CHAPITRE 3 Dérivées et primitives - Free
Ch 03 Dérivées et primitives Tale STI2D 1 2 Tableaux des dérivées Soit f une fonction dérivable en tout point x d’un intervalle I, alors la fonction qui à x associe f′(x) est appelé fonction dérivée de f sur I Définition 2 Pour obtenir les formules des dérivées, on utilise la définition du nombre dérivé : Exemple 3 Soit f
Fonction dérivée et étude des variations d’une fonction Le
Utiliser les formules et les règles de dérivation pour déterminer la dérivée d’une fonction Fonction dérivée d’une fonction dérivable sur un intervalle I Fonctions dérivées des fonctions de ré-férence x → ax + b (a et b réels), x → x2, x → 1 x,x → √ x et x → x3 Notation f′(x) Dérivée du produit d’une
NOM : DERIVATION 1ère S
NOM : DERIVATION 1ère S Exercice 5 On considère les deux fonctions fet gdéfinies sur R par : f(x) = x2 3x g(x) = x3 3x 1) Etude de f a) Calculer la dérivée f0de f b) Etudier le signe de la dérivée f0
Continuité - Dérivation
Tableaux de variation 13 Théorème des valeurs intermédiaires 13 Solution approchée d'une équation 15 TVI et limites infinies 15 Algorithme de dichotomie 16 A Tableaux de variation Fondamental : Convention Il est convenu que, dans un tableau de variations, les flèches obliques indiquent que la fonction est continue et strictement monotone
Tableaux des primitives usuelles - Mathovore
Tableaux des primitives usuelles Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve Euclide d’Alexandrie Toutes les primitives de ces tableaux s'obtiennent à partir de la connaissance parfaite des formules de dérivation, et, les résultats se contrôlent en dérivant On doit avoir F ' = f Tableau des primitives des fonctions
Les produits dérivés
Les risques économiques et financiers couverts par les produits dérivés Nature du risque Définition Risque de taux Risque d’une évolution défavorable du taux d’intérêt lorsqu’un agent économique est engagé dans une opération financière à taux variable : celui d’une hausse pour un emprunteur ; celui d’une baisse pour un
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NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 1
Dériver les fonctions suivantes :
f(x) =x2 g(x) = 3x42x3+ 5x4h(x) =px 11x k(x) =x+ 5x2+ 1D. LE FUR 1/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 2
Dériver les fonctions suivantes :
f(x) = 4x23x+ 1 g(x) = (2x+ 3)(3x7)h(x) =2x+ 43x1pourx6=13 k(x) = (2x2+ 3x+ 1)2D. LE FUR 2/??NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 3
On considère la fonction définie parf(x) =x2x1. On note(Cf)sa courbe représentative.On considère également la fonctiongdéfinie parg(x) = 3x. On note(D)sa représentation graphique.
1)Calculer la dérivéef0def.
2)Déterminer une équation de la tangente(T)à la courbe(Cf)au point d"abscissex0= 2.
3)Résoudre par le calcul l"équationg(x) =f(x).
4)Préciser les coordonnées des points d"intersections de(Cf)et(D).
5)Tracer sur un même repère les droites(T),(D)et la courbe(Cf).
IllustrationO~
i~ j(Cf)(D)A65432101234563210123456789
D. LE FUR 3/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 4
Soitfla fonction définie surRnf1gpar :f(x) =2x+ 3x1.On note(Cf)sa courbe représentative.
1)Calculer la dérivéef0def.
2)SoitAle point d"intersection de(Cf)avec l"axe des abscisses.
Calculer les coordonnées deA, puis une équation de la tangente(TA)à la courbe(Cf)au pointA.3)SoitBle point d"intersection de(Cf)avec l"axe des ordonnées.
Calculer les coordonnées deB, puis une équation de la tangente(TB)à la courbe(Cf)au pointB.4)Tracer sur un même repère(TA),(TB)et(Cf).Illustration
O~ i~ j(Cf)A B 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 9 8 7 6 5 43210123456789
D. LE FUR 4/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 5
On considère les deux fonctionsfetgdéfinies surRpar : f(x) =x23x g(x) =x33x1)Etude def.
a)Calculer la dérivéef0def. b)Etudier le signe de la dérivéef0. c)En déduire le tableau de variations de la fonctionf.2)Etude deg.
a)Calculer la dérivéeg0deg. b)Etudier le signe de la dérivéeg0. c)En déduire le tableau de variations de la fonctiong.3)Comparaison des deux fonctions.
a)Graphiques.i.Tracer soigneusement, dans un même repère, les courbes(Cf)et(Cg)représentant les fonctionsf
etg. On se limitera à l"intervalle[2 ; 2]. ii.A l"aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes : A. Combien y a-t-il de points d"intersections entre (Cf)et(Cg)? B.Quelles sont leurs coordonnées ?
b)Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par le calcul. i.Résoudre l"équationf(x) =g(x).ii.En déduire, par calcul, les coordonnées des pointsAetBd"intersection de(Cf)et(Cg).Illustration
O~ i~ j(Cf)(Cg) 2 1 0 1 2 3210123
D. LE FUR 5/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 6
On considère la fonctionfdéfinie parf(x) =xx2+ 1surR.
1)Démontrer quefest une fonction paire.
2)Calculer la dérivéef0def.
3)Quel est le signe du dénominateur def0(x)?
4)Résoudre l"inéquationf0(x)>0.
5)Dresser le tableau de variations de la fonctionfen précisant la valeurMde son maximum et la valeurm
de son minimum.6)Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonctionfsur l"intervalle[4 ; 4].
IllustrationO~
i~ j(Cf)43210123421012D. LE FUR 6/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 7
On considère les deux fonctionsfetgdéfinies surRnf1gpar : f(x) =x1g(x) =x2x11)Etude def.
a)Calculer la dérivéef0def. b)Etudier le signe de la dérivéef0. c)En déduire le tableau de variations de la fonctionf.2)Etude deg.
a)Calculer la dérivéeg0deg. b)Etudier le signe de la dérivéeg0. c)En déduire le tableau de variations de la fonctiong.3)Comparaison des deux fonctions.
a)Graphiques.i.Tracer soigneusement, dans un même repère, les courbes(Cf)et(Cg)représentant les fonctionsf
etg. On se limitera à l"intervalle[3 ; 5]. ii.A l"aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes : A. Combien y a-t-il de point(s) d"intersection(s) entre (Cf)et(Cg)? B.Quelles sont leurs coordonnées ?
b)Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par le calcul. i.Résoudre l"équationf(x) =g(x). ii.En déduire, par calcul, les coordonnées des pointsAetBd"intersection de(Cf)et(Cg).IllustrationO~
i~ j(Cf)(Cg) 3 2 1 0 1 2 3 4 5 4321012345678
D. LE FUR 7/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 8
On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x34x2+ 4x.1)Calculer la dérivéef0def.
2)Etudier le signe de la dérivéef0.
3)En déduire le tableau de variations de la fonctionf. On précisera les éventuels extremums.
4)Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonctionfsur l"intervalle[1 ; 3].
5)Déterminer par le calcul les coordonnées des points d"intersection de(Cf)avec l"axe des abscisses.
IllustrationO~
i~ j(Cf)101238765432101234D. LE FUR 8/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 9
1)Dresser le tableau de variations de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x23x+ 2.
2)Résoudre l"équationf(x) = 0.
IllustrationO~
i~ j(Cf)210123451012345678910D. LE FUR 9/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 10
On considère la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x33x3.On note(Cf)sa représentation graphique.
1)Calculer la dérivéef0defpuis étudier son signe.
2)Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
3)Déterminer une équation de la tangente(T)à(Cf)au point d"abscisse0.
4)Tracer(T)et(Cf)dans un même repère.
5)Démontrer que l"équationf(x) = 0admet une solution uniquedans l"intervalle[2 ; 3].
6)Donner une valeur approchée de, par défaut, à101près.Illustration
O~ i~ j(Cf)A 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 58765432101234
D. LE FUR 10/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 11
On considère un rectangle dont le périmètrePest égal à4m.1)Déterminer ses dimensions (longueurLet largeurl) sachant que son aireSest égale à34
cm2.2)On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aireSsoit maximale.
a)ExprimerSen fonction del. b)On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x(2x). Calculer la dérivéef0defpuis étudier son signe.Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
Tracer la représentation graphique(Cf)de la fonctionfsur[0 ; 2].c)En déduire les dimensons du rectangle dont le périmétrePest égal à4met l"aireSest maximale.
IllustrationO~
i~ j(Cf)10121012D. LE FUR 11/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 12
1)On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) = 2x360x2+ 450x.
a)Etudier les variations defsur l"intervalle[0 ; 20]. Dresser le tableau de variations def.b)Déterminer une équation de la tangente()à la courbe représentaive(Cf)defau point d"abscisse0.
c)Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d"intersection de(Cf)avec l"axe des abscisses.
d)Tracer()et(Cf)pourx2[0 ; 20].2)Un fabriquant envisage la production de briques de lait en carton obtenues en découpant deux bandes de
même largeur dans une feuille carrée.Le côté de la feuille mesure30cmet on désigne parxla mesure (en centimètres) de la largeur des bandes
découpées. On suppose que0< x <15. a)Démontrer que le volume (encm3) de la boîte estV(x) = 2x360x2+ 450x. b)Pour quelle valeur dexle volumeV(x)est-il maximal? Préciser la valeur de ce volume maximal en litres.D. LE FUR 12/??