Exercice 2: Feuille dexercices 1: Matrices et espaces vectoriels
Feuille d'exercices 1: Matrices et espaces vectoriels I Systèmes linéaires et sous espaces vectoriels Exercice 1: Déterminer le rang et résoudre les systèmes qui suivent Pour les deux premiers systèmes, donner la position relative des trois plans associés aux équa-tions du système 1 8
Espaces vectoriels et matrices - LAGA - Accueil
Espaces vectoriels et matrices Exercice 1 Soit V = P 4[x] l’espace vectoriel de tous les polynˆomes de degr´e 6 4 Soit A = {p ∈ V p(1) = 0} et B = {p ∈ V x2 + 1 divise p(x)} V´erifier que A et B sont bien des sous-espaces vectoriels Donner des bases de A, B, A∩B et A+B Exercice 2 Soit F et G les sous-espaces de R5 d´efinis
TD 1 : Espaces vectoriels et matrices
Résultats sur les espaces vectoriels de dimension finie / applications linéaires : Soient E, F espaces vectoriels de dimension finie sur le corps K (IR ou C) et L(E;F) l’ensemble des applications linéaires U: EF (v1) Si n=dim(E), E est isomorphe avec Kn et toutes les bases ont le même cardinal (v2) E, F de même dimension ()E, F
Espaces vectoriels - PROBLEMES ET SOLUTIONS
Le chapitre « Espaces vectoriels » est le premier chapitre d’algèbre linéaire Les chapitres d’algèbre linéaire de maths sup sont : • Espaces vectoriels • Dimension d’un espace vectoriel • Matrices • Déterminants • Systèmes d’équations linéaires 1 Espaces vectoriels 1 1 Définitions
Espaces vectoriels - AlloSchool
les éléments de seront appelés des scalaires pour ;E 0 l’lément neutre on le note : ou 0 E ou simplement 0 2-2)exemples d’espaces vectoriels: Dans tous les exemples qui suivent, la vérification des axiomes se fait simplement et est laissée au soin des étudiants Seules seront indiquées, dans chaque cas, les
Espaces vectoriels (et affines) Chap 04 : cours complet
Théorème 8 4 : liens entre les matrices de passage pour trois bases de l’espace Théorème 8 5 : lien entre les matrices d’un même endomorphisme dans différentes bases 9 Somme de sous-espaces vectoriels, sommes directes, sous-espaces vectoriels supplémentaires Théorème 9 1 et définition 9 1 : somme de sous-espaces vectoriels
Algèbre linéaire – Cours I Espaces vectoriels
tant les vecteurs et les espaces vectoriels peuvent être présents à travers des réalités très diverses, en mathématiques et en sciences Remarque Ce n’est jamais un objet seul qui est ou n’est pas un vecteur, mais un ensemble d’objets, que l’on peut additionner entre eux etc , qui est alors un ensemble de vecteurs: un espace
Exo7 - Cours de mathématiques - Cours et exercices de
3 Justifier que les ensembles suivants ne sont pas des espaces vectoriels : (x, y) 2R2 jx y = 0; (x, y) 2R2 j x = 1; (x, y) 2R2 jx >0 et y >0; (x, y) 2R2 j1 6 x 61 et 1 6 y 61 4 Montrer par récurrence que si les vi sont des éléments d’un K-espace vectoriel E, alors pour tous i 2K : 1v1 + 2v2 + + nvn 2E 2 Espace vectoriel (fin) 2 1
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Universit´e Paris 13Ann´ee 2006-2007
Licence 2, Analyse et Alg`ebrefeuille n◦8Espaces vectoriels et matrices Exercice 1SoitV=P4[x] l"espace vectoriel de tous les polynˆomes de degr´e?4. SoitA= {p?V|p(1) = 0}etB={p?V|x2+ 1 divisep(x)}. V´erifier queAetBsont bien des sous-espaces vectoriels. Donner des bases deA,B,A∩BetA+B. Exercice 2SoitFetGles sous-espaces deR5d´efinis par : F=? (x 1... x 5) )|x1-3x2+x4= 0 x2-x5= 0?
?, G= Vect? ((((1 1 3 -1 1) ((((2 -1 -4 4 -1) ((((0 1 2 0 1) ((((1 -2 -3 -1 -2)Donner des bases pourF,GetF∩G.
Exercice 3Dans l"espaceR4, on se donne cinq vecteurs :V1= (1,1,1,1),V2= (1,2,3,4), V3= (3,1,4,2),V4= (10,4,13,7),V5= (1,7,8,14). Chercher les relations de d´ependance
lin´eaires entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont d´ependants, en extraire au moins une famille
libre engendrant le mˆeme sous-espace. Exercice 4On suppose quev1,v2,v3,...,vnsont des vecteurs ind´ependants deRn.1. Les vecteursv1-v2,v2-v3,v3-v4,...,vn-v1sont-ils lin´eairement ind´ependants?
2. Les vecteursv1+v2,v2+v3,v3+v4,...,vn+v1sont-ils lin´eairement ind´ependants?
3. Les vecteursv1,v1+v2,v1+v2+v3,v1+v2+v3+v4,...,v1+v2+···+vnsont-ils lin´eairement
ind´ependants? Exercice 5SiL,M,Nsont trois sous-espaces vectoriels deE, a-t-on :L∩(M+N) =L∩M+L∩N?
Exercice 6SoitE=D(R,R) etF={f?E|f(0) =f?(0) = 0}. Montrer queFest un sous- espace vectoriel deEet d´eterminer un suppl´ementaire deFdansE. Exercice 7SoitEun espace vectoriel, etuune application lin´eaire deEdansE. Dire si les propri´et´es suivantes sont vraies ou fausses :1. Sie1,e2,...,epest libre, il en est de mˆeme deu(e1),u(e2),...,u(ep).
2. Siu(e1),u(e2),...,u(ep) est libre, il en est de mˆeme dee1,e2,...,ep.
3. Sie1,e2,...,epest g´n´eratrice, il en est de mˆeme deu(e1),u(e2),...,u(ep).
4. Siu(e1),u(e2),...,u(ep) est g´en´eratrice, il en est de mˆeme dee1,e2,...,ep.
5. Siu(e1),u(e2),...,u(ep) est une base de Im(u), alorse1,e2,...,epest une base d"un sous-
espace vectoriel suppl´ementaire de Ker(u). 1 Exercice 8SoitEun espace vectoriel de dimensionnet?une application lin´eaire deEdans lui-mˆeme telle que?n= 0 et?n-1?= 0. Soitx?Etel que?n-1(x)?= 0. Montrer que la famille {x,?(x),?2(x),...,?n-1(x)}est une base deE. Exercice 9Donner des exemples d"applications lin´eaires deR2dansR2v´erifiant :1. Ker(f) = Im(f).
2. Ker(f) inclus strictement dans Im(f).
3. Im(f) inclus strictement dans Ker(f).
Exercice 10Eest unR-espace vectoriel,FetGdeux sous-espaces suppl´ementaires deE: E=F?G.On poses(u) =uF-uGo`uu=uF+uGest la d´ecomposition (unique) obtenue grˆace `aE=F?G.On dit quesest la sym´etrie par rapport `aFde directionG.1. Montrer ques? L(E),queu?F?s(u) =u,u?G?s(u) =-u,donner Ker(s) et
calculers2.2. R´eciproquement sif? L(E) v´erifief2=idE.On posep=f+idE2
.Calculerf(u) en fonction dep(u) etu.V´erifier quepest un projecteur, calculer son noyau et son image. Montrer quefest la sym´etrie par rapport `aF={u?E|f(u) =u}de directionG= {u?E|f(u) =-u}. Exercice 11Soientpetqdeux projecteurs deE, espace vectoriel, tels quepq=qp(petq commutent). Montrer quepqet (p+q-pq) sont deux projecteurs deE, et que :Im(pq) = Imp∩Imq,
Im(p+q-pq) = Imp+ Imq.
Exercice 12Montrer que les matrices
A=( (1 3 3 2 5 31 2 1)
etB=( (2 1 1 1 2 31 1 2)
sont inversibles et calculer leurs inverses, par la m´ethode du pivot de Gauss. En d´eduire la solution des syst`emes lin´eaires ?x+ 3y+ 3z= 12x+ 5y+ 3z= 0
x+ 2y+z= 0et? ?2x+y+z= 1 x+ 2y+ 3z= 1 x+y+ 2z= 1. Exercice 13SoitEun espace vectoriel de dimension 3 et (e1,e2,e3) une base deE. On note fl"endomorphisme deEdont la matrice par rapport `a la base (e1,e2,e3) est A=( (5-1 2 5 0 3 -7 2-2)Montrer que les vecteurs
e ?1=e1+ 2e2-e3, e?2=e2+e3ete?3=-e1+e2+ 3e3 forment une base deEet ´ecrire la matrice defdans la base (e?1,e?2,e?3). 2Exercice 141. Soit la matrice
P=( (2 1 1 -1-1 14 2 0)
Montrer quePest inversible et calculer son inverse.2. Soitfl"application lin´eaire deR3dans lui-mˆeme d´efinie par
f(x,y,z) = (2y+z-x,-x-2y,4y+z). Ecrire la matriceAdefpar rapport `a la base canonique et calculer sa matriceA?par rapport `a la base deR3dont les vecteurs ont pour composantes, par rapport `a la base canonique, les vecteurs colonnes deP.3. D´eterminer, sans autre calcul, le rang def, une base de son noyau et une base de son
image. Exercice 151. Soitfl"application lin´eaire deR4dansR3d´efinie par f(x,y,z,t) = (x+ 2y+t,2x+ 3y+z+t,2x+ 4y+ 2t). Ecrire la matriceAdefpar rapport aux bases canoniques deR4etR3. Quel est le rang deA?2. Donner une base du noyau et une base de l"image def.
3. Mˆemes questions avecfd´efinie par
f(x,y,z,t) = (x+y+ 3t,2x-3y+ 5z+t, x+ 2y-z+ 4t). Exercice 16SoitFle sous-espace vectoriel deR4engendr´e par les vecteurs v1= (1,1,-1,-1) etv2= (1,2,2,1).
Trouver, sous forme d"un syst`eme d"´equations lin´eaires, une condition n´ecessaire et suffisante
pour qu"un vecteurv= (x,y,z,t) deR4appartienne `aF. Exercice 17Soitfl"application lin´eaire deR3dans lui-mˆeme ayant pour matrice par rapport `a la base canonique (e1,e2,e3) A=( (3-1 1 0 2 01-1 3)
1. Montrer que les vecteursv1= (1,0,-1),v2= (0,1,1) etv3= (1,0,1) forment une base
deR3.2. Calculerf(v1),f(v2),f(v3) et en d´eduire la matriceA?defdans la base (v1,v2,v3).
3. Calculer les puissancesA?ndeA?et en d´eduireAn, pour tout entiern?1.
Exercice 18SoitIla matrice identit´e d"ordre 3 et soit A=( (3 2-2 -1 0 11 1 0)
1. Calculer la matriceA2et trouver deux r´eelsαetβtels queA2=αA+βI.
32. Trouver, sans calculer explicitement ces matrices, des d´ecompositions analogues deA3et
A4puis ´etablir par r´ecurrence une expressionAn=αnA+βnIpour tout entiern?1.
En d´eduire les matricesAn.
3. Montrer de mˆeme queAest inversible `a l"aide de la formule du 1) et calculer son inverse.
Exercice 19Soienta,b,cdes r´eels. Calculer, en pr´ecisant clairement les op´erations effectu´ees,
les d´eterminants a) ?????a+b a+ 2b a+ 3b a a+b a+b a-b a+b a? ?????b)? ???????1 2 0 3