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Fonctions de plusieurs variables - Cours et exercices de

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Exo7

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**TEtudier l"existence et la valeur éventuelle d"une limite en(0;0)des fonctions suivantes :

1. xyx+y 2. xyx 2+y2 3. x2y2x 2+y2 4.

1+x2+y2y

siny 5. x3+y3x 2+y2 6. x4+y4x 2+y2. t7!xt2+ytpuisF(x;y) =sup t2[1;1]f x;y(t). Etudier la continuité deFsurR2. xy(x2y2)x

2+y2si(x;y)6= (0;0).

(x;y)7!(0 siy=0 y

2sinxy

siy6=0. 1.

Etudier la continuité de f.

Etudier l"e xistenceet la v aleurév entuellede déri véespartielles d"ordre 1 et 2. On montrera en particulier

que

Déterminer une fontion de classeC2sur un intervalleIdeRà préciser à valeurs dansRtelle que la fonction

1 g(x;y) =fcos2xch2y

soit non constante et ait un laplacien nul sur un sous-ensemble deR2le plus grand possible (une fonction de

Laplacien nul est dite harmonique).

1.f:R2!R

(x;y)7!x2+xy+y2+2x+3y

2.f:R2!R

(x;y)7!x4+y44xy admettra que ce maximum existe).

2+(ya)2+py

2+(xa)2.

dansRqui à(x;y)associejyx vérifie : 3. 1. 2

2+y2surD=f(x;y)2R2=x>0g(en passant en polaires).

Correction del"exer cice1 NOn notefla fonction considérée. 1.

Pour x6=0,f(x;x+x3)=x(x+x3)xx+x3x!0+1x

. Quandxtendvers0,x+x3tendvers0puis lim(x;y)!(0;0) x>0;y=x+x3f(x;y)=

¥.fn"a de limite réelle en(0;0).

Pour x6=0,f(x;0) =x0x

2+02=0 puis lim(x;y)!(0;0)

y=0f(x;y) =0. Mais aussi, pourx6=0,f(x;x) =xxx

2+x2=12

puis lim (x;y)!(0;0)x=yf(x;y) =12 . Donc sifa une limite réelle, cette limite doit être égale à 0 et à12 ce qui est impossible.fn"a pas de limite réelle en(0;0). 3. Pour tout (x;y)2R2,x22jxyj+y2= (jxjjyj)2>0 et doncjxyj612 (x2+y2). Par suite, pour(x;y)6= (0;0), jf(x;y)j=x2y2x

2+y26(x2+y2)24(x2+y2)=14

(x2+y2).

Comme lim

(x;y)!(0;0)14 (x2+y2) =0, on a aussi lim(x;y)!(0;0)f(x;y) =0. 4. lim (x;y)!(0;0)sinyy =1 et lim(x;y)!(0;0)(1+x2+y2) =1. Donc lim(x;y)!(0;0)f(x;y) =1. 5.

Pour (x;y)2R2,jx3+y3j=jx+yj(x2+xy+y2)632

jx+yj(x2+y2)et donc pour(x;y)6= (0;0), jf(x;y)j=jx3+y3jx

2+y2632

jx+yj.

Comme lim

(x;y)!(0;0)32 jx+yj=0, on a aussi lim(x;y)!(0;0)f(x;y) =0. 6.

Pour (x;y)2R2,jx4+y4j= (x2+y2)22x2y26(x2+y2)2+212

(x2+y2)2=32 (x2+y2)2et donc pour(x;y)6= (0;0), jf(x;y)j=jx4+y4jx

2+y2632

(x2+y2).

Comme lim

(x;y)!(0;0)32

(x2+y2) =0, on a aussi lim(x;y)!(0;0)f(x;y) =0.Correction del"exer cice2 NDéterminonstoutd"abordF(x;y)pour(x;y)2R2. •Poury2R,F(x;y)=Maxff0;y(1);f0;y(1)g=Maxfy;yg=

jyj. • Six6=0,F(x;y) =Maxfx;y(1);fx;yy2x;fx;y(1)=Maxn x+y;xy;y24xo =Maxn x+jyj;y24xo Plus précisément, six>0, on ax+jyj>0 ety24x60. DoncF(x;y) =x+jyjce qui reste vrai quandx=0. Si x<0,x+jyj y24x =4x2+4xjyj+y24x=(2x+jyj)24x<0 et doncF(x;y) =y24x.

8(x;y)2R2;F(x;y) =(x+jyjsix>0

y24xsix<0.En vertu de théorèmes généraux,Fest continue surf(x;y)2R2;x>0getf(x;y)2R2;x<0g. Soity06=0.

lim(x;y)!(0;y0) x<0;y=y0F(x;y) = +¥6=jy0j=F(0;y0)et doncFn"est pas continue en(0;y0). Enfin, lim(x;y)!(0;0) x<0;y=pxF(x;y) = 14

6=0=F(0;0)et doncFn"est pas continue en(0;0).

Fest continue surR2nf(0;y);y2Rget est discontinue en tout(0;y),y2R.Correction del"exer cice3 N• Pour(x;y)2R2,x2+y2=0,x=y=0 et doncfest définie surR2. •fest de classeC¥surR2nf(0;0)g

en tant que quotient de fonctions de classeC¥surR2nf(0;0)gdont le dénominateur ne s"annule pas sur

2nf(0;0)g.

2+y2=jxyj. Commelim(x;y)!(0;0)jxyj=0, onendéduitque lim(x;y)!(0;0)

(x;y)6=(0;0)f(x;y)= f(x;0)f(0;0)x0=x0(x202)x(x2+02)=0, et donc lim

x!0f(x;0)f(0;0)x0=0. Ainsi,fadmet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en(0;0)

Finalement,fadmet surR2une dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par

:0 si(x;y) = (0;0) y(x4+4x2y2y4)(x2+y2)2si(x;y)6= (0;0). dansR2 Donc,fadmet surR2une dérivée partielle par rapport à sa deuxième variable définie par :0 si(x;y) = (0;0) x(x44x2y2y4)(x2+y2)2si(x;y)6= (0;0). R fest de classeC1exactement surR2.Correction del"exer cice4 N4

1.Posons D=f(x;y)=y6=0g.fest continue surR2nDen vertu de théorèmes généraux. Soitx02R.

jf(x;y)f(x0;0)j=(0 siy=0 y

2sinxy

siy6=06y2.

Comme lim

(x;y)!(x0;0)y2=0, lim(x;y)!(x0;0)jf(x;y)f(x0;0)j=0 et doncfest continue en(x0;0). Finalement, (x;y)2R2nD, xcosxy puis xy sinxy et enfin 2xy cosxy x2y

2sinxy

variable surR2définie par ycosxy f(x0;y)f(x0;0)y0=(0 siy=0 ysinx 0y siy6=06jyj: et donc dérivée partielle par rapport à sa deuxième variable surR2définie par

2ysinxy

xcosxy 5 et donc )y =1 et donc

décritR2,cos(2x)ch(2y)décrit[1;1]. On suppose déjà quefest de classeC2sur[1;1]. L"applicationgest alors de

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