1 Fonctions polynôme de degré 2

Les fonctions x→ ax2 +bx+cavec a6=0 Déﬁnition 1 Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction déﬁnie sur Rpar f(x) = ax2+bx+c où a, b et c désignent des nombres réels avec a 6= 0 Cette écriture est la forme développée de f Remarque 1 Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée fonction trinôme du second

HAPITRE Fonctions trinômes du 2 degré - LMRL

Fonctions trinômes du 2e degré 1 Trinômes du second degré Définition On appelle trinôme du second degré toute fonction du type f:x ax2 bx c où a, b et c sont des constantes réelles avec a 0 Remarque On doit imposer que a 0 pour que f soit bien du second degré Exemples fx: 32x2 x7 0 4 g 0 ab32,,c gx: 4 x2 ab 10,, c hx: xb1 x ab

3 : FONCTIONS TRINOMES DU SECOND DEGRE

Trinômes du second degré Cours Gérard Hirsch – Maths54 1 3 : FONCTIONS TRINOMES DU SECOND DEGRE 1 DEFINITIONS Un trinôme du second degré est une fonction de la forme xaax bx c2 + + où a, b et c sont trois réels donnés avec a ≠0 Résoudre l'équationax bx c avec a2 ++= ≠0( 0), c'est trouver tous les nombres u tels que au bu c2

Chapitre 1 : Fonctions polynômes du second degré I

trinôme du second degré Exemple 1 : Les fonctions ˚↦2˚"−3˚+5, ˚↦˚"−2 ou encore ˚↦−2 3 ˚" sont des fonctions polynômes du second degré Seul le coefficient a doit être non nul 2) La forme canonique Théorème 1 : Toute fonction polynôme du second degré de forme développée ˘˛˚˜=˚"+$˚+ peut

FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES

2 Fonctions polynôme de degré 2 2 1 Déﬁnition Déﬁnition 3 Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction déﬁnie sur Rpar f : x → ax2+bx+c, où a,b,c sont trois nombres réels tels que a 6= 0 Exemple : f : x → 2x2 + x 3 +2 et g : x → −x2 +5 + √ 2 sont des fonctions polynôme du second degré 2 2

A - EXPRESSIONS DUN POLYNÔME DU 2nd DEGRE

On appelle fonction polynôme du second degré, ou trinôme du second degré, toute fonction P définie sur R qui peut s'écrire sous la forme P(x) = ax2 + bx + c où a, b, et c sont trois réels appelés coefficients, avec a 0 Cette forme est appelée forme développée, ou réduite

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Déﬁnitions

On appelle trinôme du second degré toute fonction f déﬁnie sur R par f(x)=ax2 +bx+c (a,b et c réels avec a6=0) Remarque : Par abus de langage, l’expression ax2 +bx+c est aussi appelée trinôme du second degré DÉFINITION On appelle racine du trinôme f, tout réel qui annule f

Équations, fonctions polynômes du second degré

II Fonctions polynômes du second degré On appelle polynôme du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme ax2+bx+c où a, b et c sont des réels tels que c≠0 Si a, b et c sont tous les trois non nuls on peut alors parler d’un trinôme du second degré II 1 Forme canonique Tout polynôme du second degré P(x)=ax2

Trinômes du second degré - Free

Trinômes du second degré A Fonctions trinômes du second degré On appelle fonction trinôme une fonction qui à tout réel x associe ax2 + bx + c, avec a, b et c réels et a non nul ax2 + bx + c est la forme développée du trinôme 1 Forme canonique Tout trinôme du second degré ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme a(x - )²

fonctions polynomiales de degre 2 - Free

Il faut connaître la signiﬁcation des mots ou expressions suivantes : 1 fonction polynôme du second degré 2 fonction trinôme 3 identités remarquables 4 produits remarquables 5 écriture sous forme canonique 6 écriture sous forme développée 7 écriture sous forme factorisée 8 les valeurs d’annulation du polynôme

1. Fonctions polynôme de degré 2

1.1. Les fonctionsx?→ax2+bx+caveca?= 0

Définition 1.

Unefonction polynôme de degré 2est une fonction définie surRparf(x) =ax2+bx+coùa,betcdésignent

des nombres réels aveca?= 0. Cette écriture est laforme développéedef.

Remarque 1.Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée fonction trinôme du second degré ou

plus simplement fonction trinôme.

1.2. Forme canonique

Toute fonction polynôme de degré 2 définie parf(x) =ax2+bx+caveca?= 0admet pourforme canonique

f(x) =a(x-α)2+βavecα=-b

2aetβ=f(α).

Propriété 1.

Démonstration 1.

Pour tout nombre réelx:

a(x-α)2+β=

Exemple 1.Déterminer la forme canonique de la fonction trinôme définiesurRparf(x) =-4x2+ 6x+5

1.3. Courbe représentative et variations

Dans un repère orthogonal du plan,fest représentée par une parabolePdont le sommetS(α;β)et l"axe de symétrie

a pour équationx=α. casa >0 casa <0 La parabole est " tournée vers le haut »La parabole est " tournée vers le bas » O?i? jxy Sf? -b2a?- b 2a O?i? jxy Sf? -b 2a? b 2a x

Variations

def-∞-b2a+∞ f(-b2a)f(-b2a) x

Variations

def-∞-b2a+∞ f(-b2a)f(-b2a)

Propriété 2.

1/4

2. Équations du second degré2.1. Définitions

Définition 2.

Uneéquation du second degréà coefficients réels est une équation de la formeax2+bx+c= 0, aveca,bet

ctrois réels tels quea?= 0.

Définition 3.

Les solutions de l"équation du second degréax2+bx+c= 0sont appelées lesracinesdu polynôme du second

degréax2+bx+c.

2.2. Résolution d"une équation du second degré dansR

Définition 4.

Le nombre réelb2-4acest appelédiscriminantdu trinômeax2+bx+c. Il est notéΔ. Résolution de l"équationax2+bx+c= 0aveca?= 0.

On calcule le discriminant :Δ =b2-4ac.

SiΔ<0: l"équation n"admet pas de solution réelle; SiΔ = 0: L"équation admet une unique solution réellex0=-b 2a; SiΔ>0: L"équation admet deux solutions réelles distinctesx1=-b-⎷

2aetx2=-b+⎷

2a.

Théorème 3.

♣Démonstration 2. Montrer que résoudre l"équationax2+bx+c= 0(a?= 0) revient à résoudre? x+b 2a? 2 -Δ4a2= 0.

Le nombre de solutions dépend du signe deΔ.

Exemple 2.Résoudre dansRles équations suivantes :

1-5x2+ 8x-2 = 023x2-x+ 1 = 034x2+ 6x+94= 0

2/4

2.3. Interprétation graphique

Signe deΔΔ>0Δ = 0Δ<0

Solution de l"équationDeux solutions réelles distinctesUne unique solution ax2+bx+c= 0x1=-b-⎷Δ

2aetx2=-b+⎷

2ax0=-b2aPas de solution réelle

Courbe représentative

defdans un repère ?Dans le cas oùa >0 Oxy -b2a

··x1x2

Oxy x 0=-b

2aOxy-b2a

Propriété 4.

Remarque 2.

?Chercher à résoudre l"équationax2+bx+c= 0revient à chercher les points d"intersection de la parabole

P:ax2+bx+cavec l"axe des abscisses.

?Dans le cas oùΔ = 0, l"unique solutionx0est appelée racine double du trinôme (dans ce casx1=x2).

2.4. Somme et produit des racines d"un trinôme

Soitfune fonction polynôme du second degré définie surRparf(x) =ax2+bx+c, aveca?= 0.

Sifadmet les réelsx1etx2pour racines, alors :

Lasommedes racines est :s=x1+x2=-b

Leproduitdes racines est :p=x1×x2=c

Propriété 5.

Remarque 3.Si on connaît une racine d"une fonction polynôme du second degré, on peut calculer l"autre racine

en utilisant la somme ou le produit des racines.

Lorsque cela est possible, on cherchera uneracine évidenteparmi des nombres simples comme1,-1,2,-2, etc.

Démonstration 3.

Exemple 3.Soitfla fonction définie surRparf(x) =-2x2+3x+2. Déterminer une racine évidente def, puis

l"autre solution. Exemple 4.Déterminer une fonction polynôme du second degré admettantles racines-6et8. 3/4

3. Factorisation et signe d"un trinôme du second degré3.1. Forme factorisée d"un trinôme de degré 2

Soit le trinômeax2+bx+caveca?= 0etΔson discriminant.

SiΔ>0, alors pour tout réelx,ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)oùx1etx2sont les racines du trinôme.

SiΔ = 0, alors pour tout réelx,ax2+bx+c=a(x-x0)2oùx0est la racine double du trinôme.

SiΔ<0, le trinôme ne se factorise pas.

Propriété 6.

Exemple 5.Factoriser les trinômes suivants (utiliser les résultats de l"exemple 2) :

1-5x2+ 8x-2

23x2-x+ 1

34x2+ 6x+94

3.2. Signe du trinômeax2+bx+caveca?= 0

Soit le trinômeax2+bx+caveca?= 0etΔson discriminant. SiΔ>0, le trinôme s"annule en deux réels distinctsx1etx2. Six1< x2, le tableau de signes du trinôme est : x

Signe deax2+bx+c

-∞x1x2+∞ signe dea

0signe de-a0signe dea

SiΔ = 0, le trinôme a même signe queapour tout réelxet s"annule en-b 2a. SiΔ<0, le trinôme a même signe queapour tout réelx.

Propriété 7.

Exemple 6.Déterminer le signe des trinômes suivants (utiliser, si besoin, les résultats de l"exemple 2) :

1-5x2+ 8x-2

23x2-x+ 1

34x2+ 6x+94

Exemple 7.Paul affirme : " L"inéquationx2+ 4x-4<0n"a pas de solution ». Que peut-on en penser? www.maths-lycee.netChapitre 1 : Équations, fonctions polynômes du second degré4/4quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] 1 Fonctions polynôme de degré 2

1. Fonctions polynôme de degré 2

1.1. Les fonctionsx?→ax2+bx+caveca?= 0

Définition 1.

1.2. Forme canonique

2aetβ=f(α).

Propriété 1.

Démonstration 1.

Pour tout nombre réelx:

1.3. Courbe représentative et variations

Variations

Variations

Propriété 2.

2. Équations du second degré2.1. Définitions

Définition 2.

Définition 3.

2.2. Résolution d"une équation du second degré dansR

Définition 4.

On calcule le discriminant :Δ =b2-4ac.

2aetx2=-b+⎷

Théorème 3.

Le nombre de solutions dépend du signe deΔ.

1-5x2+ 8x-2 = 023x2-x+ 1 = 034x2+ 6x+94= 0

2.3. Interprétation graphique

Signe deΔΔ>0Δ = 0Δ<0

2aetx2=-b+⎷

2ax0=-b2aPas de solution réelle

Courbe représentative

··x1x2

2aOxy-b2a

Propriété 4.

Remarque 2.

P:ax2+bx+cavec l"axe des abscisses.

2.4. Somme et produit des racines d"un trinôme

Sifadmet les réelsx1etx2pour racines, alors :

Lasommedes racines est :s=x1+x2=-b

Leproduitdes racines est :p=x1×x2=c

Propriété 5.

Démonstration 3.

3. Factorisation et signe d"un trinôme du second degré3.1. Forme factorisée d"un trinôme de degré 2

SiΔ<0, le trinôme ne se factorise pas.

Propriété 6.

1-5x2+ 8x-2

23x2-x+ 1

34x2+ 6x+94

3.2. Signe du trinômeax2+bx+caveca?= 0

Signe deax2+bx+c

0signe de-a0signe dea

Propriété 7.

1-5x2+ 8x-2

23x2-x+ 1

34x2+ 6x+94

Lasommedes racines est :s=x1+x2=-b

Leproduitdes racines est :p=x1×x2=c

SiΔ<0, le trinôme ne se factorise pas.