INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
arcsin(x), a set typically with an infinite number of angle values, and Arcsin(x), a specific representative angle from that set They use the “small a” notation, arcsin(x), to mean the one principal value Similarly for Arccos(x)and Arctan(x)
ChapitreVFonctions arcsin arccos arctan 1 Définitions
cours du mercredi 1/3/17 ChapitreVFonctionsarcsin; arccos; arctan 1 Définitions 1 1 arcsin Proposition1 1 La fonction sin : [ ˇ=2;ˇ=2] [ 1;1] est une bijection
Inverse functions
lnbdoes not exist if b 0; arcsin(x) does not exist if jxj>1: Similar facts hold for arctan, arccos and so on By the end of your rst calculus course, you should be able to compute the derivative of an inverse
Lecture 17: Implicit di erentiation - Nathan Pflueger
on calculators by sin 1;cos ;tan 1, and they are often called in other places by the names arcsin;arccos;arctan (there are also, of course, inverse functions of sec;csc, and cot, but we won’t discuss these as much) In these cases, ipping the graph of the original functions give plots that have many yvalues of each xvalue, so there
Exo7 - Cours de mathématiques
ter à notre catalogue de nouvelles fonctions : ch,sh,th,arccos,arcsin,arctan,argch,argsh,argth Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de problèmes simples, en particulier issus de la physique
Conseils de travail pour les vacances de Toussaint
i) Tracer sur un m^eme gure les graphes de Arcsin et Arccos Que dire? ii) Donner une relation simple entre Arccos(−x) et Arccos(x) pour tout x∈[−1;1] 3) Etude de la fonction Arctan a) Etude seulement a partir de la d e nition comme \fonction r ecip "
Planche no 13 Fonctions circulaires réciproques : corrigé
Arctan a+b 1−ab si ab < 1 Arctan a+b 1−ab +π si ab > 1 et a > 0 Arctan a+b 1−ab −π si ab > 1 et a < 0 Exercice no 3 Pour x réel, on pose f(x)= Z sin2x 0 Arcsin √ t dt+ Z cos2 x 0 Arccos √ t dt La fonction t 7→ Arcsin √ t est continue sur [0,1] Donc, la fonction y 7→ Z y 0 Arcsin √ t dt est définie et dérivable sur
˘ ˇ - melusineeuorg
Title (Microsoft Word - 12 Fonctions circulaires r\351ciproques doc) Author: Ismael Created Date: 4/8/2006 7:31:40
Cours de mathématiques MPSI - AlloSchool
La fonction f: x 7arccos(cos(x)) n’est pas l’identité, elle est 2 - périodique et paire, il suffit donc l’étudier sur [0; ] intervalle sur lequel f ( x ) ˘ x Attention
Fonctionsusuelles - GitHub Pages
©LaurentGarcin MPSILycéeJean-BaptisteCorot Fonctionsusuelles 1 Fonctionslogarithme,exponentielleetpuissances 1 1 Fonctionlogarithmeetexponentielle
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Fonctions usuellesExo7
ter à notre catalogue de nouvelles fonctions : ch,sh,th,arccos,arcsin,arctan,argch,argsh,argth.Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de problèmes simples, en particulier
issus de la physique. Par exemple lorsqu"un fil est suspendu entre deux poteaux (ou un collier tenuentre deux mains) alors la courbe dessinée est unechaînettedont l"équation fait intervenir le
cosinus hyperbolique et un paramètrea(qui dépend de la longueur du fil et de l"écartement des
poteaux) : yAEach³xa´1.Logarithme et exponentielle
1.1.Logarithme Proposition 1
Il existe une unique fonction, notée ln:]0,Å1[!Rtelle que : ln0(x)AE1x
(pour toutxÈ0) et ln(1)AE0. De plus cette fonction vérifie (pour touta,bÈ0) : 1. ln( a£b)AElnaÅlnb, 2. ln( 1a )AE¡lna, 3. ln( an)AEnlna, (pour toutn2N) 4. ln est une fonction continue, strictement croissante et définit une bijection de ]0,Å1[ surR,1 2 5. lim x!0ln(1Åx)x AE1, 6. la fonction ln est conca veet ln xÉx¡1 (pour toutxÈ0).xy lnxe1 10Remarque
lnxs"appelle lelogarithme naturelou aussilogarithme néperien. Il est caractérisé par ln(e)AE1. On définit lelogarithme en baseapar log a(x)AEln(x)ln(a)De sorte que log
a(a)AE1. PouraAE10 on obtient lelogarithme décimallog10qui vérifielog10(10)AE1 (et donc log10(10n)AEn). Dans la pratique on utilise l"équivalence :xAE10y()yAElog10(x)En informatique intervient aussi le logarithme en base 2 : log2(2n)AEn.Démonstration L"existence et l"unicité viennent de la théorie de l"intégrale : ln(x)AERx 11t dt. Passons aux propriétés. 1. Posonsf(x)AEln(xy)¡ln(x) oùyÈ0 est fixé. Alorsf0(x)AEyln0(xy)¡ln0(x)AEyxy¡1x
AE0. Donc
x7!f(x) a une dérivée nulle, donc est constante et vautf(1)AEln(y)¡ln(1)AEln(y). Doncln(xy)¡
ln(x)AEln(y). 2.D"une part ln( a£1a
)AElnaÅln1a , mais d"autre part ln(a£1a )AEln(1)AE0. Donc lnaÅln1a AE0. 3.Similaire ou récurrence .
4. ln est dérivable donc continue,ln0(x)AE1x È0 donc la fonction est strictement croissante. Comme ln(2)Èln(1)AE0 alorsln(2n)AEnln(2)!Å1(lorsquen!Å1). Donclimx!Å1lnxAEÅ1. DelnxAE¡ln1x
on déduitlimx!0lnxAE ¡1. Par le théorème sur les fonctions continues et strictement croissantes, ln:]0,Å1[!Rest une bijection. 5. lim x!0ln(1Åx)x est la dérivée de ln au pointx0AE1, donc cette limite existe et vaut ln0(1)AE1. 6. ln 0 (x)AE1xest décroissante, donc la fonctionlnest concave. Posonsf(x)AEx¡1¡lnx;f0(x)AE1¡1x.Par une étude de fonctionfatteint son maximum enx0AE1. Doncf(x)Êf(1)AE0. DonclnxÉx¡1.1.2.Exponentielle
3Définition 1La bijection réciproque deln:]0,Å1[!Rs"appelle la fonctionexponentielle, notéeexp:R!
]0,Å1[.xyexpxe 1 10Pourx2Ron note aussiexpour expx.Proposition 2
La fonction exponentielle vérifie les propriétés suivantes : exp(lnx)AExpour toutxÈ0et ln(expx)AExpour toutx2R-exp(aÅb)AEexp(a)£exp(b) -exp(nx)AE(expx)n -exp :R!]0,Å1[ est une fonction continue,strictement croissante vérifiantlimx!¡1expxAE0 et lim
x!Å1expAEÅ1. La fonction exponentielle est dérivable etexp0xAEexpx, pour toutx2R. Elle est convexe et expxÊ1ÅxRemarque La fonction exponentielle est l"unique fonction qui vérifieexp0(x)AEexp(x) (pour toutx2R) et exp(1)AEe. Oùe'2,718...est le nombre qui vérifie lneAE1.Démonstration Ce sont les propriétés du logarithme retranscrites pour sa bijection réciproque.Par exemple pour la dérivée : on part de l"égalitéln(expx)AExque l"on dérive. Cela donneexp0(x)£
ln0(expx)AE1 donc exp0(x)£1expxAE1 et ainsi exp0(x)AEexpx.1.3.Puissance et comparaison
Par définition, pouraÈ0 etb2R,
a bAEexp¡blna¢ 4Remarque
paAEa12AEexp¡12
lna¢ npaAEa1nAEexp¡1n
lna¢(laracinen-ièmedea) -On note aussi expxparexce qui se justifie par le calcul :exAEexp¡xlne¢AEexp(x). -Les fonctionsx7!axs"appellent aussi des fonctions exponentielles et se ramènent sys- tématiquement à la fonction exponentielle classique par l"égalitéaxAEexp(xlna). Il nefaut surtout pas les confondre avec les fonctions puissancesx7!xa.Comparons les fonctions lnx, expxavecx:Proposition 3
lim x!Å1lnxxAE0 et limx!Å1expxx
AEÅ1.xyx
a(aÈ1)x a(aÇ1)expxlnxx 1 10Démonstration
1. On a vu ln xÉx¡1 (pour toutxÈ0). Donc lnxÉxdonclnpxpxÉ1. Cela donne
0Élnxx
AEln³px
2´x
AE2lnpx
xAE2lnpxpx
1pxÉ2px
Cette double inégalité entraîne lim
x!Å1lnxx AE0. 2. On a vu exp xÊ1Åx(pour toutx2R). Donc expx!Å1(lorsquex!Å1). xexpxAEln(expx)expxAElnuu lorsquex! Å1alorsuAEexpx! Å1et donc par le premier pointlnuu !0. Doncxexpx!0 et reste positive, ainsi limx!Å1expxxAEÅ1.
5Mini-exercices
1. Montrer que ln(1 Åex)AExÅln(1Åe¡x), pour toutx2R.2.Étudier la fonctionf(x)AEln(x2Å1)¡ln(x)¡1. Tracer son graphe. Résoudre l"équation
(f(x)AE0). Idem avecg(x)AE1Ålnxx . Idem avech(x)AExx. 3.Expliquer comment log
10permet de calculer le nombre de chiffres d"un entiern.
4.Montrerln(1Åx)Êx¡x22pourxÊ0 (faire une étude de fonction). Idem avecexÊ1ÅxÅx22
pour toutxÊ0. 5. Calculer la limite de la suite définie parunAE¡1Å1n nlorsquen! Å1. Idem avec vnAE¡1n netwnAEn1n .2.F onctionscirculaires inverses 2.1.Arccosinus
Considérons la fonction cosinuscos:R![¡1,1],x7!cosx. Pour obtenir une bijection à partir decette fonction, il faut considérer la restriction de cosinus à l"intervalle [0,¼]. Sur cet intervalle la
fonction cosinus est continue et strictement décroissante, donc la restriction cos j:[0,¼]![¡1,1] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarccosinus: arccos:[¡1,1]![0,¼]xy cosx0¼¼2¡¼¡¼2Å1¡1xy
arccosx01¡1¼ ¼2 On a donc, par définition de la bijection réciproque : cos¡arccos(x)¢AEx8x2[¡1,1]
arccos¡cos(x)¢AEx8x2[0,¼]Autrement dit : Six2[0,¼] cos(x)AEy()xAEarccosyTerminons avec la dérivée de arccos : arccos0(x)AE¡1p1¡x28x2]¡1,1[
6Démonstration
On démarre de l"égalité cos(arccosx)AExque l"on dérive : cos(arccosx)AExAE) ¡arccos0(x)£sin(arccosx)AE1
AE)arccos0(x)AE¡1sin(arccosx)
yAEarccosxon obtientcos2(arccosx)Åsin2(arccosx)AE1 doncx2Åsin2(arccosx)AE1. On en déduit : sin(arccosx)AEÅp1¡x2(avec le signeÅcar arccosx2[0,¼]).2.2.ArcsinusLa restriction
sin j:[¡¼2 ,ż2 ]![¡1,1] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarcsinus: arcsin:[¡1,1]![¡¼2 ,ż2 ]xysinx0¼¼2¡¼¡¼2Å1¡1xy
arcsinx01¡1¼2 ¼2 sin¡arcsin(x)¢AEx8x2[¡1,1]
arcsin¡sin(x)¢AEx8x2[¡¼2 ,ż2 ]Six2[¡¼2 ,ż2 ] sin(x)AEy()xAEarcsinyarcsinLa restriction
tan j:]¡¼2 ,ż2 [!R 7 est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarctangente: arctan:R!]¡¼2 ,ż2 [xytanx¼2¡¼23¼2¼¡¼xy
arctanx0¼2 ¼2 tan¡arctan(x)¢AEx8x2R
arctan¡tan(x)¢AEx8x2]¡¼2 ,ż2 [Six2]¡¼2 ,ż2 [ tan(x)AEy()xAEarctanyarctan0(x)AE11Åx28x2RMini-exercices
1.Calculer les valeurs dearccosetarcsinen 0, 1,12,
p2 2 p3 2 . Idem pourarctanen 0, 1,p3 et 1p3 2. Calculerarccos(cos7¼3). Idem avecarcsin(sin7¼3) etarctan(tan7¼3) (attention aux inter- valles!) 3. Calculer cos(arcta nx), cos(arcsinx), tan(arcsinx). 4. Calculer la dérivée def(x)AEarctan³xp1¡x2´. En déduire quef(x)AEarcsinx, pour tout x2]¡1,1[. 5.Montrer que arccos xÅarcsinxAE¼2
, pour toutx2[¡1,1]. 8 3.F onctionshyperboliques et hyperboliques inverses
3.1.Cosinus hyperbolique et son inverse
Pourx2R, lecosinus hyperboliqueest :
chxAEexÅe¡x2La restrictionchj:[0,Å1[![1,Å1[ est une bijection. Sa bijection réciproque estargch:[1,Å1[!
[0,Å1[.xychxshx1 10 xy argchxargshx1 10 3.2.Sinus hyperbolique et son inverse
Pourx2R, lesinus hyperboliqueest :
shxAEex¡e¡x2 sh :R!Rest une fonction continue, dérivable, strictement croissante vérifiantlimx!¡1shxAE¡1 et lim x!Å1shxAEÅ1, c"est donc une bijection. Sa bijection réciproque est argsh:R!R.Proposition 4 -ch2x¡sh2xAE1. -ch0xAEshx, sh0xAEchx. -argsh:R!Rest strictement croissante et continue. -argsh est dérivable et argsh0xAE1px2Å1.
-argshxAEln¡xÅpx2Å1¢.
9Démonstration
-ch2x¡sh2xAE14 ddx (chx)AEddx exÅe¡x2AEex¡e¡x2
AEshx. Idem pour la dérivée de shx.
-Car c"est la réciproque de sh. -Comme la fonctionx7!sh0xne s"annule pas surRalors la fonctionargshest dérivable surR. On calcule la dérivée par dérivation de l"égalité sh(argshx)AEx: argsh0xAE1ch(argshx)AE1q
sh2(argshx)Å1AE1px
2Å1
-Notonsf(x)AEln¡xÅpx2Å1¢alors
f0(x)AE1Åxpx
2Å1xÅpx
2Å1AE1px
2Å1AEargsh0x
Comme de plusf(0)AEln(1)AE0 etargsh0AE0 (carsh0AE0), on en déduit que pour toutx2R, f(x)AEargshx.3.3.T angentehyperbolique et son inversePar définition latangente hyperboliqueest :
thxAEshxchxLa fonction th:R!]¡1,1[ est une bijection, on note argth:]¡1,1[!Rsa bijection réciproque.xy
thx1