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Polynômes de Tchebychev - MATHEMATIQUES

Polynômes de Tchebychev Pafnoutïi Lvovitch Tchebychev, mathématicien russe , est né à Borovsk en 1821 et mort à Saint-Pétersbourg en 1894 1) Définition et existence a) Polynômes de Tchebychev de 1ère espèce : Tn Soit n un entier naturel Il existe un et un seul polynôme noté Tn tel que ∀θ ∈ R, Tn(cosθ)=cos(nθ) Unicité

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polynômes de Tchebychev de 1 ère et de 2 ème espèce, car ce grand mathématicien russe fut sans doute le premier à leur trouver des applications loin du cadre étroit de la trigonométrie Dans cet exposé, tous les polynômes considérés sont à coefficients réels ou complexes

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CORRIGE : Polynômes de Tchebychev de première espèce On considère les polynômes P n définis par : P 0 = I, P 1 = X et la relation : n IN, P n+2 = 2 X P n+1 – P n PARTIE I 1) Calculer P 2, P 3, P 4 P 0 3= I , P 1 2= X , P 2 4= 2 X – 1 , P 3 = 4 X – 3 X et P 5 = 8 X – 8 X 2 + 1 2) a) Montrer que P n est de degré n

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Centrale 1 2010 option PC a= 1 etb= 1 4 I B-I B 1) a) F nétantpolynomiale,F nestC1 b) narccos estC1 sur] 1;1[ dedérivéex7 n p 1 x2 etcos estC1 surR dedérivée sin,parformule

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25 Les polynômes de Tchebychev ♪ Soit n 2N a Montrer qu’il existe un unique polynôme réel Tn tel que, 8t 2R, cos(nt) ˘Tn (cos(t)) b Expliciter Tk pour k É3 c Pour tout n ˚1, trouver une relation entre Tn¯1, Tn et Tn¡1 d Préciser, pour tout n 2N, la parité, le degré et le coefficient dominant de Tn e Déterminer les

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EXERCICE 26 : Polynômes de Tchebychev de première espèce On considère la suite de polynômes de ℝ[X] définie de la manière suivante : * T T X n T XT T0 1 1 1= = ∀∈ = −1, , et ℕ n n n+ − 1) Déterminer, pour tout entier naturel n, le terme de plus haut degré de T n 2) Montrer que ∀∈ ∀∈ =n T nℕ ℝ, , cos cosθ θ θ

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