ENSEMBLES DE NOMBRES - Maths & tiques
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Cours de mathématiques pour la classe de Seconde
VincentDujardin- FlorentGirod1
Année scolaire 2014 / 2015
1. Externat Notre Dame -Grenoble
Table des matières0 Ensembles de nombres et intervalles deR31) Principaux ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4
2) L"axe des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3) Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4) Union d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5) Intersection d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7
1 Algèbre8
1) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse (rappels) . . . . . . . . 9
2) Transformations d"expressions (rappels) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 10
3) Trois méthodes pour démontrer une égalité . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12
4) Égalités équivalentes (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13
2 Équations et inéquations : bases algébriques et approche graphique 14
1) (In)équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2) Résolutions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18
3 Modéliser par des fonctions20
1) Modéliser par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21
2) Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
3) Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
4) Image, antécédent(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
4 Sens de variations - Fonctions affines28
1) Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2) Extremum d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
3) Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Fonctions carré, inverse, de degré 2, homographique 34
1) La fonction carré :2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2) Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
3) Fonctions polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39
4) Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 40
6 Inéquations, étude de signes, sens de variations 41
1) Inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2) Sens de variation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44
17 Trigonométrie46
1) Enroulement de la droite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47
2) Sinus et cosinus d"un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 50
8 Analyse de données - Statistiques descriptives 52
1) Effectifs et fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 53
2) Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3) Indicateurs de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 55
4) Indicateurs de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 56
5) La démarche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56
9 Probabilités57
1) Modélisation d"une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 58
2) Probabilité d"un évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 60
3) Opération sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 61
10 Fluctuation d"échantillonnage62
1) Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
2) Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 63
3) Estimation d"une proportion à partir d"un échantillon . .. . . . . . . . . . . 66
11 Géométrie dans l"espace67
1) Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2) Représentation de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 69
3) Droites et plans de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 70
12 Vecteurs, repérage72
1) Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2) Repère du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
13 Équations de droites84
1) Équation de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2) Droites parallèles ou sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 88
2Chapitre 0Ensembles de nombres et intervalles deR
Bulletin Officiel (B.O)
Notations mathématiques
Les élèves doivent connaître les notions d"éléments d"un ensemble, d"un sous-ensemble, d"ap-
partenance et d"inclusion, d"intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant :,,,ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, surdes exemples, à utiliser correctement les connecteurs logiques " et », " ou » et à distinguer
leur sens des sens courants de " et », " ou » dans le langage usuel.Objectifs du chapitre:
itemréférencesauto évaluation connaître les ensembles de nombres (et leurs notations) utiliser les symboles,,, traduire l"appartenance à un intervalle deR utiliser les connecteurs logiques " et », " ou » 31) Principaux ensembles de nombres1 - 1) Les ensembles
NotationListeDescription
Rtous les nombres que vous connaisseznombresréelsN0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers naturels
Z;?3 ;?2 ;?1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers relatifsOn définit aussi les sous-ensembles suivants :
-R: tous les nombres réels sauf 0; -R+: tous les nombres réels positifs; -R: tous les nombres réels négatifs.1 - 2) Appartenance et inclusion
Certains nombres
appartiennentà un ensemble donné; on note cette appartenance avec le symbolePar exemple,?5Z.
Certains ensembles sont
inclusdans d"autres ensembles; on note cette inclusion avec le symbole Par exemple, si un nombre est entier naturel, alors il est entier relatif; cela se note :NZ2) L"axe des réels
On peut représenter les nombres réels sur une droite graduée: - On définit un repère():est l"origine (abscisse 0),définit l"unité (abscisse 1). ?3?2?1 0 1 2 3 4 5? - Chaque point est repéré par son abscisse. Ici :(3)et(?2). - L"axe des réels n"a pas de borne : il est infini à gauche et à droite. - On notela notion d"infini :?est l"infini à gauche, et+est l"infini à droite. 43) Intervalles deR
etsont deux nombres, avecExemples:
"appartient à l"intervalle fermé[;]» - signifie?? - se note[;] ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle ouvert];[» - signifie - se note];[ ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle[; +[» - signifie? - se note]; +[ ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle]? ;]» - signifie? - se note]? ;] ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6Remarque et vocabulaire:
-signifie " appartient » etsignifie " n"appartient pas »; -etsont les bornes de l"intervalle;- Lorsque la borneappartientà l"intervalle, elle est dite " fermée » : le crochet est orienté
vers la borne; 5 - Lorsque la bornen"appartient pasà l"intervalle, elle est dite " ouverte » : le crochet " tourne le dos » à la borne. exemples : avec= [?2 ; 6[, on sait que2et6 avec=]0 ; 7[, on sait que0et7 - L"infini n"étant pas un nombre, cette borne est toujours ouverte. - Il y a une infinité de nombres dans un intervalle[;](avec ).4) Union d"ensembles
Avecetdeux ensembles de nombres.
* se dit "appartient àunion» * signifieou(appartient à, à, ou aux deux)Application:
*[?1 ; 3][4 ; 6] signifie queest soit un nombre compris entre -1 et 3, soit un nombre compris entre 4 et 6. On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 *]0 ; 4[5 ; 6signifie queest soit un nombre compris (strictement) entre 0 et 4, soit un nombre égal à 5, soit un nombre égal à 6. On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 6Ou inclusif, ou exclusif" Entrée ou dessert » sur un menu signifie l"un ou l"autre, pas les deux pour le prix indiqué :
le " ou » est exclusif. " Pour Noël, j"aimerais avoir un PC ou un voyage aux USA » : le " ou » est inclusif : on souhaiterait évidemment avoir les deux.En mathématiques, le
ouestinclusif(l"un, l"autre ou les deux) Dans le langage, " Et » et " Ou » peuvent piéger... " Les personnes ayant droit à des réductions à la SNCF sont celles de moins de 25 ans et celles de plus de 65 ans. »On comprend :
" Une personne a une réduction si elle a moins de 25 ans ou plus de 65 ans (elle ne peut pas avoir les deux à la fois). »En mathématiques :
" les solutions sont les nombres compris entre -2 et 0 (inclus) et entre 4 et 5 (inclus) »On peut dire aussi :
"L"ensemble des solutions est[?2 ; 0][ 4; 5]:est solution équivaut à dire qu"il appartientà[?2 ; 0]ou à[4 ; 5].
5) Intersection d"ensembles
Avecetdeux ensembles de nombres.
* se dit "appartient àinter» * signifieet(appartient à la fois àet à)Application:
*[?1 ; 3][2 ; 6] signifie queest à la fois un nombre comprisentre -1 et 3, et compris entre 2 et 6: il est donc compris entre 2 et 3. En fait,[?1 ; 3][2 ; 6] = [2 ; 3] On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 *]0 ; 4[2 ; 6signifie queest à la fois un nombre compris (strictement)entre 0 et 4 , etsoit égal à 2, soit égal à 6: il est égal à 2. En fait,]0 ; 4[2 ; 6=2 On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 7Chapitre 1AlgèbreBulletin Officiel (B.O)
ContenuCapacités AttenduesCommentaires
Expressions algé-
briquesTransformations d"ex-
pressions algébriques en vue de la résolution de problèmes- Associer à un problème une expres- sion algébrique. - Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d"une ex- pression en vue de la résolution du problème donné. - Développer, factoriser des expres- sions polynomiales simples; trans- former des expressions rationnellessimples.Les activités de calcul nécessitent unecertaine maîtrise technique et doiventêtre l"occasion de raisonner.Les élèves apprennent à développer desstratégies s"appuyant sur l"observationde courbes, l"anticipation et l"intelli-gence du calcul. Le cas échéant, celas"accompagne d"une mobilisation éclai-rée et pertinente des logiciels de calculformel.