Fonctions de deux variables - unicefr
C’est la fonction qui donne la r´esistance d’un montage en parall`ele de deux r´esistances C’est pour ca que j’ai appel´e les variables R et R0, mais j’aurais aussi bien pu ´ecrire la mˆeme fonction (x,y) 7→ xy x+y Exo 1 Donnez votre exemple favori de fonction de deux variables
Fonction de deux variables - vincekframaio
Fonction de deux variables Analyse 2 x y z 1 2 Définitions Définition 1 R2 est l’ensemble des couples (x;y) avec x et y des nombres réels Il est possible d’ajouter deux couples ou de multiplier un couple par un nombre réel :
Chapitre 8 Fonctions de deux variables - Unisciel
Dé nition 5 : Soit fune fonction de deux ariables v La fonction partielle f x est dé nie par : f x: x7f(x;y) (la ariablev yest alors considérée comme un paramètre) De même la fonction partielle f y est la fonction qui à tout réel yassocie f(x;y)
Fonction de deux variables - famillefuteecom
F1 - Fonction de deux variables www famillefutee com 2 Détermination d’une courbe/ligne de niveau La courbe de niveau d’une fonction de deux variables , est l’ensemble des points du plan qui vérifie l’équation Exemple 1 : On résout alors cette équation :
Fonctions de plusieurs variables - GitHub Pages
Afin de tracer le graphe d’une fonction de deux variables, on peut découper la surface en « tranches » On fixe par exemple une valeur y0 et on trace dans le plan (xOz) le graphe de la fonction d’une variable f jy 0: x 7f (x, y0) Géométriquement, cela revient à tracer l’intersection du graphe de f et du plan d’équation (y
Fonctions à deux variables - normale sup
Fonctions à deux variables ECE3 Lycée Carnot 25 janvier 2012 1 Aspect graphique Définition 1 Une fonction à deux variables est une application f : D → R, où D est une sous-ensemble du plan R2 appelé domaine de définition de la fonction f Exemples : La fonction f :(x,y)7→x3+2x2y+xy3−4y2 est une fonction à deux variables définie
Optimisation des fonctions de deux variables
Optimisation des fonctions de deux variables Chapitre 2 f est une fonction polynôme, donc est dérivable sur R2 et ses dérivées partielles, qui sont des polynômes, sont continues sur R2, donc f est C1 sur R2 D’après le théorème précédent :
Chap 3: Optimisation dune fonction à deux variables
Donc il suffit de chercher un ou les extrêmum(s) de la fonction ’() qui dépend d’une seule variable x : La fonction ’() est une fonction polynôme, donc elle est deux fois dérivables, ainsi ’0(x) = 6 2x ’00(x) = 2
Etude des extrema d’une fonction
22 3 ETUDE DES EXTREMA D’UNE FONCTION 2 Cas des fonctions de deux variables On va g´en´eraliser la discussion pr´ec´edente aux fonction `a deux variables On se donne f d´efinie sur un domaine D de R2 et on d´esire d´eterminer les x =(x,y)o`u f( x ) prend des valeurs extrˆemes On suppose que f est deux fois d´erivable Pour
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Fonctions à deux variables
PTSI B Lycée Eiffel
5 juillet 2013
Il faut avoir beaucoup étudié pour savoir peu.Montesquieu.
Étudie, non pour savoir plus, mais pour savoir mieux.Sénèque.
Il n"y a pas de problèmes, il n"y a que des professeurs.Jacques Prévert.
Introduction
Pour ce dernier chapître de l"année, nous allons faire un rapide survol des techniques d"étude et de
calcul reliées aux fonctions à deux variables que vous approfondirez l"an prochain. Au programme,
des choses que vous avez pour la plupart déjà croisées en physique ou en SII : calcul de dérivées
partielles, calus d"intégrales doubles, et un tout petit peu de champs de vecteurs.Objectifs du chapitre :
savoir calculer des dérivées partielles et déterminer des points critiques.comprendre l"intérêt des intégrales doubles et de la formule de Green-Riemann pour le calcul
d"aires.1 Continuité, dérivées partielles
1.1 Aspect graphique
Définition 1.Unefonction à deux variablesest une applicationf:D →R, oùDest une sous-ensemble du planR2appelédomaine de définitionde la fonctionf. 1 Exemples :La fonctionf: (x,y)?→x3+2x2y+xy3-4y2est une fonction à deux variables définie surR2tout entier. La fonctiong: (x,y)?→ln(x+y-1)est une fonction définie sur l"ensemble descouples(x,y)vérifiantx+y-1>0, qui se trouve être le demi-plan supérieur ouvert délimité par la
droite d"équationy= 1-x. La fonctionh: (x,y)?→?4-x2-y2est définie à l"intérieur du cercle
de centreOet de rayon2.Définition 2.Lasurface représentatived"une fonction à deux variables dans un repère(O,?i,?j,?k)
de l"espace est l"ensemble des pointsM(x,y,z)vérifiantz=f(x,y).Remarque1.Une fonction à deux variables n"est donc pas représentée parune courbe. Il est très
difficile en général de visualiser ce genre de représentations graphiques, c"est pourquoi on en est
souvent réduit à étudier les coupes de la surface par des plans simples. Définition 3.Soitkun réel etfune fonction de deux variables, laligne de niveaukde la fonction fest l"ensemble des couples(x,y)vérifiantf(x,y) =k.Remarque2.Il s"agit donc de la coupe de la surface représentative defpar le plan " horizontal »
d"équationz=k. La plupart du temps, une ligne de niveau n"est pas la courbe représentative d"une
fonction à une variable.Exemple :Considérons la fonctionf(x,y) =x2+y2, sa ligne de niveaukest définie par l"équation
x2+y2=k. Il s"agit donc du cercle de centreOet de rayon⎷
kquandkest positif, la ligne de niveau est vide sinon. Voici une représentation des lignes de niveau pourkentier compris entre-1et4. Il ne reste plus qu"à les relier mentalement pour imaginer l"allure de la surface représentative
def.Définition 4.Soitf: (x,y)?→f(x,y)à deux variables, lesapplications partiellesassociées sont
les deux fonctions à une variablefx:x?→f(x,y)etfy:y?→f(x,y).Remarque3.Les applications partielles sont donc données par la même équation que la fonctionf
elle-même, seul le statut dexet deychange : au lieu d"avoir deux variables, l"une d"elles est désormais
fixée (sa valeur dépend du point(x,y)en lequel on regarde les applications partielles). Par exemple,
sif(x,y) =x2-3xy+y3, on dira que l"application partielle obtenue en fixanty= 1est la fonctiond"une variablex?→x2-3x+1(on a poséy= 1dans l"équation def), ou que l"application partielle
obtenue en fixantx= 2est la fonctiony?→4-6y+y3. Tracer les représentations graphiques deces applications partielles revient à tracer la coupe de la surface représentative defpar les plans
d"équation respectivey= 1etx= 2(plans " verticaux » si on oriente le repère de façon habituelle).
Remarque4.Les courbes des applications partielles et les lignes de niveau permettent de reconstituerl"intégralité de la surface. Reprenons notre fonctionf: (x,y)?→x2+y2. On a déjà vu que ses lignes
de niveau étaient des cercles. Les applications partiellessont toutes représentées par des paraboles.
En particulier, à l"origine, elles ont pour équationx?→x2ety?→y2(donc les courbes en sont
identiques). D"où l"allure globale de la surface, appelée paraboloïde de révolution car elle est obtenue
en faisant " tourner » une parabole autour de l"axe(Oz), premier exemple du paragraphe suivant. 21.2 Exemples de surfaces
Juste quelques surfaces tracées à l"ordinateur pour avoir une idée de ce à quoi ça peut ressembler.
-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
zf(x,y)=x^2+y^2 x yz -3-2-1 0 1 2 3-3-2-1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 zf(x,y)=(x^3-3x)/(1+y^2) xyz 3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 zf(x,y)=2(x^2+y^2)e^(-x^2-y^2) xyz -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -25-20-15-10-5 0 5 10 15 20 25 zf(x,y)=x^3-4x^2y+5y-2 xyz 41.3 ContinuitéDéfinition 5.Une fonctionf:Df→R2admet en un pointM(a,b)unelimite finiel?Rsi
?ε >0,?η >0,0remplaçant les valeurs absolues par des normes. De fait, la valeur absolue est bien la distance associéeau produit scalaire usuel surR. On peut très facilement généraliser cette notion de continuité à des
fonctions ànvariables, pour tout entier naturelnnon nul. Définition 6.Uneboule ouvertede centre(a,b)et de rayonr >0dansR2est l"ensemble B={(x,y)?R2| ?(x,y)-(a,b)?< r}. Un sous-ensembleUdeR2est unouvertsi?(x,y)?U, il existe un rayonr >0tel que la boule ouverte de centre(x,y)et de rayonrsoit entièrement incluse dansU. Unvoisinagede(x,y)?R2est un ouvert deR2contenant(x,y). Remarque6.Un ouvert deR2est donc voisinage de chacun de ses points, c"est-à-dire qu"il contient une boule ouverte autour de chaque point. Intuitivement, unouvert est un ensemble qui n"a pas de" bord ». Nous ne rentrerons pas plus dans les détails de la passionnante branche des mathématiques
qui s"appelle la topologie. Sachez simplement que les ouverts sont les ensembles sur lesquels il est le
plus facile d"étudier des fonctions à plusieurs variables,et qu"on supposera ainsi la plupart du temps
que nos fonctions sont définies sur des ouverts, sans plus de précision. Proposition 1.Sif(x,y)?k?(x,y)?sur un voisinage de l"origine, alorslim(x,y)→(0,0)f(x,y) = 0.Démonstration.Il suffit de prendreη=ε
kdans la définition de la limite. Notons qu"il suffit quenos inégalités soient valables sur un voisinage de l"origine, puisqu"elle le seront alors sur une boule
ouverte de rayonrcentrée en l"origine; si jamaisηfait déborder nos valeurs de cette boule ouverte,
on prendrà la place deηet la définition restera vérifiée.Exemple :Soitf: (x,y)?→xy2x2+y2. La limite de cette fonction à l"origine n"a rien d"évident a
priori, mais devient plus simple après un passage en coordonnées polaire, en utilisant la propriété
précédente :f(ρ,θ) =ρcos(θ)×ρ2sin2(θ) ρ2=ρcos(θ)sin2(θ). En particulier,|f(x,y)|?ρ=?(x,y)?, ce qui prouve quelim(x,y)→(0,0)f(x,y) = 0.Remarque7.À l"aide des définitions données plus haut, on peut donner unedéfinition plus simple
mais plus technique de la limite :lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =lsi pour tout voisinageIdel(dansR, donc tout intervalle ouvert contenantl), il existe un voisinageVde(a,b)tel quef(V)?I. On peut enfait pousser les choses beaucoup plus loin : en définissant les ouverts deRde la même façon que ceux
deR2(voisinages de chacun de leurs points), une fonctionf:R2→Rest continue (partout) si et seulement si l"image réciproque de tout ouvert deRparfest un ouvert deR2.Théorème 1.Tout fonction à deux variables obtenue comme somme produit,quotient ou composée
de fonctions continues est continue sur son ensemble de définition.Démonstration.Comme dans le cas des fonctions à une variable, c"est très long et complètement
inintéressant, nous admettons ce résultat. Théorème 2.Caractérisation séquentielle de la limite.lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =l?pour toutes suites de réels(xn)et(yn)convergeant respectivement versaet
b,limn→+∞f(xn,yn) =l.Démonstration.La démonstration est la même que dans le cas de fonctions à unevariable (en un
peu plus technique), on admet aussi. 5 Exemple :Comme dans le cas des fonctions à une variable, on se sert surtout de la contraposée de la première implication : si on peut trouver deux couples de suites(xn,yn)et(x?n,y?n)ayantles mêmes limites mais pour lesquelleslimn→+∞f(xn,yn)?= limn→+∞f(x?n,y?n), alorsfne peut pas être
continue au point considéré. Ainsi, sif(x,y) =x+y ?x2+y2, on constate aisément quef?1n,-1n? = 0 maisf?1 n,1n? =2 n⎷2 n=⎷2, ce qui empêche la fonction d"avoir une limite en l"origine.
Proposition 2.Sifest continue en un point(a,b), ses deux applications partielles sont continues respectivement enbet ena. Démonstration.C"est évident en constatant que|x-a|??(x,y)-(a,b)?(et de même poury), on peut prendre la même valeur deηpour les deux définitions de la continuité. Remarque8.La réciproque de ce résultat est malheureusement fausse (onne peut pas ramener lacontinuité d"une fonction à deux variables à celle de fonctions à une variable). Ainsi, la fonctionf:
(x,y)?→xy x2+y2, prolongée parf(0,0) = 0, n"est pas continue en0(on peut utiliser la caractérisation séquentielle de la limite :f?1 n,0? = 0etf?1n,1n?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2