux d'éditions.

Jean-Claude Hulot

Marc Venturi

© Nathan,classe prépa

Sommaire

Avant-propos ......................................................................................................... 3

1Le centre de masse des systèmes matériels

1 - Définition et propriétés du centre de masse ............................................... 7

2 - Les symétries des systèmes matériels .......................................................... 11

savoir résoudre les exercices ........................................................................ 15

corrigés .......................................................................................................... 18

2Cinématique du solide

1 - Champ des vitesses d'un solide ................................................................. 23

2 - Cas particuliers de mouvements d'un solide ............................................. 24

3 - Contact entre deux solides ....................................................................... 26

4 - Rappel des lois de composition des vitesses

et des accélérations ........................................................................................

savoir résoudre les exercices ........................................................................ 33

s'entraîner ..................................................................................................... 36

corrigés .......................................................................................................... 37

3La résultante et le moment cinétiques

1 - La résultante cinétique ............................................................................. 41

2 - Le moment cinétique ............................................................................... 43

3 - Théorème de Koenig ................................................................................ 44

savoir résoudre les exercices ........................................................................ 49

s'entraîner ..................................................................................................... 52

corrigés .......................................................................................................... 54

4Moment cinétique d'un solide

1 - Moment d'inertie d'un système par rapport à un axe .............................. 61

2 - Moment cinétique d'un solide en un point d'un axe de rotation ............ 63

3 - Moment cinétique d'un solide

par rapport à un axe de rotation ...................................................................

savoir résoudre les exercices ........................................................................ 72

s'entraîner ..................................................................................................... 81

corrigés .......................................................................................................... 83

5Les actions sur un système

1 - La résultante des actions .......................................................................... 91

2 - Le moment des actions ............................................................................ 94

3 - Exemples d'actions sur des systèmes ......................................................... 96

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 103

s'entraîner ................................................................................................... 108

corrigés ........................................................................................................ 113

6Énergie cinétique d'un système matériel

1 - Définition et expressions de l'énergie cinétique ..................................... 125

2 - Le second théorème de Koenig ............................................................. 127

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 131

© Nathan,classe prépa

s'entraîner ................................................................................................... 138

corrigés ........................................................................................................ 141

7Les travaux des actions sur un système - Énergie potentielle

1 - Puissance et travail d'un système de forces ............................................. 147

2 - Puissance et travail des actions exercées sur un solide ............................ 149

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 155

s'entraîner ................................................................................................... 159

corrigés ........................................................................................................ 162

8Théorème de la résultante cinétique

1 - Le théorème de la résultante cinétique ................................................. 171

2 - La loi de conservation de la résultante cinétique ................................... 172

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 176

s'entraîner ................................................................................................... 185

corrigés ........................................................................................................ 188

9Théorème du moment cinétique

1 - Théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel (rappel) .... 195

2 - Théorème du moment cinétique des systèmes matériels ........................ 196

3 - Théorème du moment cinétique scalaire ............................................... 197

4 - Conservation du moment cinétique ...................................................... 198

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 202

s'entraîner ................................................................................................... 211

corrigés ........................................................................................................ 213

10Théorème de l'énergie cinétique

1 - Système fermé de points matériels .......................................................... 221

2 - Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide .......................... 222

3 - Système de solides .................................................................................. 224

4 - Énergie potentielle et énergie mécanique ............................................. 225

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 231

s'entraîner ................................................................................................... 237

corrigés ........................................................................................................ 239

11Actions de contact

1 - Description des actions de contact ......................................................... 249

2 - Les lois de Coulomb du frottement ....................................................... 251

3 - Puissance des actions de contact ............................................................ 254

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 257

s'entraîner ................................................................................................... 262

corrigés ........................................................................................................ 269

Index ....................................................................................................................... 287

© Nathan,classe prépa

1 - Le centre de masse des systèmes matériels

retenir l'essentiel 7

Le centre de masse

des systèmes matériels Une notion très importante en physique est celle de centre de masse. Ainsi dans un réfé- rentiel galiléen, le centre de masse d'un système isolé a un mouvement rectiligne et uni- forme, alors que ce n'est généralement pas le cas d'un point quelconque du système. Plus généralement, on montrera dans les chapitres suivants que les lois du mouvement du cen- tre de masse sont relativement simples à écrire.

1Définition et propriétés du centre de masse

1.1.La masse

La masse est une grandeur physique qui, en physique newtonienne, a les propriétés suivantes : - elle est strictement positive ; - elle est additive : on peut sommer les masses de sous-systèmes disjoints (on dit que la masse est une grandeur extensive) ; - elle est conservée au cours du temps, quand le système est fermé ; - elle garde la même valeur dans tous les référentiels (on dit que c'est une grandeur inva- riante). En outre, c'est l'une des grandeurs fondamentales du Système International d'unités (SI). L'unité SI de masse est le kilogramme (kg). L'étalon international du kilogramme est con- servé au Bureau international des poids et mesures, à Sèvres. 1.2.

Le modèle du point matériel

Le point matériel est le système physique le plus simple, c'est-à-dire celui dont l'état com-

plet est décrit avec le plus petit nombre de paramètres. Ce nombre se réduit à trois variables

réelles, les trois coordonnées de position dans l'espace ( dans une base cartésienne ou dans une base cylindrique par exemple). Il ne faut pas confondre un point matériel avec un système ponctuel. Ce dernier peut pos-

séder d'autres paramètres d'état qui en font un système plus complexe qu'un point matériel.

xyz,,() rθz,,()

Remarque

Par exemple, un dipô-

le électrostatique ponc- tuel possède, en plus de sa position et de sa masse, un vecteur mo- ment dipolaire électri- que. L'état complet du dipôle nécessite de connaître l'orientation de son moment dipo- laire. MP

Les systèmes de points matériels

1.3.1.Masse d'un système de points matériels

On considère un ensemble de N points matériels indicés par de masse respective Cet ensemble forme le système de points matériels : La description de l'état complet du système de N points matériels nécessite donc

3Ncoordonnées de position (3 pour chaque vecteur position ) et N masses.

On définit la masse M de l'ensemble du système grâce à la propriété d'additivité des

masses :

1.3.2.Le centre de masse d'un système de points matériels

Définition: le centre de masse (ou centre d'inertie) G d'un système matériel est le point géométrique G tel que : Il s'agit donc du barycentre des points matériels, pondérés par leur masse. Une expression plus utilisée pour déterminer explicitement la position de G est celle qui fait intervenir un point particulier du repère d'espace, son origine O le plus souvent. Dans ce cas, on montre que : 1.4.

Propriétés du centre de masse

1.4.1.Coordonnées du centre de masse

Soit un système d'axes Ox, Oy et Oz définissant une base cartésienne de l'espace. La base vectorielle associée est orthonormée directe. Soient les trois coordonnées cartésiennes du centre de masse G du système Alors Soient les trois coordonnées cartésiennes de chaque point matériel du sys- tème. Alors, les coordonnées de G sont données par :

Pi,i1...N,,,=

mi.S()

S()Pimi,()i1...N,,()?,{}=

S() OPi S() Mmi i1=N=

Remarque

Cette définition est

intrinsèque. Elle ne fait intervenir que les positions des points matériels de et leur masse, indépen- damment de tout système de coordon- nées. G est unique, sous réserve que la masse M du système soit non nulle, ce qui est le cas des systè- mes physiques en mécanique newto- nienne. S()

S()Pimi,()i1...N,,()?,{}=

miGPi i1=N0= OG1

M-----miOPi

i1=N= exeyez,,() xGyGzG,,()

S().OG xGexyGeyzGez++=.

xiyizi,,()Pi xG1

M-----mixi

i1=N= y G1

M-----miyi

i1=N z G1

M-----mizi

i1=N

1.4.2.Associativité du centre de masse

On est souvent amené, par commodité des calculs par exemple, à décomposer un système complexe en plusieurs sous-systèmes plus simples Sur la figure 1, est formé de la réunion de trois sous-ensembles disjoints. Soit un système matériel formé de sous-systèmes matériels, notés à Utilisons l'indice entier j pour indicer ces sous-systèmes : Soit le centre de masse du sous-système et la masse de ce sous-système. Soit G le centre de masse du système matériel et M sa masse totale :

Soit O un point de l'espace.

Alors on a :

1.5.

Les systèmes continus

1.5.1.Le centre de masse d'un système tridimensionnel

Un système de volume V, de masse M, est découpé (par la pensée) en éléments maté-

riels de volume δV et de masse δm. Chaque élément est repéré et distingué des autres par

son centre de masse P. On notera donc les volume et masse et pour les distinguer entre eux (fig. 2). On définit la masse volumique moyenne de l'élément matériel : Lorsque l'élément de volume δV tend vers 0, on obtient la masse volumique locale : La relation précédente peut se noter de manière équivalente . Pour la détermination du centre de masse d'un système matériel composé, cha- que sous-système est équivalent à un seul point matériel : son centre de masse affecté de la masse du système

S()s().S()

Fig. 1

(S )(squotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

[PDF] MP MP* PT PT* et des systèmes Mécanique du solide

PC PC*MP MP*PT PT*

Mécanique du solide

Jean-Claude Hulot

Professeur en classes préparatoires

Marc Venturi

Professeur de chaire supérieure

Coordination éditoriale : Isabelle Ravilly

Relecture : Fanny Morquin

Composition : Softwin

Couverture : Marie-Astrid Bailly-Maître

Maquette intérieure : Thierry Méléard

© Nathan, 2009 - ISBN 978-2-09-160920-1

© Nathan,classe prépa

Avant-propos

Jean-Claude Hulot

Marc Venturi

© Nathan,classe prépa

Sommaire

1Le centre de masse des systèmes matériels

1 - Définition et propriétés du centre de masse ............................................... 7

2 - Les symétries des systèmes matériels .......................................................... 11

2Cinématique du solide

1 - Champ des vitesses d'un solide ................................................................. 23

2 - Cas particuliers de mouvements d'un solide ............................................. 24

3 - Contact entre deux solides ....................................................................... 26

4 - Rappel des lois de composition des vitesses

3La résultante et le moment cinétiques

1 - La résultante cinétique ............................................................................. 41

2 - Le moment cinétique ............................................................................... 43

3 - Théorème de Koenig ................................................................................ 44

4Moment cinétique d'un solide

1 - Moment d'inertie d'un système par rapport à un axe .............................. 61

2 - Moment cinétique d'un solide en un point d'un axe de rotation ............ 63

3 - Moment cinétique d'un solide

5Les actions sur un système

1 - La résultante des actions .......................................................................... 91

2 - Le moment des actions ............................................................................ 94

3 - Exemples d'actions sur des systèmes ......................................................... 96

6Énergie cinétique d'un système matériel

1 - Définition et expressions de l'énergie cinétique ..................................... 125

2 - Le second théorème de Koenig ............................................................. 127

© Nathan,classe prépa

7Les travaux des actions sur un système - Énergie potentielle

1 - Puissance et travail d'un système de forces ............................................. 147

2 - Puissance et travail des actions exercées sur un solide ............................ 149

8Théorème de la résultante cinétique

1 - Le théorème de la résultante cinétique ................................................. 171

2 - La loi de conservation de la résultante cinétique ................................... 172

9Théorème du moment cinétique

1 - Théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel (rappel) .... 195

2 - Théorème du moment cinétique des systèmes matériels ........................ 196

3 - Théorème du moment cinétique scalaire ............................................... 197

4 - Conservation du moment cinétique ...................................................... 198

10Théorème de l'énergie cinétique

1 - Système fermé de points matériels .......................................................... 221

2 - Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide .......................... 222

3 - Système de solides .................................................................................. 224

4 - Énergie potentielle et énergie mécanique ............................................. 225

11Actions de contact

1 - Description des actions de contact ......................................................... 249

2 - Les lois de Coulomb du frottement ....................................................... 251

3 - Puissance des actions de contact ............................................................ 254

© Nathan,classe prépa

© Nathan,classe prépa

1 - Le centre de masse des systèmes matériels

Le centre de masse

1Définition et propriétés du centre de masse

1.1.La masse

Le modèle du point matériel

Remarque

Par exemple, un dipô-

© Nathan,classe prépa

Les systèmes de points matériels

1.3.1.Masse d'un système de points matériels

3Ncoordonnées de position (3 pour chaque vecteur position ) et N masses.

1.3.2.Le centre de masse d'un système de points matériels

Propriétés du centre de masse

1.4.1.Coordonnées du centre de masse

Pi,i1...N,,,=

PC PCMP MPPT PT*