Nom : Fractions Fiche Expressions fractionnaires - Nombres
yColorie les fractions irréductibles yComplète par ou = 14 35 18 21 12 9 16 12 15 60 6 36 12 18 16 32 30 42 18 24 18 16 144 72 24 30 12 9 15 18 12 16 y y y
Nombres premiers Fractions irréductibles
48 Parmi les nombres entiers naturels suivants, cherche ceux qui sont des nombres premiers : • 151 • 357 • 353 • 275 49 Parmi les nombres ci-dessous, entoure ceux qui ne sont pas des nombres premiers • 17 • 141 • 1001 • 421 • 553 • 647 50 On cherche les nombres premiers compris entre 300 et 310 a Quel peut être le chiffre
Exercice type brevet Mathématiques Fraction irréductible et
Si l’on ajoute les chiffres composant le nombre 216, on trouve 2 + 1 + 6 = 9 Pour qu’un nombre soit divisible par 9, il faut que la somme des chiffres composant ce nombre soit divisible par 9 9 étant divisible par 9, alors 216 est aussi divisible par 9
Divisibilité : (fractions irréductibles, division euclidienne
Divisibilité : (fractions irréductibles, division euclidienne, critères de divisibilité, nombres premiers, décomposition) I- Division euclidienne a) Division euclidienne Propriété : Soient a et b deux nombres entiers positifs avec b non nul Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver le couple unique d’entiers
D S DE MATHEMATIQUES
EXERCICE 1 : Donner les fractions irréductibles des nombres suivants A = 2 3 3 4 = B = 12 5 × 15 8 = C = 2 3 7 6 = D = 5 4 − 2 3 × 9 16 = E = 5 3 4 5– 7 2 = EXERCICE 2 : Ecrire sous la forme an A = 57×58 = B = 73 2 = C = 35 32 = D = 82×16–4 32–5 = EXERCICE 3 : Ecrire sous la forme 10n A = 0,00001 = B = 100000000 = C = 0,001 2
Mathématiques : INTERRO (Travail n° Chapitre 17 : opérations
C2 : 1) Rends les deux fractions suivantes irréductibles /2 a) 630 270 = C2 : 2) Effectue et exprime ta réponse sous forme d’une fraction irréductible : /4
Contrôle : opérations sur les fractions et parallélogrammes
Effectue les opérations suivantes en détaillant les étapes, et donne le résultat sous forme de fractions irréductibles : A= 2 3 + 4 3 B= 5 6 − 4 3 C=6× 5 4 D= 4 7 × 5 2 E= 3 2 − 1 14 + 5 7 1 4 ×(7 8 + 5 4 × 3 2)
Cours de mathématiques MPSI - AlloSchool
alors les fractions rationnelles sont égales, i e F ˘G Théorème 19 4 Preuve: Le corps Kest infini, l’ensemble des pôles de F et celui de G sont finis, donc DF \DG est un ensemble infini Posons F ˘ P Q et G ˘ R S irréductibles, alors 8 x 2 I, on a P(x)S(x)¡R(x)Q(x) ˘ 0, donc le polynôme PS ¡QR est nul
TS Ex de probabilités simples
Donner les résultats en fractions irréductibles 2 Dans une loterie, deux cent billets numérotés de 1 à 200 sont vendus Les billets gagnants sont ceux dont le numéro se termine par 7 On achète un billet au hasard Calculer la probabilité de l’événement A : « le billet est gagnant » Donner le résultat en fraction irréductible
Programmation Mathématiques cycle 4
Les fractions irréductibles Mise en équation Les triangles Les angles Les transformations (agrandissement et réduction) Les probabilités 5 Les racines carrées Résolution d’équations Les repères (abscisse, ordonnée, altitude, latitude, longitude) Algorithme et programmation Les volumes Les fonctions
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Chapitre 19Fractions rationnellesSommaireI Construction de l"ensemble des fractions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1731) Définition d"une fraction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1732) Opérations sur les fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1743) Représentants irréductibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174II Degré, pôles et racines d"une fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1751) Notion de degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1752) Pôles et racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1753) Fonctions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1764) Dérivation d"une fraction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176III Décomposition d"une fraction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1771) Partie entière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1772) Éléments simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1773) Existence de la décomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178IV Décomposition dans le cas complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1791) Forme de la décomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1792) Calcul d"une partie polaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1793) Cas particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180V Décomposition dans le cas réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1811) Forme de la décomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1812) Calcul des éléments simples de seconde espèce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181VI Applications de la décomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1821) Calcul de la dérivée n-ième d"une fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1822) Primitives d"une fraction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182VII Solution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183I CONSTRUCTION DE L"ENSEMBLE DES FRACTIONS RATIONNELLESLe corpsKdésigne un sous-corps deC,i.e.un corps inclus dansC.1) Définition d"une fraction rationnelleDans l"ensembleK[X]£(K[X]\{0})AE{(P,Q) / P,Q2K[X],Q6AE0}, on définit la relationRen posant :(P,Q)R(R,S)()P£SAEQ£R.On vérifie que la relationRest une relation d"équivalence dansK[X]£(K[X]\{0}). La transitivité de la relationutilise l"intégrité deK[X].On appelle fraction rationnelle à coefficients dansKtoute classe d"équivalence pour la relationR. LaDéfinition 19.1MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 173 -©Fradin Patrick -
Construction de l"ensemble des fractions rationnelles Chapitre 19 : Fractions rationnellesclasse de(P,Q)est notéePQ[avecPle numérateur etQle dénominateur], on a donc :PQAE{(R,S)2K[X]£(K[X]\{0}) / PSAEQR}.On dit que(P,Q)est unreprésentantde la fractionPQ. L"ensemble des fractions rationnelles est notéK(X)et la relationRest appeléeégalité des fractions rationnelles.2) Opérations sur les fractionsSoientPQ,RSdeux fractions rationnelles et soit¸2K, on pose :PQÅRSAEPSÅQRQS,PQ£RSAEPRQS, et¸PQAE¸PQ.Définition 19.2(addition, multiplication, produit par un scalaire)Pour que la définition ait un sens il faut le résultat ne dépende pas des représentants choisis pour lesfractions, c"est à dire siPQAEP0Q0etRSAER0S0, alors :PSÅQRQSAEP0S0ÅQ0R0Q0S0;PRQSAEP0R0Q0S0et¸PQAE¸P0Q0.Cette vérification est simple et laissée en exercice.Propriétés :a)Pour l"addition :-elle est associative, commutative,-elle admet un élément neutre, la fraction0Q(8Q6AE0), appelée fraction nulle. On remarquera qu"unefraction est nulle ssi son numérateur est nul.-toute fractionPQadmet un opposé et¡PQAE¡PQAEP¡Q.b)Pour la multiplication :-elle est associative, commutative,-elle admet un élément neutre qui est la fractionPP(8P6AE0), appelée fraction unité.-toute fractionPQnon nulle (i.e.P6AE0) admet un inverse, et³PQ´¡1AEQP.-elle est distributive sur l"addition.c)Pour le produit par un scalaire :8¸,¹2K,8F,G2K(X) :1.FAEF ;¸.(FÅG)AE¸.FŸ.G ; (¸Å¹).FAE¸.FŸ.G ;¸.(¹).FAE(¸¹).Fet¸.(F£G)AE(¸.F)£GAEF£(¸.G).Par conséquent, (K(X),Å,£) est un corps commutatif et (K(X),Å£,.) est uneK-algèbre commutative.À retenir3) Représentants irréductiblesL"applicationÁ:K[X]!K(X)définie parÁ(P)AEP1est un morphisme d"algèbres injectif.Théorème 19.1(plongement des polynômes dansK(X))Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice.Par conséquent on peut identifier le polynômePavec la fractionP1, ce qui fait que l"on peut considérerqueK[X]½K(X). En particulier la fraction nulle (en vertu de l"égalité des fractions) est identifiée au polynômenul 0, et la fraction unité est identifiée au polynôme constant 1.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 174 -©Fradin Patrick -
Degré, pôles et racines d"une fraction Chapitre 19 : Fractions rationnelles3) Fonctions rationnellesSoitF2K(X)etPQun représentant irréductible deF. On poseDFAEK\{pôles deF}, c"est à direDFAE{x2K/Q(x)6AE0}. On appelle fonction rationnelle deKdansKassociée à la fractionF, lafonction notéeeFdeDFversKdéfinie pareF(x)AEeP(x)eQ(x).Définition 19.6Remarque 19.4 -Avant d"étudier une fonction rationnelle, il faut la mettre sous forme irréductible.SoientF,G2K(X), si les fonctions rationnelleseFeteGsont égales sur une partie infinieIdeDF\DG,alors les fractions rationnelles sont égales,i.e.FAEG.Théorème 19.4Preuve: Le corpsKest infini, l"ensemble des pôles deFet celui deGsont finis, doncDF\DGest un ensemble infini.PosonsFAEPQetGAERSirréductibles, alors8x2I, on aP(x)S(x)¡R(x)Q(x)AE0, donc le polynômePS¡QRest nul(infinité de racines) ce qui signifie exactement que FAEG.4) Dérivation d"une fraction rationnelleSoitF2K(X)unefractionrationnelleetPQAERSdeuxreprésentantsdeF,onaPSAEQR,d"où(P0Q¡PQ0)S2AEP0QS2¡PQ0S2AEP0QS2¡Q0QRSAEQS(P0S¡Q0R),maisendérivantlarelationpolynomialePSAEQRonobtientP0SÅPS0AEQ0RÅQR0, d"où (P0Q¡PQ0)S2AEQS(QR0¡PS0)AEQ2SR0¡QPSS0AEQ2SR0¡Q2RS0AEQ2(SR0¡RS0),ce qui traduit l"égalité des fractions :P0Q¡PQ0Q2AER0S¡RS0S2.SoitFAEPQ2K(X), on appelle fraction dérivée deFla fraction notéeF0(oudFdX) définie par :F0AEP0Q¡PQ0Q2,Le résultat ne dépend pas du représentant deFchoisi. On définit également les dérivées successivesdeFen posantF(0)AEFet pour toutn2N,F(nÅ1)AE¡F(n)¢0.Définition 19.7Remarque 19.5 --SoitPun polynôme, la dérivée dePen tant que fraction rationnelle est¡P1¢0AEP01¡P1012AEP0, on retrouvebien la dérivée dePen tant que polynôme.-Contrairement aux polynômes le degré deF0n"est pas toujours égal àdeg(F)¡1, par exemple :FAEXXÅ1,on adeg(F)AE0etF0AE1(XÅ1)2doncdeg(F0)AE¡2.Par contre on a toujoursdeg(F0)6deg(F)¡1.FExercice19.1Montrer que siF0AE0alorsFest une fraction constante.On retrouve les propriétés usuelles de la dérivation avec les formules usuelles :(FÅG)0AEF0ÅG0;(F£G)0AEF0£GÅF£G0;(¸.F)0AE¸.F0;¡1F¢0AE¡F0F2, et la formule de Leibniz :(F£G)(n)AEnXkAE0Ãnk!F(k)£G(n¡k).Théorème 19.5(propriétés)Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 176 -©Fradin Patrick -
Décomposition d"une fraction rationnelle Chapitre 19 : Fractions rationnellesDécomposer une fraction rationnelleFnon nulle, c"est l"écrire comme somme de sa partie entière etd"éléments simples.Définition 19.10ZExemples:-FAEX3X2Å1, sa partie entière estX, et on aFAEXÅ¡XX2Å1: c"est la décomposition deFen éléments simplesdansR(X), mais pas dansC(X).-DansC(X) on a : FAEXÅ¡1/2XÅiÅ¡1/2X¡i.3) Existence de la décompositionSoitFunefractionnonnulle etnonpolynomiale:FAEAB(formeirréductible), oncalculesapartie entière :E, on a alorsAEEÅRBavecdeg(RB)Ç0, on est alors amené à décomposer une fraction de degré strictementnégatif en éléments simples.On factorise le dénominateurBen produit de polynômes irréductibles unitaires :BAErQiAE1Pmii(Bestunitaire).SiT,Ssont deux polynômespremiers entre euxet sideg(ATS)Ç0, alors il existe deux polynômesUetVtels que :ATSAEUTÅVSavecdeg(U)Çdeg(T),deg(V)Çdeg(S).Théorème 19.8Preuve: Il existe deux polynômesU0,V0tels queU0SÅV0TAE1 (théorème de Bézout), on a alorsATSAEAU0TÅAV0S, soitE1la partie entière deAU0TetE2celle deAV0S, il existe deux polynômesUetVtels queAU0TAEE1ÅUTavecdeg(U)Çdeg(T), etAV0SAEE2ÅVSavecdeg(V)Çdeg(S), d"où :ATSAEE1ÅE2ÅUTÅVS, maisdeg(UTÅVS)Ç0, doncE1ÅE2est la partie entière deATS, or celle-ci est nulle, donc E1ÅE2AE0, ce qui donne le résultat.Conséquence: Par récurrence on en déduit que siB1,...,Bnsont premiers entre eux deux à deux et sideg(AB1£...£Bn)Ç0, alors il existe des polynômes U1,...,Untels que :AB1£...£BnAEnXiAE1UiBiavec deg(Ui)Çdeg(Bi).En appliquant ceci à notre fraction F, on peut affirmer qu"il existe des polynômes (Ui)16i6rtels que :FAEEÅrXiAE1UiPmiiavec deg(Ui)Çdeg[Pmii].SiTest un polynôme irréductible unitaire et sideg(ATn)Ç0(n>1), alors il existe des polynômesV1,...,Vntels que :ATnAEnXkAE1VkTkavecdeg(Vk)Çdeg(T).C"est une décomposition en éléments simples.Théorème 19.9Preuve: Par récurrence surn: pournAE1 il n"y a rien à faire. Si le théorème est vrai au rangnet sideg(ATnÅ1)Ç0, alorson effectue la division euclidienne deAparT:AAEQTÅVnÅ1avecdeg(VnÅ1)Çdeg(T), ce qui donneATnÅ1AEQTnÅVnÅ1TnÅ1, ilest facile de voir que deg(QTn)Ç0, on peut donc appliquer l"hypothèse de récurrence, ce qui donne le résultat.On peut appliquer ce théorème à chacune des fractionsUiPmii: il existe des polynômesV1,i,...,Vmi,itelsque :UiPmiiAEmiXjAE1Vj,iPjiavec deg(Vj,i)Çdeg(Pi).Ce qui donne pour F :FAEEÅrXiAE1"miXjAE1Vj,iPji#.C"est une décomposition de F en éléments simples.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 178 -©Fradin Patrick -
Décomposition dans le cas complexe Chapitre 19 : Fractions rationnellesLa décomposition en éléments simples est unique.Théorème 19.10(admis)SoitPun polynôme non nul etPAE¸Pm11£¢¢¢£Pmnnsa décomposition en facteurs irréductiblesunitaires, alorsP0PAEm1P01P1Å¢¢¢ÅmnP0nPn(décomposition en éléments simples).Théorème 19.11(décomposition deP0P)Preuve: Découle de la propriété de la dérivée logarithmique.IV DÉCOMPOSITION DANS LE CAS COMPLEXE1) Forme de la décompositionSoitFAEAB2C(X),sous forme irréductible, soitEsa partie entière et soitBAErQkAE1(X¡ak)mkla factorisa-tion du dénominateur. Les complexesaksontles pôlesdeF, et les entiersmk(>1) sontles multiplicitésrespectives.D"après l"étude générale, la forme de la décomposition de F sera :FAEEÅrXkAE1"mkXjAE1bj,k(X¡ak)j#.Chaque pôle deFva donc générer des éléments simples qui lui correspondent : ce sont lesbj,k(X¡ak)jpourj2J1;mkK.La somme des éléments simples relatifs au pôleakest appeléepartie polairedeFrelative au pôleak,elle est notéePF(ak).Définition 19.11(partie polaire)On a donc PF(ak)AEmkPjAE1bj,k(X¡ak)j, et la forme de la décomposition de F est :FAEEÅPF(a1)Å¢¢¢ÅPF(ar).C"est à dire : partie entière plus les parties polaires relatives aux pôles de F.La décomposition dansC(X) consiste donc à calculer des parties polaires.2) Calcul d"une partie polaireSoit FAEAB2C(X) (sous forme irréductible) et soita2Cun pôle de F de multiplicitém>1.-Cas d"un pôle simple: on prendmAE1. On peut écrireBAE(X¡a)QavecQ(a)6AE0. CommemAE1, lapartie polaire deFrelative àaestPF(a)AEcX¡a, en regroupant les parties polaires relativesaux autrespôles, on peut écrireFAEEÅcX¡aÅUVavecEla partie entière etdeg(UV)Ç0. En multipliant parX¡aon obtient :AQAE(X¡a)EÅcÅ(X¡a)UV, maisan"étant pas un pôle deUV, on peut évaluer ena, ce quidonne :cAEA(a)Q(a). Comme BAE(X¡a)Q, il est facile de voir que Q(a)AEB0(a), en conclusion :Siaest un pôle simple de FAEAB, alors la partie polaire de F relative àaest :PF(a)AEcX¡aaveccAEA(a)B0(a)AEA(a)Q(a)où Q est tel que BAE(X¡a)Q.ZExemple: SoitFAE1Xn¡1avecn>1. On adeg(F)Ç0 donc la partie entière est nulle. Les pôles deFsontles racinesn-ièmes de l"unité :akAEexp(2ik¼/n) aveck2J0;n¡1K, et ce sont des pôles simples. Lapartie polaire de F relative àakestckX¡akavecckAE1nan¡1kAEakn. La décomposition de F est :1Xn¡1AEn¡1XkAE0akn(X¡ak).MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 179 -©Fradin Patrick -
Décomposition dans le cas complexe Chapitre 19 : Fractions rationnelles-Cas d"un pôle double: on prendmAE2, on peut écrireBAE(X¡a)2QavecQ(a)6AE0, la partie polaire deFrelative àaestPF(a)AE®X¡aů(X¡a)2, en regroupant les parties polaires relatives aux autres pôles, onobtient :FAEEÅ®X¡aů(X¡a)2ÅUVavec deg(UV)Ç0.Si on multiplie le tout par (X¡a)2et que l"on évalue ena(an"est pas un pôle deUV), on obtient¯AEA(a)Q(a).Pour obtenir®, on peut poserGAEF¡¯(X¡a)2, on a alorsGAEEÅ®X¡aÅUV, doncaest un pôle simple deG, ce qui nous ramène au cas précédent.Autre méthode: on poseHAE(X¡a)2£FAEAQ, on a en faitHAE(X¡a)2EÅ®(X¡a)ůÅ(X¡a)2UV, enévaluant enaon trouve¯AEH(a), et en évaluant la dérivée ena, on trouve®AEH0(a). En conclusion :Siaest un pôle double de FAEAB, alors la partie polaire de F relative àaest :PF(a)AE®X¡aů(X¡a)2avec¯AEH(a) et®AEH0(a), en posant HAE(X¡a)2£F.Remarque 19.6 -Cette autre méthode se généralise au cas d"un pôleade multiplicitém>3en posantHAE(X¡a)m£F.ZExemple: Soit FAEX6(X¡1)2(X3Å1).La fraction est irréductible et son degré vaut 1, il y a donc une partie entière non nulle, on trouveEAEXÅ2(le dénominateur est égal à X5¡2X4ÅX3ÅX2¡2XÅ1). La fraction possède 4 pôles :• 1 : c"est un pôle double, on pose HAE(X¡1)2£FAEX3X3Å1, la partie polaire relative à 1 est :PF(1)AE9/4X¡1Å1/2(X¡1)2.Car H(1)AE1/2 et H0(1)AE9/4.•¡1 : c"est un pôle simple, la partie polaire de F relative à¡1 est :PF(¡1)AE1/12XÅ1.•¡j: c"est un pôle simple, la partie polaire relative à¡jest :PF(¡j)AE1/3XÅj.•¡j2: est un pôle simple, la partie polaire relative à¡j2est :PF(¡j2)AE1/3XÅj2.Finalement, la décomposition de F en éléments simples dansC(X) est :FAEXÅ2Å9/4X¡1Å1/2(X¡1)2Å1/12XÅ1Å1/3XÅjÅ1/3XÅj2.3) Cas particuliers-Si F est à coefficients réels alors :les parties polaires relatives aux pôles conjugués, sont conjuguées.Preuve: Siaest un pôle complexe non réel deFde multiplicitém, alors on sait queaest un pôle deFdemême multiplicité carF2R(X), en regroupant les parties polaires relatives aux pôles autres quea, on obtient :FAEEÅPF(a)ÅUV, oùE2R[X] est la partie entière, si on conjugue l"expression, alors on obtient :FAEEÅPF(a)ÅUV.Si on pose PF(a)AEmPkAE1ck(X¡a)k, alorsPF(a)AEmPkAE1ck(X¡a)ket donc :FAEEÅmXkAE1ck(X¡a)kÅUV,maisan"est pas un pôle deUV, doncPF(a) est la partie polaire de F relative àa,i.e.PF(a)AEPF(a).MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 180 -©Fradin Patrick -
Décomposition dans le cas réel Chapitre 19 : Fractions rationnellesZExemple: SoitFAE1(X2ÅXÅ1)2,deg(F)Ç0 donc sa partie entière est nulle.Fpossède deux pôles doublesjetj2. La partie polaire relative au pôlejest :PF(j)AEH0(j)X¡jÅH(j)(X¡j)2en posantHAE(X¡j)2£FAE1(X¡j2)2,on obtientH(j)AE¡1/3 etH0(j)AE¡2ip39.Fétant à coefficients réels, la partie polaire relative àj2est laconjuguée de celle relative àj, la décomposition de F est donc :FAE¡13(X¡j)2¡2ip39(X¡j)Å¡13(X¡j)2Å2ip39(X¡j).-SiFest paire ou impaire, alors en utilisant la relation entreF(X) etF(¡X) et avec l"unicité de la décom-position, on obtient des relations entre les coefficients à déterminer dans les parties polaires.ZExemple: Soit FAEX4Å1X(X2¡1)2.deg(F)Ç0 donc la partie entière est nulle. La fraction est irréductible, impaire, et possède un pôlesimple : 0, et deux pôles doubles : 1 et¡1. La forme générale de la décomposition de F est :FAEaXÅbX¡1Åc(X¡1)2ÅdXÅ1Åe(XÅ1)2.F étant impaire, on a F(X)AE¡F(¡X), ce qui donn e :FAEaXÅbXÅ1Å¡c(XÅ1)2ÅdX¡1Å¡e(X¡1)2.L"unicité de la décomposition nous donne les relations :(dAEbeAE¡c, ce qui fait deux coefficients enmoins à calculer. La partie polaire relative à 0 estPF(0)AE1X(pôle simple). En substituant 1 àXdans(X¡1)2£F, on obtientcAE1/2, et en faisant tendrexversÅ1dans la fonction rationnellex7!xF(x),on obtient la relation 1AEaÅbÅd i.e.2bAE0 d"oùbAE0, finalement la décomposition de F est :FAE1XÅ12(X¡1)2¡12(XÅ1)2.V DÉCOMPOSITION DANS LE CAS RÉEL1) Forme de la décompositionSoit FAEAB2R(X) (sous forme irréductible), soit E sa partie entière et soit :BAEnYkAE1(X¡ak)mk£rYkAE1(X2ÅpkXÅqk)®kla factorisation deBen produit de facteurs irréductibles unitaires (p2k¡4qkÇ0). D"après l"étude générale, laforme de la décomposition de F est :FAEEÅnXkAE1"mkXjAE1bj,k(X¡ak)j#ÅrXkAE1"®kXjAE1cj,kXÅdj,k(X2ÅpkXÅqk)j#.La première somme est en fait la somme des parties polaires deFrelatives aux pôles réels deF. Lestechniques de calculs sont les mêmes dans le cas complexe.La seconde somme est la somme des éléments simples de seconde espèce.2) Calcul des éléments simples de seconde espèceOn se limitera au cas oùX2ÅpXÅqest un diviseur irréductible deBdemultiplicité1, en regroupant lesautres éléments simples, on obtient :FAEEÅaXÅbX2ÅpXÅqÅUV.Soientcetcles deux racines complexes (non réelles) deX2ÅpXÅq, alorscetcne sont pas pôles deUV, etcetcsont pôles simples deF, on peut calculer la partie polaire deFrelative àcdansC(X) :PF(c)AE®X¡c, commeMPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 181 -©Fradin Patrick -
Applications de la décomposition Chapitre 19 : Fractions rationnellesF2R(X) on aPF(c)AE®X¡c, la somme de ces deux parties polaires donne :PF(c)ÅPF(c)AE2Re(®)X¡2Re(®c)X2ÅpXÅq, c"estun élément simple deR(X), comme la décomposition dansR(X) est unique, il en résulte que :aXÅbX2ÅpXÅqAE2Re(®)X¡2Re(®c)X2ÅpXÅq.Autreméthode: soitHAE(X2ÅpXÅq)£F, on a :HAE(X2ÅpXÅq)£EÅaXÅbÅ(X2ÅpXÅq)£UV. On obtientalors le système :½H(c)AEacÅbH(c)AEacÅb, en résolvant on trouveaetb.ZExemple: Soit FAEX4X3¡1.On adeg(F)AE1, il y a donc une partie entière non nulle, celle-ci vautX, d"autre part on aX3¡1AE(X¡1)(X2ÅXÅ1), d"où la forme de la décomposition :FAEXÅaX¡1ÅbXÅcX2ÅXÅ1.La partie polaire relative à 1 estPF(1)AE13(X¡1). DansC(X), la partie polaire relative àjestPF(j)AEj23(X¡j), et lapartie polaire relative àj2est la conjuguée,i.e.PF(j2)AEj3(X¡j2), la somme de ces deux parties polaires donne :¡XÅ13(X2ÅXÅ1), la décomposition de F est donc :FAEXÅ13(X¡1)Å¡XÅ13(X2ÅXÅ1).Remarque 19.7 -En évaluant en0on obtientc¡aAE0d"oùcAEaAE1/3. En faisant tendrexversÅ1dansx(F(x)¡x)AEx2x3¡1, on obtient aÅbAE0d"où bAE¡aAE¡1/3.Le résultat suivant est souvent utile lors du calcul des différents coefficients réels :Soitzun complexenon réel, soienta,b,cetdquatreréelstels queazÅbAEczÅd, alorsaAEcetbAEd.Théorème 19.12Preuve: Par l"absurde, sia6AEcalors on auraitzAEd¡bc¡a2R, orzest non réel, doncaAEc, ce qui entraînebAEd.VI APPLICATIONS DE LA DÉCOMPOSITION1) Calcul de la dérivée n-ième d"une fractionZExemple: Soitf(x)AE1x2Å1, calculonsf(n)(x). DansC(X) on a1X2Å1AE12i(X¡i)¡12i(XÅi), d"où :f(n)(x)AE12i·(¡1)nn!(x¡i)nÅ1¡(¡1)nn!(xÅi)nÅ1¸.Ce qui donne :f(n)(x)AE(¡1)nn!Im((xÅi)nÅ1)(x2Å1)nÅ1AE(¡1)nn!bn2cPkAE0¡nÅ12kÅ1¢(¡1)kxn¡2k(x2Å1)nÅ1.FExercice19.2Calculer la dérivée n-ième de la fonction f(x)AEx(x¡1)(x2ÅxÅ1).2) Primitives d"une fraction rationnelleSoitF2R(X), on décomposeFen éléments simples dansR(X), on est donc ramené à calculer desprimitives de trois types :-La partie entière : c"est un polynôme.-Les éléments simples de première espèce :1(X¡a)navecn>1, on sait les intégrer, car :Zxdt(t¡a)nAE(ln(jx¡aj) sinAE1¡1(n¡1)(x¡a)n¡1sin>2.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 182 -©Fradin Patrick -
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