COURS TERMINALE S LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
COURS TERMINALE S LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES A L'équation différentielle y' = ay + b 1 Généralités Résoudre l'équation différentielle y' = ay + b sur un intervalle I, c'est trouver toutes les fonctions f dérivables sur I telles que f '( x) = af (x) + b Dans la plupart des cas, I =
Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S
Il ne contient pas tous les schémas, exercices d’application, algorithmes ou compléments prodigués en classe Il est indispensable de tenir des notes de cours afin de le compléter Compléments Certains passages vont au-delà des objectifs exigibles du programme de terminale S Le
Suites terminale s exercices corrigés
les suites terminale s pdf 48122703114 pdf xotikarulaxa pdf 58353689012 pdf patofisiologi creeping eruption pdf download makalah amdal pdf ncert solutions for class 12 chemistry amines pdf 1900 or the last president summary quartic curves equations brachycephalic syndrome in dogs pdf set theory questions and answers pdf open outlook email
Exercices corrigés de Chimie Terminale S
a été maintenue Les exercices dont seul le numéro est précisé peuvent être trouvés dans le livre de l’élève Chimie Terminale S, éditeur Bordas, 2002 En plus des exercices et de leurs corrigés, on trouvera ici les devoirs maisons, les devoirs surveillés et les bac blancs Ce livre est ainsi un outil de travail complet
1ère S Équations et inéquations irrationnelles
Résoudre dans les équations suivantes : 1 x x2 (1) ; x x2 5 1 (2) ; x x x2 5 3 2 1 (3) Solutions : (1) est successivement équivalente à : 1 x x2 2 et x 0 2 1x2 et x 0 2 1 2 x et x 0 1 2 x Soit S 1 l’ensemble des solutions de (1) 1 1 2 S
INSTITUTION SAINTE FATIMA TD CINEMATIQUE TERMINALE S
= 2 m/s et x 0 = 5 m où V 0 et x 0 sont respectivement la vitesse et l'abscisse du mobile à la date t = 0 Déterminer, pour ce point, les équations horaires v(t) et x(t) 8 Pendant le freinage, une voiture, lancée à la vitesse V = 90 km/h, parcourt 100 m avant de s’arrêter En
Fiche : Coniques - WordPresscom
On introduit les réels a et c strictement positifs tels que OF = c et OA = a où S est le sommet de (E ) tel F appartenant au segment [OS] 1 Si 11 i OF OF OF c : On pose b = ac22 ainsi a b c2 2 2 L’excentricité de (E ) est c e 1 a ˜ (E ) : 22 22 xy 1 ab L’axe focal est O,i Les foyer sont F c,0 et F c,0χ Les sommets principaux :
Les acides et les bases Corrigés des exercices
Lycée Denis-de-Rougemont OS Chimie - Corrigé Acides-Bases - 2 - Acides-bases 1 : Acides et bases de Brønsted 1 Parmi les ions ci-dessous, indiquez : a) Ceux qui sont des acides selon Brønsted
Terminale D - Transformer les ressources en performances
Des élèves d'une classe de terminale s'interroge sur ce qu’ils viennent de découvrir à l'exposition sur les journées mathématiques organisée par la Société Mathématique de Côte d'Ivoire (SMCI)
© Dunod, 2019
Il s’adresse principalement aux étudiants en 1re année Santé (PACES) pour la préparation des concours Médecine-Pharmacie-Dentaire-Sage femme mais il intéressera également les étudiants en classes préparatoires Bio-Véto et Agro (BCPST1) ainsi que les étudiants en L1 Sciences
[PDF] Les équations, ? un inconnu
[PDF] les equilibres chimiques exercices resolus pdf
[PDF] les équilibres naturels pdf
[PDF] Les erreurs des eleves dans l'ecrit en neuvieme classe
[PDF] les erreurs lexicales
[PDF] Les éruptions effusives et explosives
[PDF] les esapces verts dans deux communes de la nouvelle ville de marne la vallée
[PDF] Les esclaves ? Rome
[PDF] les esclaves et la danse
[PDF] Les Esclaves Tableau de Souleymane KEITA a analyser
[PDF] Les espace ruraux et la mondialisation
[PDF] les espaces exposes aux risques majeur
[PDF] les espaces exposés aux risques majeurs conclusion
[PDF] les espaces exposés aux risques majeurs controle
COURS TERMINALE S LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
A. L'équation différentielle y' = ay + b
1. Généralités
Résoudre l'équation différentielle y' = ay + b sur un intervalle I, c'est trouver toutes les fonctions f dérivables sur I telles
que f '(x) = af(x) + b. Dans la plupart des cas, I = ?.Cette équation différentielle est dite du premier ordre, linéaire, à coefficients constants.
2. Résolution de l'équation différentielle y' = ay (a réel)
Théorème: Les fonctions solutions de l'équation différentielle (E) : y' = ay sont les fonctions fk définies sur ? par
f k(x) = keax où k est un réel quelconque.Démonstration: Il est facile de montrer que la fonction fk(x) = keax est solution de l'équation (E).
Considérons une fonctions g solution de (E) et considérons la fonction h définie par h(x) = e - ax g(x). Cette fonction h
est dérivable sur ? comme produit de fonctions qui le sont, et h'(x) = - ae - axg(x) + e - ax g'(x) = e - ax (- ag(x) + g'(x)) = 0
puisque g est solution de (E). Donc la fonction h est constante, et pour tout réel x, h(x) = k , donc g(x) = keax .
Exemple: Résoudre l'équation 3y' = 2y;
On écrit l'équation sous la forme y' =
23y , qui donne les solutions fk(x) = ke23x où k est un réel quelconque.
3. Résolution de l'équation différentielle y' = ay + b (a et b réels, a ? 0)
Théorème: Les fonctions solutions de l'équation différentielle (E') : y' = ay + b sont les fonctions fk définies sur ??par
f k(x) = keax - b a où k est un réel quelconque. Démonstration: La fonction g définie par g(x) = - b a est solution de (E') (facile à vérifier). Une fonction f est solutionde (E') équivaut à f '(x) = af(x) + b, soit f '(x) - af(x) = b équivaut à f '(x) - af(x) = g '(x) - ag(x) , équivaut à
f '(x) - g '(x) = af(x) - ag(x) qui s'écrit (f(x) - g(x))' = a(f(x) - g(x)) équivaut à f - g est solution de l'équation
différentielle y' = ay. Les solutions sont les fonctions fk définies sur ? par fk(x) = keax où k est un réel quelconque.
Donc f(x) - g(x) = keax , donc f(x) = keax + g(x) = keax - b a où k est un réel quelconque.Exemple: Résoudre l'équation 2y' = 8y - 5 ;
On écrit l'équation sous la forme y' = 4y -
52, qui donne les solutions fk(x) = ke4x + 5
8 où k est un réel quelconque.
Théorème: Pour tous réels x0 et y0 , il existe une unique fonction f solution de l'équation (E') telle que f(x0) = y0 .
Démonstration: L'existence d'une solution a été établie précédemment. Soient f et g deux solutions de (E') vérifiant la
condition f(x0) = y0 et g(x0) = y0 . Dans ce cas, f(x) = k eax - b a, et g(x) = k'eax - b a où k et k' sont des réels.Donc f(x) - g(x) = (k - k')eax .
Et f(x0) - g(x0) = 0, donc (k - k')
eax0 = 0, soit k = k' puisque eax > 0, pour tout réel x. Et donc f(x) = g(x). La solution est bien unique. Exemple: Trouver la solution de l'équation 2y' = 8y - 5 qui s'annule en 1:Les solutions sont fk(x) = k
e4x + 58, vu précédemment. On veut que fk(1) = 0, soit ke4?1 + 5
8 = 0, donc k = ?5e?4
8La solution est f(x) = ?5e?4
8e4x + 5
8 = 5?1?e4x?4?
8.B. Équations se ramenant à y' = ay + b
1. Equation avec second membre
On cherche à résoudre des équations différentielles sur I de la forme (E'') : y' - ay + b = t(x) où t est une fonction
définie sur I. On cherche une solution particulière de (E'') et on lui ajoute les solutions de (E').
Exemple 1: (E1): y' - 3y = 2e1 - x .
a) Montrer que la fonction g définie sur ??par g(x) = ?12e1 - x est solution de l'équation (E1).
b) Montrer que f est solution de (E1) équivaut à f - g solution de (E1'): y' - 3y = 0. En déduire les solutions de (E1).
Solution: a) g'(x) =
12e1 - x , d'où g'(x) - 3g(x) = 1
2e1 - x - 3( ?1
2e1 - x ) = 2e1 - x . Donc g est solution de l'équation (E1).
b) f est solution de (E1) équivaut à f '(x) - 3f(x) = 2e1 - x équivaut à f '(x) - 3f(x) = g'(x) - 3g(x) équivaut à
f '(x) - g'(x) = 3f(x) - 3g(x) équivaut à (f(x) - g(x))' = 3(f(x) - g(x)) équivaut à f - g solution de (E1'): y' - 3y = 0.
Donc f(x) - g(x) = ke3x où k est un réel quelconque. Ainsi f(x) = ke3x + g(x) = ke3x + ?12e1 - x qui sont les solutions de
(E 1).Exemple 2: (E2): 2y' + 6y = x2 + 2x - 1 .
a) Trouver un polynôme P du second degré solution de l'équation (E 2).b) Montrer que f est solution de (E1) équivaut à f - P solution de (E2'): 2y' + 6y = 0. En déduire les solutions de (E2).
Solution: a) Soit P(x) = ax2 + bx + c , d'où
P'(x) = 2ax + b, et 2P'(x) + 6P(x) = 2(2ax + b) + 6( ax2 + bx + c) = 6ax2 + (4a + 6b)x + 2b + c qui doit être égal
à x2 + 2x - 1 . Par identification, on trouve 6a = 1, 4a + 6b = 2 et 2b + c = - 1, soit a = 16, b = 2
9 et c = ?13
9.Donc le polynôme P définie par P(x) =
16x2 + 2
9x - 13
9 est solution de l'équation (E2).
b) f est solution de (E2) équivaut à 2f '(x) + 6f(x) = x2 + 2x - 1 équivaut à 2f '(x) + 6f(x) = 2P '(x) + 6P(x) équivaut à
2 f '(x) - 2P'(x) + 6f(x) - 6P(x) = 0 équivaut à 2(f(x) - P(x))' + 6(f(x) - P(x)) = 0 équivaut à f - P solution
de (E2'): 2y' + 6y = 0. (E2') s'écrit y' = - 3y. Les solutions de (E2') sont les fonctions x -> ke- 3x .
Donc f(x) - P(x) = ke- 3x où k est un réel quelconque. Ainsi f(x) = ke- 3x + P(x) = ke- 3x +
16x2 + 2
9x - 13
9 qui sont les
solutions de (E 2).2. Transformation d'écritures
On cherche à résoudre des équations différentielles plus compliquées sur un intervalle I se ramenant à une équation de
la forme y' = ay + b par une transformation d'écriture.Exemple: Un biologiste observe la croissante d'une population de bactéries en milieu fermé. La population initiale est
de 100 bactéries. La capacité maximale du milieu est de 1000 bactéries. Soit N(t) le nombre de bactéries à l'instant t
( exprimé en heures ). Les observations faites conduisent à modéliser la situation par l'équation différentielle :
N'(t) = 0,07N(t)(1 - 10- 3 N(t)) appelée équation logistique. On suppose que, pour tout t, N(t) est non nul.