Intégrales et primitives

Table of Integrals

Integrals with Trigonometric Functions Z sinaxdx= 1 a cosax (63) Z sin2 axdx= x 2 sin2ax 4a (64) Z sinn axdx= 1 a cosax 2F 1 1 2; 1 n 2; 3 2;cos2 ax (65) Z sin3 axdx= 3cosax 4a + cos3ax 12a (66) Z cosaxdx=

CALCULS INTEGRALES Exercices avec solutions

Intégrales généralisées - AlloSchool

Dans les trois cas, en cas de convergence, on a Z b a f(t)dt= Z c a f(t)dt+ Z b c f(t)dt Propriété – Relation de Chasles Démonstration •Les deux premiers points sont similaires, on ne traite que le premier Soit x∈I; d’après la relation de Chasles pour les segments, Z x a f(t)dt= Z c a f(t)dt+ Z x c f(t)dt Le terme Z c a

Chapitre 3 - Int´egrales impropres

Dans la preuve on a aussi obtenu les valeurs des int´egrales en cas de convergence : Si α > 1, Z +∞ 1 dt tα = 1 α −1 et si α < 1, Z 1 → 0 dt tα = 1 1−α Il n’est pas indispensable de les retenir car elles se retrouvent tr`es facilement On notera que Z +∞ → 0 dt tα est toujours divergente car les conditions α > 1 et α

Intégrales et primitives

infinitésimal, les mathématiciens étaient en compétition pour trouver une méthode générale pour calculer des aires et des volumes de figures courbes L'idée grecque était d'approcher une figure courbe par des polygones inscrits En essayant d'améliorer peu à peu l'approche, ils employaient un nombre croissant de côtés

Intégrales doubles [Correction]

[http://mp cpgedupuydelome fr]éditéle16octobre2015 Enoncés 1 Intégrales doubles Calculs d’intégrales doubles Exercice 1 [ 01947 ] [Correction] Calculer I= ZZ D

Exemples de cacluls d’intégrales (méthodes exactes, méthodes

donnés Parmi toutes les primitives d’une fonction fdéﬁnie et continue sur I, il en existe une seule qui vériﬁe la condition F(x 0) = y 0 Démonstration Existence : soit Gune primitive de fsur Iet considérons F: x7G(x) G(x 0) + y 0, déﬁnie sur I Alors Fest une primitive de fsur Iet de plus, F(x 0) = y 0

BTS-CPI1, A-Fonctions Exercices Correction A7- Primitives

BTS-CPI1, A-Fonctions Exercices Correction A7- Primitives & Intégrales Généralités sur les Primitives : Exercice 1 : 1 Dans chacun des cas suivants, vérifier que la fonctionF est une primitive sur R de la fonction f

Formulario de integrales - UV

Formulario de integrales c 2001-2005 Salvador Blasco Llopis Este formulario puede ser copiado y distribuido libremente bajo la licencia Creative Commons Atribuci on 2 1 Espa~na S eptima revisi on: Febrero 2005 Sexta revisi on: Julio 2003 Quinta revisi on: Mayo 2002 Cuarta revisi on: Mayo 2001 Tercera revisi on: Marzo 2001 1 Integrales inde

Terminale SIntégrales et

primitives

OLIVIER LECLUSE

Décembre 20131.0

Table des

matières

Objectifs5

Introduction7

I - Intégrale d'une fonction continue positive9 A. Activité de découverte...................................................................................9

B. Activité algorithmique..................................................................................10

C. Notion d'intégrale........................................................................................11

D. Utiliser la calculatrice pour calculer une intégrale............................................14

1. Sur calculatrice TI...........................................................................................................14

2. Sur calculatrice Casio.......................................................................................................15

3 E. Première méthode pour calculer une intégrale dans le cas d'une fonction affine...16

F. Vers la notion de primitive d'une fonction........................................................17

G. ROC : Lien entre intégrale et primitive...........................................................19

H. Seconde méthode pour calculer une intégrale.................................................19II - Notion de primitive21 A. Définition...................................................................................................21

B. Existence de primitives................................................................................21

C. ROC : Toute fonction continue sur [a ;b] admet des primitives..........................22 D. Montrer qu'une fonction est une primitive......................................................22

III - Calcul de primitives25 A. Primitives de f+g et de kf (k réel).................................................................25

B. Primitives de fonctions usuelles.....................................................................26

C. Calcul de primitives.....................................................................................29

D. Exercices corrigés en vidéo..........................................................................30

IV - Propriétés de l'intégrale31 A. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque.....................................31

B. Calculer une intégrale..................................................................................32

C. Relation de Chasles.....................................................................................32

D. Linéarité de l'intégrale.................................................................................34

E. Positivité....................................................................................................38

F. Aire d'un domaine........................................................................................43

V - Valeur moyenne d'une fonction45 A. Activité d'approche......................................................................................45

B. Valeur moyenne..........................................................................................46

C. Exercice d'application..................................................................................49

VI - Tester ses connaissances51

Solution des exercices55

Contenus annexes65

Objectifs

Dans ce chapitre, nous aborderons les notions suivantes Notion d'intégrale d'une fonction continue Notation intégrale Lien entre primitive et dérivées Calcul de primitives Propriétés de l'intégrale Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle 5

Introduction

Le calcul de l'aire d'une surface a été l'un des moteurs dans la mise en place des concepts mathématiques. Beaucoup de grands mathématiciens se sont penchés sur ce problème, depuis Archimède qui calcula l'aire de la surface située sous une parabole, Bonaventura

Cavalieri qui développa sa théorie des indivisibles, Gilles de Roberval qui calcula l'aire sous

une arche de cycloïde, Gottfried Leibniz qui utilisa pour la première fois le symbole , jusqu'à Bernhard Riemann qui établit une théorie aboutie du calcul intégral.

Aujourd'hui, le calcul intégral permet :

de mesurer des grandeurs (longueur d'une courbe, aire, volume, flux...). La

trompette de Toricelli1 fourni un exemple de calcul d'aire et de volume avec cet objet incroyable possédant un volume fini mais une aire infinie ! de calculer des probabilités et des statistiques (c'est l'outil de base que nousquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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