Les fonctions numériques - Dyrassa
Les fonctions numériques Pr Latrach abdellbir 2017-2018 Déterminer l’ensemble de définition de fonctions suivantes : 3 f x x x 1: 12 5 2 24: 53 x fx x 3: 2 ² 2 4 x fx xx 4 4 ² 5: 2 ² 2 4 x fx xx 5 2: 23 x fx x 6 2: 42 x fx x 7 2: 42 x fx x 8 sin²( ): cos²( ) 1 x fx x 3) ( ) 0 Etudier la parité de fonctions suivantes : • 1 1: ² f
Exercices sur les Fonctions Numériques - CRIFPE
Exercices sur les Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Exercice 1 1°) Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions ayant pour représentations sagittales suivantes 2°) Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions définies par a) f (x) =5x −7; b) 2 8 3 4 ( )
Les fonctions numériques - Mathovore
Soient f et g les fonctions définies Sur [ -l ; 6 ] par f(x) 1) Tracer Cf et C, dans un repère orthonorm¿ 2) Résoudre graphiquement X a) On lit les intervalles sur lesquels Cf est au dessus de 'axe des abscisses s: -0,3] U [4,2 : b) On lit les intervalles sur lesquels est au dessous de C, 41-lgàlegu-de-sjgnes-des-fgng t jg ns=
Les fonctions numériques - Eklablog
Natacha - CRPE 2016 Fonctions numériques Représentation graphique On appelle un repère orthonormé un système d’axes perpendiculaires gradués régulièrement On lit les images sur l’axe des ordonnées (y) On lit les antécédents sur l’axe des abscisses (x) Exemple Soit f : x x2-3 x -3 -2 -1 0 1 2 3
Généralités sur les fonctions numériques
Généralités sur les fonctions numériques 1 Rappels sur les fonctions 1 1 Généralités Définition : On appelle fonction f un procédé qui à tout nombre réel x tente d'associer un unique nombre réel f(x), appelé image de x par f On note f: x f(x) L'ensemble sur lequel il est possible de prendre les valeurs de x est appelé ensemble de
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Les fonctions numériques 1/4 FONCTION NUM•RIQUE 1) D†finitions Une fonction f (num•rique ’ variable r•elle) permet ’ ‡ un nombre r•el x, un
II Généralités sur les fonctions numériques : A
Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques page Pro Benmoussa Med 1 On détermine l’ensemble de définition f l’ensemble de définition de f est D f ( car f est une fonction polynômiale ) 2 Etudier les variations de f sur , puis on donne le tableau de variation de la fonction f On étudie la monotonie de f Soient x et x'
Les fonctions numériques d’une variable réelle
Les fonctions numériques d’une variable réelle Soit f: Df x ≠æ ‘≠æ R f (x) une fonction numérique d’une variable réelle telle que Df = {x œ R /f(x) aunsens} est le domaine de définition de f 1 1 Limite d’une fonction Définition 1 1 1 On dit qu’une fonction f, définie au voisinage1 de x 0 œ R, sauf peut être enx
4 Etude des fonctions numériques - univ-tlnfr
On a les règles de calcul suivantes 4 1 Propriété – opérations sur les limites On désigne par a soit un nombre réel, soit +∞ ou −∞ Soit f et g deux fonctions numériques ayant chacune une limite en a, alors on a les égalités suivantes, à condition que la quantité de droite existe : • lim x→a f(x)+g(x) = lim x→a f(x
Exo7 - Cours de mathématiques
Les mathématiques, vous les avez bien sûr manipulées au lycée Dans le supérieur, il s’agit d’apprendre à les construire La première année pose les bases et introduit les outils dont vous aurez besoin par la suite Elle est aussi l’occasion de découvrir la beauté des mathématiques, de l’infiniment grand (les limites) à
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Pro. Benmoussa Med
III... Généralités sur les fonctions numériques : A. : a. Préambule : Activité 1: Une tortue se déplace avec une mouvementuniforme tel que 4 cmpar minute . 1. Compléter le tableau suivant pour connaitre la distance parcourue en cm après e en minute . Vocabulaire : La relation qui nous permet à lier chaque élément xde
par un seul élément de y qui tel que y 4x est appelée fonction numérique de la variable réelle x définie de vers , on la note par f ou g ou h on résume le tout par : f : x f(x) 4xx est la variable . x est lié par f x 4x on dit que : y f x x par f. x est un antécédent de y par f x existe on dit que la fonction f est définie en x. ( par exemple - Tous les réels x qui ont images par la fonctionf constituent un ensemble appelé ensemble de définition ou domaine de définition , on le note par fD ou D . : fD
. fx D équivaut à f x. A est un ensemble inclus dans fD fAD , on dit que la fonctionf est définie surA. b. Exemples : 1fxx. on a : fx D x 0 donc *
f f fD ou D \ 0 ou D ,0 0, . f(x) x. fx D x 0 donc ffD ou D 0, . f(x) 2x. .x2,521,510,50Le temps t ( en minute) La distance d ( en centimètre ) Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques pagePro. Benmoussa Med
on a : la fonction f est une fonction polynomiale donc il définie pour x de donc ffD ou D ,. B. La représentation graphique (ou la courbe représentative ) : a. Activité : On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par f(x) 2x. Le plan P est rapporté au repère O,i,j
( on général le repère est orthonormé ) . 1. f. 2. Construire quelques points de P tel que M x,f(x) avec fxD . b. Vocabulaire : représentation graphique de la fonction fdans le repère O,i,j
( ou la courbe de la fonction f) on note fC. c. Définition : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie sur fD fD
. Le plan P est rapporté au repère O,i,j. On appelle courbe représentative de la fonction f, notée fCM de P de coordonnées x,f x où fxD. Un point fM x,y C équivaut à fxD et y f x. La relation : y f x fC dans le repère O,i,j
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d. Exemple : Construire la courbe représentative de la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur
par : f x 2x C. Egalité de deux fonctions : a. Activité : Soient f et g deux fonctions définies sur
par : f(x) 2x et g(x) x x . 1. ure de la fonction g. 2. Quelle remarque peut-on donner ? b. Définition : Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur fgD et D . On dit que les deux fonctions f et g sont égales si et seulement si : fgDD . Pour tout x de fD on a : f x g x Dans ce cas on écrit : fg c. Remarque : Si fg on a : les courbes fgC et C de f et g sont confondues . IIIIII... Fonction paire fonction impaire : A. Fonction paire : a. Activité :
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La figure ci-dans un repère orthonormé O,i,j. 1. La courbe fC représente une fonction paire ,quelles remarques peut-on donner ? 2. Donner b. Définition : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie sur fD. On dit que f est une fonction paire sur fD si et seulement si : pour tout x de fD on a : Aussi x est un élément de fD. f x f x ( c.à.d. x et x ont même image ) c. Remarque : ordonnées. Si la fonction f est paire sur fD il suffit de connaitre la partie de la courbe fC tel que les abscisses sont positives , ces abscisses constituent une partie de
appelée domaine de la fonction f , notée ED. On a : EfDD. d. Exemple : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par 2f x 3x 5 . 1. On détermif .
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La fonction fest une fonction polynômiale donc définie pour tout x de fD. 2. On étudie la parité de f ( est-ce que f est paire ou bien impaire ? ) . On a : pour tout x de fD
aussi xest un élément de fD . Soit x de :on a : 2 2 f x 3 x 5 3x 5 f x: f x f x . Conclusion : La fonction fest une fonction est paire . B. Fonction impaire : a. Activité : La figure ci-x dans un repère orthonormé O,i,j
. 1. La courbe fCreprésente une fonction impaire ,quelles remarques peut-on donner ? 2. impaire . b. Définition : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie sur fD. On dit que f est une fonction impaire sur fD si et seulement si : pour tout x de fD on a : Aussi x est un élément de fD. f x f x ( c.à.d. x et x ont des images opposées )
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c. Remarque : impaire est symétrique par rapport à origine du repère. Si la fonction f est impaire sur fD il suffit de connaitre la partie de la courbe fC tel que les abscisses sont positives , ces abscisses constituent une partie de
appelée domaine f , notée ED. On a : EfDD. d. Exemple : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par 3f x 7x 2x . 1. f . La fonction fest une fonction polynômiale donc définie pour tout x de
inition est fD. 2. On étudie la parité de f ( est-ce que f est paire ou bien impaire ? ) . On a : pour tout x de fD
aussi xest un élément de fD . Soit x de :on a : 3 3333 f x 7 x 2 x
7x 2x , x x
7x 2x f x: f x f x . Conclusion : La fonction fest une fonction est impaire . IIIIIIIII... : a. Activité : La figure ci-dans un repère orthonormé O,i,j
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1. La courbe fC représente une fonction . 5, 2, quelles remarques peut-on donner ? 3,6, quelles remarques peut-on donner ? 2. décroissante . b. Définitions : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie sur fD . I est un intervalle inclus dans fD fID . On dit que f est une fonction croissante ou bien si et seulement si : pour tous x et x'de I on a : si x x' alors f x f x' . ne change pas ) On dit que f est une fonction strictement I si et seulement si : pour tous x et x'de I on a: si x x' alors f x f x' . On dit que f I si et seulement si : pour tous x et x'de I on a : si x x' alors f x f x' . On dit que f est une fonction strictement I si et seulement si : pour tous x et x'de I on a : si x x' alors f x f x' . On dit que f est une fonction constI si et seulement si : pour tous x et x'de I on a : f x f x' c. Remarque : la fonction f est strictement croissante on utilise la flèche suivante
. la fonction f est strictement décroissante on utilise la flèche suivante. Si la fonction f est croissante ou bien décroisI on di que f est monotone sur I. Si la fonction f est I on di que f est strictement monotone sur I. rechercher les intervalles sur lesquelles la fonction fest strictement monotone ou constante . On résume f et les variations de la fonction f par un tableau , appelé tableau de variation de f. d. Exemple : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par f x 5x 3 .
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1. f . de f est fD
. ( car fest une fonction polynômiale ). 2. Etudier les variations de f sur fD, puis on donne le tableau de variation de la fonction f . On étudie la monotonie de f. Soient x et x'de
tel que x x' x x' alors 5 x 5 x' ar 5 ) Alors 5 x 3 5 x' 3 . Alors f x f x'. Conclusion : la fonction fest strictement croissants sur
. On donne le tableau de variation de f. IIIVVV... : a. Définition : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie sur fD . I est un intervalle inclus dans fD fID . Soient x et x'de I tel que x x', le nombre f x f x'
x x' de la fonction f entre x et x' , on note fT f f x f x'Tx x'b. Exemple : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par f x 5x 3 . 1. Calculer le tauf sur fD
. Soient x et x'de I tel que x x', on a : f f x f x'Tx x'5x 3 5x' 3 x x'
5x 3 5x' 3 x x'
5 x x'
x x'5 Conclusion : le f est fT5. xEnsemble de définition f(x)Variations de f Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques pagePro. Benmoussa Med
c. Propriété : fT est le onction f sur un intervalle I. Si fT0 alors la fonction f est strictement I. Si fT0 alors la fonction f est I. Si fT0 alors la fonction f est I. d. Exemple : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par f x 5x 3 . 1. Déterminer la monotonie de la fonction f. : fT 5 0 f est strictement croissante sur
. VVV... : A. Valeurs maximales valeurs minimales I : a. Activité : La figure ci-cfdéfinie sur fD, dans un repère orthonormé O,i,j
. On dit que 1,7 est une valeur maximale de la fonction f2,4 ou 0,7 On dit que 9,5 est une valeur maximale de la fonction f8,11 ou 4,10 1. Quelle définition peut-on donner sur valeurs maximales . On dit que 1,7 est une valeur minimale de la fonction f4, 2 ou 4,3 On dit que 6,5 est une valeur minimale de la fonction f3,8 ou 4,10 2. Quelle définition peut-on donner sur valeurs minimales .
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b. Définition : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie sur fD . I est un intervalle inclus dans fD fID , aI. 8 fa est une valeur maximale de la fonction f Iéquivaut à f x f a . 8 fa est une valeur minimale de la fonction f Iéquivaut à f a f x . c. Remarque : 8 fa est un extrémum de la fonction fsignifie que fa est une valeur maximale ou bien fa est une valeur minimale de f. 8 On dit aussi que la fonction f admet une valeur maximale en a . 8 On dit aussi que la fonction f admet une valeur minimale en a . 8 Si fa est une valeur maximale de la fonction f sur fD on dit que fa est une valeur maximale absolue de f. (si non on dit que fa est une valeur maximale relative ) 8 Si fa est une valeur minimale de la fonction f sur fD on dit que fa est une valeur maximale absolue de f. (si non on dit que fa est une valeur minimale relative ) d. Exercice : La figure ci- fonction fdéfinie sur fD, dans un repère orthonormé O,i,j
. 1. Déterminer les extremums de f sur 4,11 ; 8;9 ; 5;3 VVVIII... Etude de certains fonctions : A. Fonction 2f x ax ; avec a 0 a. Activité : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par 2f x ax ; avec a 0 .
Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques pagePro. Benmoussa Med 1. f . f est fD
. ( car fest une fonction polynômiale ). 2. On étudie la parité de f ( est-ce que f est paire ou bien impaire ? ) . On a : pour tout x de fD
aussi x est un élément de fD . Soit x de :on a :2f x a x
2 ax
f x : f x f x . Conclusion : La fonction fest une fonction est paire sur fD . 3. On déf . On a : EfD D 0,. Conclusion : f est ED 0, . 4. fsur EDet on déduit les variations de f sur EDpuis sur fD. Soient x et x'de ED 0, tel que x x', on a :
f f x f x'Tx x'22ax ax' x x'
a x x' x x' x x'a x x' Donc : fT a x x' puisque x et x'de ED 0, donc x x' 0 et on a x x'au moins un des nombres x et x'x x' 0. 1er cas : a0 car 2f x ax ; avec a 0 On a a0 et x x' 0 donc a x x' 0 fT0. Conclusion 1 : la fonctionfest strictement croissante sur ED 0, . la fonctionfest strictement décroissante sur ,0 car la fonction est paire( la fonction ne varie pas dans le même sens . 2ième cas : a0 car 2f x ax ; avec a 0 On a a0 et x x' 0 donc a x x' 0 fT0. Conclusion2 : la fonctionfest strictement décroissante sur ED 0, . la fonctionfest strictement décroissante sur ,0 car la fonction est paire ( la fonction ne varie pas dans le même sens .
Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques pagePro. Benmoussa Med b. propriété : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par 2*f x ax ; a
. la fonctionf est paire sur fD. La monotonie de la fonction f est : 1er cas a0 : la fonction f est strictement croissante sur0, et strictement décroissante sur ,0 . 2ième cas a0 : la fonction f est strictement décroissante sur0, et strictement croissante sur ,0 . le tableau de variation est : 1er cas a0 : 2ième cas a0 : La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O,i,j
. La courbe représentative de la fonction f O ( du repère O,i,jéquationD : x 0 ) c. Exemple : 1. Dresser le tableau de variation de la fonction 21f x x2 . On a : 1a2 f est : 0 xa0 0
f0 x1a02
0f0 xa0
0f Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques pagePro. Benmoussa Med 2. Construire la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O,i,j
Pour construire la courbe on donne un tableau de certains valeurs : La courbe représentative : ( on oublie pas que la fonction f est paire sur
) B. Fonction af x ; avec a 0 x a. Activité : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par af x ; avec a 0 x . 1. f . fxD est équivaut à x0 f est *
fD \ 0 ,0 0,. ( car fest une fonction rationnelle ). 2. On étudie la parité de f ( est-ce que f est paire ou bien impaire ? ) . On a : pour tout x de *
fD aussi x est un élément de * fD . Soit x de *:on a : aaf x f xxx : f x f x . Conclusion : La fonction fest une fonction est impaire sur *
fD . 3 2 321 0 x 9
22981
20fx Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques page
Pro. Benmoussa Med 3. de f . On a : **
EfD D 0,
. Conclusion : f est ED 0, . 4. f sur EDet on déduit les variations de f sur ED puis sur fD. Soient x et x'de ED 0, tel que x x', on a :
f f x f x'Tx x' aa x x' x x' ax' ax xx' x x' a x' x xx' x x' a x x' xx' x x' a x' x xx' x x' a xx'Donc : faTxx'
puisque x et x'de ED 0, donc x x' 0 et on a x x' au moins un des nombres x et x'x x' 0. 1er cas : a0 car af x ; avec a 0 x On a a0 et x x' 0 donc a0xx'
fT0. Conclusion 1 : la fonctionfest strictement décroissante sur ED 0, . la fonctionfest strictement décroissante sur ,0 car la fonction est impaire ( la fonction varie dans le même sens ). 2ième cas : a0 car af x ; avec a 0 x On a a0 et x x' 0 donc a0xx'
fT0. Conclusion2 : Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques pagePro. Benmoussa Med la fonctionfest strictement croissante surED 0, . la fonctionfest strictement croissante sur ,0 car la fonction est impaire ( la fonction varie dans le même sens ). b. propriété : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par *af x ; a x
. la fonctionf est impaire sur * fD. La monotonie de la fonction f est : 1er cas 0 : la fonction f est strictement croissante sur0, et strictement décroissante sur ,0 . 2ième cas 0 : la fonction f est strictement décroissante sur0, et strictement croissante sur ,0 . le tableau de variation est : 1er cas a0 : 2ième cas a0 : La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O,i,j
. La courbe représentative de la fonction f est appelée hyperbole , de centre de symétrie O ( du repère O,i,j
) , D : y 0 ) D' : x 0 ) c. Exemple : 1. Dresser le tableau de variation de la fonction 2fxx . 0 x0
f0 x0
f Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques pagePro. Benmoussa Med
On a : a2 f est : 2. Construire la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O,i,j
Pour construire la courbe on donne un tableau de certains valeurs : La courbe représentative : ( on oublie pas que la fonction f est impaire sur *
) C. Fonction 2f x ax +bx+c ; avec a 0 a. Propriété ( admise ) : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par2f x ax +bx+c ; avec a 0 La fonction f
22f x ax bx c a x avec et de
. La courbe représentative de la fonction f est un parabole , de sommet le point S, ( du repère O,i,j
D : x ) . On La courbe représentative de la fonction fest obtenue en utilisant la translation du vecteur u i j
de la courbe 2f x ax 0 xa0 f 3 2 11 2 x 23124fx
Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques pagePro. Benmoussa Med le tableau de variation est : 1er cas a0 : 2ième cas a0 : b. La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O,i,j
. Exemple 2f x x 4x 3 ; a 1 0 .a 1 0 et b 4 et c 3 et 4 le tableau de variations est : on a a0 : On a :
22bf x x 4x 3 a x2a 4a
22244f x x 4x 3 a x x 2 12 1 4 1
Donc :2 et 1 Par suite le tableau de variations de f est : La courbe représentative de f : 1ère méthode ( on utilise la translation ) 22f x ax x Puis la translate suivant le vecteur : u i j 2i j
. 2ième méthode : D : x 2. xa0 f f xa0 f f 2 xa 1 0 b4 c3 f1 f Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques pagePro. Benmoussa Med
On place le sommet qui est le point S 2; 1. On donne quelques valeurs avec x2 On construit la partie de la courbe sur 2, puis son symétrique par rapport à D D. Fonction ax bf x ; avec ad bc 0 cx d
a. Propriété ( admise ) : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par :abax bf x ; avec ad bc 0 et c 0cx d c d
La fonction f la forme ax b kfxcx d x
avec et et k de et x. La courbe représentative de la fonction f est un hyperbole , de centre le point S, ( du repère O,i,j
) , de centre de symétrie le sommet le point S, . D : y . D' : x . On La courbe .représentative de la fonction fest obtenue en utilisant la translation du vecteur u i j
de la courbe de kfxx ( hyperbole ) le tableau de variation est : 1er cas 0 : 2ième cas 0 :
5 4 32 x 8301fx xa0
f xa0 f Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques pagePro. Benmoussa Med b. La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O,i,j
. Exemple x1f x ; a 1 0x2 .11a 1 0 et b 1 et c 1 et d 2 et 3 012le tableau de variations est : on a : 0 : On a : x 1 x 2 3 x 2 3 3f x 1x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
: 2 et 1 et k 3 Par suite le tableau de variations de f est : La courbe représentative de f : 1ère méthode k3fxxx
( hyperbole ) Puis la translate suivant le vecteur : u i j 2i j. 2ième méthode : On trace le point S 2; 1. ( Centre On trace : lqui est D : y 1 . lqui est D' : x 2 . On donne quelques valeurs avec x2 2 x30
f Niveau : TRONC COMMUN - Cours les fonctions numériques pagePro. Benmoussa Med On construit la partie de la courbe sur 2, puis son symétrique par rapport au point S 2; 1 ,2 . 2 1 0 14
3 x 1 4012 27
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