TNS4 - cours 2/5 Pierre Comon

faire la distinction entre les deux Le symbole moy sera utilisé pour représenter la grandeur (valeur absolue) de la vitesse vectorielle moyenne Il s’agit d’un exemple où la grandeur d’un vecteur ne peut être représentée par le même symbole que celui du vecteur sans la flèche 4 Déplacement et distance : , ∆ , et d

TNS4 - cours 2/5 Pierre Comon - Gipsa-lab

Energie ´emise pour un symbole u (limitation n´ecesaire): E(u) = s(t;u)2 Energie moyenne par symbole: Es = 1 M P u E(u) Energie moyenne par bit: Eb = 1 log2M Es Puissance moyenne: P = Rs Es = Rb Eb Ensemble des symboles symboles r´eels: modulation dite 1-dimensionnelle symboles complexes: modulation dite 2-dimensionnelle (rien a voir

Distributions d’ echantillonnage

exemple, aucun n’a la moyenne de la population (m= 6) La moyenne des moyennes d’ echantillon est E(X ) = 60=10 = 6 En fait, nous allons voir que le fait que l’esp erance de X (c’est- a-dire la moyenne des moyennes d’ echantillon ) est egale a la moyenne de la population n’est pas v eri e seulement dans notre exemple

Chapitre 01 Caractéristiques et représentations temporelles

C Valeur moyenne d’un signal variable périodique ayant un motif simple : Sur la représentation temporelle d’un signal, on peut déterminer la valeur moyenne d’un signal, notée 〈#〉, dont l’unité est le volt (de symbole $) Pour un signal variable périodique et de motif SIMPLE, on détermine sa valeur moyenne, notée 〈#〉, dont

LE LOGICIEL DE SIMULATION PSIM

l’écran Pour que les valeurs moyenne et efficace soient correctes, il faut un nombre entier de périodes à l’écran Au niveau du choix des paramètres de simulation, il faut donc que : Total time- Print time = n*T avec n entier Dans l’exemple ci-dessus, Print time = 9ms, (Total time – Print time) = 1ms Pour les fréquences

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Graphisme : représentation des fruits (dessin d’observation) En activité dirigée, avec des groupes de six à huit enfants, dessiner les fruits : choisir la couleur,

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symbole correspondant Lecture de l’écran (1) Expression saisie (2) Résultat du calcul (3) Indicateurs • Si un indicateur ou apparaît à la droite de l’expression saisie ou du résultat du calcul, cela signiﬁe que l’expression afﬁchée continue vers la droite Utilisez et pour faire déﬁler la ligne d’afﬁchage

Intégrales et primitives

Le symbole a été introduit par Leibniz au XVIIè siècle Il représente un stylisé, faisant référence à la Somme de tous les petits rectangles utilisés dans l'activité pour approcher l'aire sous la courbe Intégrale d'une fonction continue positive 11

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- 31/51 -

Communications Num´eriques I

TNS4 - cours 2/5

PierreComon

- P. Comon - - 32/51 -

R´esum´e du cours 1

Signal transmis(en bande porteuse)

x(t) =xc(t)cos2πfot-xs(t)sin2πfot =a(t) cos[2πfot+φ(t)]

Enveloppe complexe(en bande de base)

SiX(f) est passe-bande:

X(f) =⎷

2U+(f+fo)X(f+fo)

?˜x(t) =xc(t) +?xs(t)

Relation(en bande porteuse)

x(t) =?{˜x(t)e2π?fot}

Transmission

y(t) =c(t)? x(t)?˜y(t) =cE(t)?˜x(t) o`ucEest le canal ´equivalent:CE(f) =U+(f+fo)C(f+fo) =˜C(f)/⎷ 2 - P. Comon - - 33/51 -

Terminologie

Modulation num´erique:associe une suite discr`ete de symboles,uk, `a une forme d"onde,x(t).

Valence:nombreMde symboles

D´ebit symbole:Rs= 1/T, en Baud/s

D´ebit d"information:Rb=1Tlog2M, en Bit/s

M´emoireLd"une modulation:

Sur l"intervallet?[T,(k+ 1)T], la sortiex(t) d´epend de {uk-L, ...,uk-1, uk}. Alors: on peut donc d´efinir un ´etat interne du modulateur: S k={uk-L, ...,uk-1} un modulateur invariant dans le temps s"´ecrit: x(t) =? kb(t-kT;uk,Sk) o`ub(·) ne d´epend pas dek. - P. Comon - - 34/51 -

Modulations num´eriques lin´eaires

la superposition desx(t) associ´es `a chaque symboleuk. Modulations lin´eaires invariantes dans le temps:

En bande porteuse:

x(t) =? k⎷

2cos(2πfot)gc(t-kT)xc(uk)

2sin(2πfot)gs(t-kT)xs(uk)

En bande de base:

˜x(t) =?

kg c(t-kT)xc(uk) +?gs(t-kT)xs(uk)

Exemples:uk? {1,...,M}

PAM(Pulse Amplitude Modulation):

˜x(t) =?

kg(t-kT)(2uk-1-M)

PSK(Phase Shift Keying):

˜x(t) =?

kg(t-kT)e2?πuk/M - P. Comon - - 35/51 -

Modulations num´eriques

Diagramme de transition entre ´etats:

graphe(´etats=noeuds, arˆetes orient´ees=transitions) Labellisationpossible des arˆetes par (u,S), si modulation invariante aveck. uk-1u k-1u ku k-1 S

Treillis:

d´epliement du diagramme de transition en fonction du temps.

DiagrammeDiagrammeDiagramme

tempskT(k-1)T - P. Comon - - 36/51 -

Exemple: On-Off(M= 2,L= 2)

1 1 1 10 0 0 0 10 1101
00

Diagramme de transition

S= (uk-1uk-2)

0 0 0 0 0 1111
0 0 0

1 0 1sequence : 0

0 0 1111
0 0 0 1111
00 01 10 1100
01 10 11 00 01 10 11 00 01 10 11

Treillis

- P. Comon - - 37/51 -

Syst`emes multi-antennes

Nombre d"antennes `a l"´emission:P

Nombre d"antennes `a la r´eception:K

Relation entr´ee-sortie du canal:

y n(t) =P? p=1C np(t)? xp(t)?y(t) =C(t)?x(t) Pour chaquet,y(t) est de dimensionK, etx(t) de dimensionP.

Produit scalaireL2:

?f(t),g(t)?=? p?fp(t),gp(t)?

En particulier:

||x(t)||2=? p? t |xp(t)|2dt - P. Comon - - 38/51 -

Autres caract´eristiques

Pour une modulation lin´eaire invariante dans le temps, x(t) =? ks(t-kT;uk), Energie ´emise pour un symboleu(limitation n´ecesaire):

E(u) =||s(t;u)||2

Energie moyenne par symbole:

Es=1 M? uE(u)

Energie moyenne par bit:

Eb=1 log2MEs

Puissance moyenne:

P=RsEs=RbEb

Ensemble des symboles

symboles r´eels: modulation dite 1-dimensionnelle symboles complexes: modulation dite 2-dimensionnelle (rien `a voir avecPetK) - P. Comon - - 39/51 -

Constellation

Dimension de l"espace de constellation:

dimensionNde l"espace fonctionnel r´eel g´en´er´e par less(t;u)

Par exempleu=uc+?us

N >2 si large bande (e.g. OFDM, CDMA)

D´efinition

Ensemble desMsymboless(uk) repr´esent´es dansIRN Distance inter-symbole minimale:dmin= Minu?=u?||s(u)-s(u?)|| (utile pour calculer la probabilit´e d"erreur)

Exemple

Sis(t;u) =g(t)s(u), alorsN= 1.

Cas de la modulation PAM-M: ˜x(t) =A?

kg(t-kT)uk, ?dmin= 2A,etEs=M2-1 3A2

000 001 011 010 110 111 101 100

-7A5A 7A PAM8 - P. Comon - - 40/51 -

Modulation QAM-M

Quadrature Amplitude Modulation⎷Mvaleurs sur?et? ?Msymboles.

En bande porteuse:

x(t) =A? kg(t-kT)? u c k⎷

2cos2πfot-usk⎷2sin2πfot?

En bande de base: ˜x=A?

kg(t-kT)[uck+?usk]

Distance et ´energie:

d min= 2A, E1= 2A2,etEs=2

3(M-1)A2

QAM32 QAM4

QAM16AAA3A5A3A

E =2AE = 10AE = 20Asss2

22
- P. Comon - - 41/51 -

Modulation PSK-M

Phase Shift Keying

Mvaleurs ´equi-r´eparties sur le cercle de rayonA, d"argumentφ(u) = 2π

Mu,u? {0,1,...,M-1}.

En bande porteuse:

x(t) =A? kg(t-kT)⎷

2cos(2πfot+φ(uk))

En bande de base: ˜x=A?

kg(t-kT)e?φ(uk)

Distance et ´energie:

d min= 2Asinπ

M,etEs=A2

PSK8000

001011

010 110
111

101100

- P. Comon - - 42/51 -

Modulation diff´erentielle

Differential Phase Shift Keying (DPSK)

Motivation: phase absolue de la porteuse difficile `a poursuivre

Solution: le symboleukencode le saut de phase

Cons´equence: m´emoire (infinie) dans la modulation

Etat interneSk: phase absolue modulo 2π.

Signal ´echantillonn´e en sortie du d´emodulateur: y k=e?(θk-?)? ?yk-1,yk?=e?(θk-θk-1) ?inconnue disparait, reste la partie utileuk=θk-θk-1.

Treillis pour DBPSK

Deux symbolesaetbassoci´es aux phasesφ(a) = 0 etφ(b) =π. b b aa b b aa b baa 0 π0 0

ππ0

- P. Comon - - 43/51 -

Modulationπ/4-DQPSK

Symbolesuk? {-3,-1,1,3}(PAM4)

Codage diff´erentiel: Δθk=ukπ4

Cons´equences:

La phase absolue change `a chaque fois de±π4ou±3π4 Donc la phase abolue prend 8 valeurs, bien queM= 4 Lestrajectoiresde phase(bien que d´ependant des formesd"onde) ne passent pas par l"origine?moins sensible aux NL des amplificateurs en bande porteuse. Peut ˆetre vue comme une PSK-8 avec des transitions interdites - P. Comon - - 44/51 -

Forme d"ondes

Importantes pour l"occupation spectrale et l"Interf´erence entre symboles (ISI) D´efinissent les trajectoires de l"enveloppe dans le plan complexe.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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Communications Num´eriques I

TNS4 - cours 2/5

PierreComon

R´esum´e du cours 1

Signal transmis(en bande porteuse)

Enveloppe complexe(en bande de base)

SiX(f) est passe-bande:

X(f) =⎷

2U+(f+fo)X(f+fo)

Relation(en bande porteuse)

Transmission

Terminologie

Valence:nombreMde symboles

D´ebit symbole:Rs= 1/T, en Baud/s

D´ebit d"information:Rb=1Tlog2M, en Bit/s

M´emoireLd"une modulation:

Modulations num´eriques lin´eaires

En bande porteuse:

2cos(2πfot)gc(t-kT)xc(uk)

2sin(2πfot)gs(t-kT)xs(uk)

En bande de base:

˜x(t) =?

Exemples:uk? {1,...,M}

PAM(Pulse Amplitude Modulation):

˜x(t) =?

PSK(Phase Shift Keying):

˜x(t) =?

Modulations num´eriques

Diagramme de transition entre ´etats:

Treillis:

DiagrammeDiagrammeDiagramme

Exemple: On-Off(M= 2,L= 2)

Diagramme de transition

S= (uk-1uk-2)

1 0 1sequence : 0

Treillis

Syst`emes multi-antennes

Nombre d"antennes `a l"´emission:P

Nombre d"antennes `a la r´eception:K

Relation entr´ee-sortie du canal:

Produit scalaireL2:

En particulier:

Autres caract´eristiques

E(u) =||s(t;u)||2

Energie moyenne par symbole:

Energie moyenne par bit:

Puissance moyenne:

P=RsEs=RbEb

Ensemble des symboles

Constellation

Dimension de l"espace de constellation:

Par exempleu=uc+?us

N >2 si large bande (e.g. OFDM, CDMA)

D´efinition

Exemple

Sis(t;u) =g(t)s(u), alorsN= 1.

Cas de la modulation PAM-M: ˜x(t) =A?

000 001 011 010 110 111 101 100

Modulation QAM-M

En bande porteuse:

2cos2πfot-usk⎷2sin2πfot?

En bande de base: ˜x=A?

Distance et ´energie:

3(M-1)A2

QAM16AAA3A5A3A

E =2AE = 10AE = 20Asss2

Modulation PSK-M

Phase Shift Keying

Mu,u? {0,1,...,M-1}.

En bande porteuse:

2cos(2πfot+φ(uk))

En bande de base: ˜x=A?

Distance et ´energie:

M,etEs=A2

PSK8000

001011

101100

Modulation diff´erentielle

Differential Phase Shift Keying (DPSK)

PAM(Pulse Amplitude Modulation):

PSK(Phase Shift Keying):

Par exempleu=uc+?us

N >2 si large bande (e.g. OFDM, CDMA)

Cas de la modulation PAM-M: ˜x(t) =A?