[PDF] Stabilité, limites singulières et conditions de contrôle

LIENS Code de la Propriété Intellectuelle articles L 122 4

1 3 1 Pour les ions libres 1 3 2 Pour les ions dans le métal 1 3 3 Le facteur de forme I 4 Introduction des interactions entre électrons de valence I 4 1 L'écrantage autocohérent I 4 2 Densité de cha rge d'écran I 4 3 Le facteur de forme écranté 10 13 15 15 18 2l 23 23 24 26 vll

Développement de la plateforme Radiograaff dirradiation

compagnons de galère au GANIL, merci pour votre amitié et tous nos nombreux foux-rires (O-Zone, « T’as pas de papiers ? », les œufs durs, le coca, les chips, les zombies, REC, ) Enfin je remercie les personnes qui m’ont supportées en dehors du laboratoire Et quand je dis supporter le mot est faible

Réponse linéaire dynamique et auto-cohérente des atomes dans

(RPA), qui, en allant au-delà de la réponse des électrons indépendants, permet d’évaluer les effets collectifs, par l’introduction de la polarisation dynamique Cette approche s’inscrit dans le formalisme de la théorie de la fonctionnelle de la densité dépendant du temps (TDDFT), appliquéeaucasd

UNIVERSITÉ PARISDIDEROT (Paris 7)

et les analyses de matériaux qui m'ont permis de mettre au poi nt les contacts alliés en phase solide 5 2 2 Les moyens techniques pour implanter des ions 129 La physique

Stabilité, limites singulières et conditions de contrôle

Chapitres 1 à 3 Les problèmes de perturbation singulière décrits dans ce mémoire ont été abordés en relation avec l’étude de la dynamique en temps long des solutions des équations aux dérivées partielles sous-jacentes Dans tous les problèmes considérés, le système de Vlasov-Poisson(2) joue un rôle central, soit en étant

METHODES ELECTROCHIMIQUES POUR L’ANALYSE IN SITU DE COMPOSES

embarqué dans la même Galère et avec qui j’ai partagé de supers moments, j’en garderai de très bons souvenirs Merci à Momo pour les week-ends grimpe et rando, les pauses thé, les soirées

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Mémoireprésentéàl'Univ ersitéParis-Diderot pourl'obtenti ondel'habilitationàdirigerdesrec herches

Spécialité:mathématiques

Stabilité,limitessingulièreset conditionsdecontrôle géométriqueenthéorieci nétique par

DanielHan-Kwan

Soutenupubliquementle15septem bre2017, aprèsa visde Jean-MichelCoronProfesseuràl'Uni versitéPierre etMarieCurie DavidGérard-Var etProfesseuràl'UniversitéParis-Dider ot Pierre-EmmanuelJabinProfesseuràUniversit yofMaryland devantlejurycomposéde

YannBrenierD irecteurderecherchea uCNRS

Jean-MichelCoronProfesseuràl'Uni versitéPierre etMarieCurie DavidGérard-Va retProfesseuràl'UniversitéParis-Dide rot FrançoisGolseProfesseurà l'Écolepolytech nique ClémentMouhotProfesse uràUniversityo fCambridge

LaureSaint-Ray mondProfesseuràl'ENSLyon

STABILITÉ,LIMITESSINGULIÈRESET CONDITIONSDE

CONTRÔLEGÉOMÉTRIQUEENTHÉ ORIECINÉTIQUE

DanielHan-K wan

REMERCIEMENTS

Mespremie rsremerciementsvontàJea n-MichelCoron,DavidGérard-VaretetPierre -Emmanuel Jabinpourl'h onneurqu'ilsm'ont faitd'accepterlatâche,quej 'imaginechronop hage,derap porteurd e cemémoir e.Jesuistrès touchéparl' intérêtq u'ilsontport éàmestravaux .

Jesuis égalementre connaissantàl'égarddeYannB renier,FrançoisGolse,ClémentMouhotetLau re

Saint-Raymond,pourleurparticipationa ujurydesoutenance. Jeres sensunsentimenttoutàfaitpartic ulierd'a voirpuréunirunteljury,car jesaisl'impo rtanc e quechac un,àsamanière,aeudansmon déb utdec arrière;etjen'ainuldoute quele urstravaux,

ainsiquenos discussions futures(que j'espèrenombreuses)continuerontàêtre dessourcesintarissables

d'inspiration.

Ilva desoi queles travauxpr ésentésd anscemémo iredoiventbeaucoupàm esincroyablesco-auteurs,

ThomasAlazard,P ietroBaldi,DavidGérard- Varet,OlivierGlass ,MaximeHauray,Mik aelaIacobelli, MatthieuLéautaud,Ayman Moussa,ToanNguyenetFrédéric Rousset:qu'ilsensoi enticiremerciés, pourtoutce qu'ilsm'onta pprise tpourtouscesmoment sdegalère...ma isaussidejoie,quen ousavo ns partagés!J'aimeraisenparti culierexprimeràThomasmagratitu depour sesencouragementsetconseils lorsdel'anné eprécé dantmonentréeauCNRS. J'aipuprofite rtoutd 'abordauDMAàl'ENS,pu iscesquatre dernièresannéesauCMLS àl'X,d e conditionsdetravailex cepti onnelles,engrandepartiegrâceàl' e cacitésansfaillede Bénédict eAu ray, ZainaElmiretL aurenceVincent (àl'EN S)etdeMarineAmier,Pasca leFuseauetCaroleJuppi n(à

l'X).Jes ouhaite raistémoignermareconnaissan ceauxdirecteursde laboratoirequej 'aicôtoyés,Olivier

Debarre,YvanMarteletChar lesFavre.Jev oudraiségalementr emerci ertouslescollègue sactuelset

passéspourl 'excellenteam biance(àlafoisconvivialeetstim ulante)quiarégnéencesl ieux.Jesa lueen

particulierPhilippeGravejat,Da vidLannesetFabriceOr gogozo,avecquij'aipartagéun bureau.J'ai

aussiunep enséepourcellesetceux quiontété(ousont) dansl'obligationdetrou verd esré ponsesàmes

questions:MikaelaIacobelli, Iv ánMoyano,IsabelleTrist anietAymericBaradat.

Plusgénéra lement,jesouhaiteraisassocieràcesremer ciement stouteslespersonnesdelacommunauté

mathématiquequeje croise occasionnellemen tetavecqui parlerdechosesetd'autresesttoujour sun plaisir. Enfin,jevoudrais remer ciermafamille,enparticul ierCarolineetAlicepourlebon heurq u'elles m'apportent.

TABLEDESMATIÈR ES

Listedetravauxd el'aut eur..................................................................7

1.Lali mitequ asineutredusystèmed eVlasov-Poisson....................................15

2.Corr ectionsàlalimitequasineutre:o ndes longues etcoucheslimites................35

3.Esti mationsentempslongdansleslimitesnon -rel ativisteetdec hampmoyen......47

4.Cond itionsdecontrôlegéométriquepourl eséquati onsdeVlasov....................57

5.Com portemententempslongpourdeséquatio nsd eBoltzmannlinéair es..........69

6.Con trôledel'équationdesWaterW aves2Da vectensiondesurface..................79

LISTEDETRA VAU XDEL'AUTEUR

Lesarticless ontrangésparord reanti-chronologique decomplétionduman uscrit.

Travauxprésentésdanscemémo ire

[141]D. Han-Kw an,T.NguyenetF.Rousset,Long tim eestimatesintheno n-rela tivist icregimeof theVlasov-Max wellsystem,preprint. [102]O .Glass ,D.Han-KwanetA.Mo ussa,Th eVlasov-Navier-Stokessy stemin a2Dpip e:existence andstability ofregularequilibria,soumispourpublicati on. [139]D .Han-K wanetT.Nguyen,Instabiliti esinth eme anfieldlimit,J.Stat .Phys.,162(6):1639-

1653,2016.

[142]D .Han-K wanetF.Rousset,Quasineu tralli mitfor Vlasov-PoissonwithPenros establedata,

Ann.Sci.Écol eNorm.Sup.,49(6):1445-1495,2016.

[138]D. Han-K wanetT.Nguyen,Ill-posednes softh ehy drostaticEulerandsin gularVlasovequations,

Arch.RationalMe ch.Anal.,221(3):1317-1344,2016.

[140]D. Han-K wanetT.Nguyen,Nonlinearin stabi lit yofVlasov-Maxwellsys temsintheclassical andquasineutral limits,SIAMJ.Math.Anal .,48(5):3444-3466,2016. [133]D .Han-K wanetM.Iacobelli,Quasine utrall imitfo rVlasov-PoissonviaWasserst einstability [4]T.A laz ard,P.BaldietD.Han-Kwan ,Contr olofwaterwaves, J.Eur. Math.Soc.,àparaitre. [132]D .Han-K wanetM.Iacobelli,Thequasi neutra llimit oftheVlasov-Poissonequatio ninWa sser- [135]D .Han-K wanetM.Léautaud,Geometr icanal ysisof thelinearBoltzmannequation I.Trendto ionsinadoma inwithb oun dariesII,J.Éc.p olytech.Mat h.,1:343-386,2014.

Math.Pures Appl.,103(3):695-740,2015.

[129]D. Han-K wanFromVlasov-PoissontoK orteweg-deV riesandZakharov-Kuznetsov,Comm.

Math.Phys.,324(3):961-993,2013.

ionsinadomai nwithbo un daries,IndianaUniv.Math.J. ,62(2):359-402,2013.

Autrestravauxno nprésentésdanscemémoire

•D.Zhel yazov,D.Han-KwanetJ.D.M.Ra demach er,GlobalStabilityandLo calBif urcationsina Two-fluidModelforTokam akPlasma,SIAMJ.Appl.Dy n.Syst .,14(2):730-763,2015. •O.Glass etD.Han-K wan,Onth econ trollabilityoftheVlasov-Poissonsystemin the presenc eof •D.Han- Kwan,E"ectofthepolariz atio ndriftin astronglymagnetizedplasma,ESAIMMath.Model.

Numer.Anal.,46(4):929-947,2012.*

•D.Han- Kwan,Onthethree-dimensionalfi niteLarmor radiusapp roximation:thecaseofelectrons inafi xed backgroundofions,Ann.Inst.H.P oincaréAnal.NonLin éaire,30(6):1127-1157,2013.* •D.Han- Kwan,Quasineutrallimitofth eVlasov-Poissonsystemwithmasslessel ectrons,Comm.

PartialDi

erentialEquations,36(8):1385-1425,2011.* •D.Han- Kwan,L 1 averaginglemmafortransport equationswithLip schitzfo rcefields,Kinet.Relat.

Models,3(4):669-683,2010.*

•D.Han- Kwan,Ontheconfinementofa tokamakp lasma,SIAMJ.Math.Anal .,42(6):2337-2367,

2010.*

•D.Han -Kwan,Thethree-dimensionalfi niteLa rmorradiusapproximation,Asymptot.Anal.,66(1):9-

33,2010.*

*:Travauxissusdelathèse. 8

INTRODUCTION

Lestravau xprésentésdanscet mémoireconstituentunesynthèsedeme srecherche sdepuismasou te-

nancedethèseen juil let2011 . Cesrech erchessontorganiséesautourdes deuxthèmess uivants.

•Lapre mièrepartiedutexte(Chapi tres1à3)estconsacr éeàl' étudedemécanism esdestabilitéou

d'instabilitédansdesproblèmesdelimitessingulièr espour deséqua tionsdetypeVla sov.

•Ladeux ièmepartiedutexte(Chapit res4à6)traitedepr oblème sreliésàlathéo rieducontrôle.

J'yé tudieenparticulierde sphénomè nesdeconvergenceà l'équilibreainsique dequestionsde

contrôlabilité,pourdeséquationscinétiques,quimetten tenjeudescondit ionsde contrôlegéo-

métrique.LeChapitre6,occupe unepla ceunpeuàpartdanscemé moire, étantconsacréàdes

équationsdi

érentes,dumoinsenappar ence

(1) .Ilc onc ernelacontrôlabilitédus ystème deswater wavesavectens iondes urfaceendeuxdimensio nsd'es pace.

Lesproblè mesquej'aiétudiésontpou rpointco mmund econcernerdeséquations auxdérivé espartielles

(nonlinéair es,àl'exceptiondecellesétudié esd ansleChapitre5),issuesdelaphysiqu edesp lasmas

oud elamécaniqued esflu ides,etplusparticulièremen tdelath éoriecinétique.J'aifaitensortede

présenterdanscemémoiremes résultats queje considèrecommelesplussi gnifica tifs,etlaprésentation

enestv olont airementsynthétiqueetpeutechnique-parfoisaudét rimentd'énoncéstoutàfaitcomplets

etrigo ureux,pourlesquelsjerenvoiele lecteurauxd i érentsarticlescité sdansletexte.Ilm'asemblé

artificieldefaire systématiquementapparaitre dans chaquechapitre unesectionàpartprésen tantdes

perspectives,aussiai-jeparfoispri vilégiéd'émaill erletextedeque stionsetprolongements possiblesqui

m'apparaissentnaturels. Jemep ropose danslasuitedecette introductionde déc riredemanièretrèss uccincte lecontenude cemémoir e.

Chapitres1à3.Lesproblème sdeperturbationsingulièredé critsdans cemémoireontétéabordésen

relationavec l'étudedeladynamiqu eentempslongdessolu tionsdesé quations auxdérivéespartielles

sous-jacentes. Danstousles problèmesc onsidérés ,lesystèmedeVlasov-Pois son (2) joueunrô lecen tral,soitenétan t

lesys tèmeperturbé,soite nétantlalimiteformelleattendue.Onrapp ellequec esystèmec onstitueun

1.Ilset rouveq uec ertaineséquation sdeVlasov singulièresapparaissantnature llementdansleChapitre1etpou vant

êtredérivée srigoureusementàpartirde séquationsdeVlasov-Poisson,sontenfai t,p ourcertainescla ssesdedonné es,

équivalentesausystè medeBenney.Cesyst èmepeu tlui-mêmeêtredérivé,au moins formellement,àpa rtirdusystème

deswater waves(avecvorti cité),danslerég imehydrostatique .Enquelquesorte,touslesmodèlesétud iésdanscemém oire

sontdoncli és!

2.Ils'a gitdel aversionCoulombi ennepo urlesp lasmas(c'est-à-d ireavecpotentielrépulsif);lesystèmedeVla sov-

Poissongravitation nelneserapasconsidérédanscemémoire. couplageentre l'équationdeVlasov t f+v·! x f+E·! v f=0,E="! x V etuneéq uation dePoisson,qui,selonlecon text e,serasoit, x V= R d f(·,v)dv"1 sil' équationdeVlasovdécritladynamiq ued'une populationd'électrons,soit x V= R d f(·,v)dv"(1+ V), sil' équationdeVlasovdécritladynamique d'unep opulationd'ions.

Danscesé quations,f(t,x,v)désignelafoncti ondedistr ibutiondeschargesélectri ques àl'instantt

dansl'espace desphases,lechampdevecteur sE(t,x)(resp.V(t,x))désignelechampélectrique(resp.

lepote ntielélectrique).Danscemé moireonparleradesystèmedeVlasov-Poissonpour le sélectronsafin

dedésig nerlecouplagea veclapremi èreéquationdePoisson ;ils'agitdu systèmelepl usclassiquement

étudiédanslalit térat ure.Lecouplage aveclasecondeéquationdePoissonporteralenomd esystème

deVl asov-Poissonpourlesions.OnferaparfoisréférenceausystèmedeVlasov-Poissonsansprécision

supplémentaire,soitparcequelesystème considéréseracl airselonle contexte, soitpourdési gnerleplus

classiquesystèmepourles électrons. Onrem arquequelesfonctions dedistribu tiondela formeµ(v)(depaira vecunc hampélectrique

nul)const ituentunefamilledesolutionssta tionnaire sausystèmedeVlasov-Po isson. Onparleengénéral

d'équilibreshomogènes (3) .Ile xis tedescritèresclas siquesdes tabilitélinéairepources équilibres.Ilsont étémisen évidenceen1960parO. Penrose dansunarticlepionnier[ 203]etsontaujourd'huiconnus commeles critèresdestabilitédePenros e.Endimensionuned'espace,undesavatarsdescritèresde

Penroses'énoncedela manièresuivante:

#v$R,µ (v)=0=% R (w) v"w dw< 0.(")

Sicett econditionest vérifiée,Penrosedémontrequel'éq uili breestlinéairementst able.Enparticulier,

cetteconditionestaut omatiquementsatisfaitepour unéqui libreayantlaformed'unebosse,c' est-à-dire

étantcroissan tpuisdécroissantsurR(etsansau trechangemen tdemonotonie). Ilsetrouvequeles sontégalemen tnonlinéairementinstables ausensde Lyapunov,dansdesespacescorrespondant,grosso

modoàl'espaced'énergie(voirparexemple[179,31,62 ]).L'hyp othèsedesymétrie,clairementin utile

enceq uiconcerne lastabil itélinéai re,apparaitcomme crucialedanslapreuvedesréférencesquenous

venonsdeciter.E ne et,qu'ils soientbaséssurune approchevariationn elle(parexempl e[62])ous ur

unemétho dederéarrangemen tsymét rique(voir[179]),lep ointc lédanstousces résultatsn on-linéaires

résidedanslefaitque l'équilibreconsidé répe utêtrevu commelem inimiseurd'uncertain problème

variationnel.

Acon trario,lorsquelacondition(")n'estpasv érifiée,Penro semontrequel'équi libreestlinéairemen t

instable,enmettantenévide ncel'existe nced'unev aleurpropre instable.Lesprofilstypiquement instables

sontceuxprésen tant deuxgrandesbosses(ouplus).GuoetStrausson tensuit emontrédans [122]que

cetteinstabilit éspectraleentrainaituneinstabilité non-linéaire.Aucunehypothèsesupplémen tairetelle

quelasymétrie n'es trequise.

Lescritère sdestabilitédePenros esontréc emmentreven ussurle devantdelascèneav ecletourde

forcedeMouhotet Vil lani[189]su rleproblè medel' amortissementLandau.Ilso ntnot ammentmisen

3.Ilex istepar ailleursdeséqui libresplus générauxdelaformeµ(x,v)=!

|v| 2 2 +"(x) ,où"doitvérifierl' équation dePoisso navec

µ(x,v)dvensource .Leurstabilitéo uinstabilité faitl'objetdeplusieurstrav auxréce nts(voirnotamment

[121,123,173 ,174,118 ]),maisn' estpasaussibie ncomprisequepo urleséqui libreshom ogènes.Ceséqu ilibressont

traditionnellementappelésondesBGK (pourBernstein,Gre eneetKruskal).Jen'endiraip aspluscarleson desBGK ne

jouerontpasderôledansl eslimites singuli èresétudi éesdanscemém oire. 10

évidenceuneversi ongénéraleetunifiéedescri tèresdePenrose,valable ento utedimension,s'écrivan t,

dansleca sdel'équa tiondeV laso v-Poissonpourlesélectrons,souslaforme : inf (!,",#)"R #R#R d 1" 0 e %(!+i")s i 2 R d e %is#·v v

µ)(v)dvds

pouruncert ain$>0.Onpeutenparticuliervérifierqueleséquilibresvérifiant(")(etdoncc euxà

unebo sse)vérifientcett econdition.Lesrésultats de[189](voiraussilestravauxultérieurs[35]et[34])

montrentenparticulierqueleséquilibresv érifiant ("")(etsansh ypothèsedesymé trie)sontstablesau

sensdeL yapunov ,dansdesespacesdeforterégularité, dety peG evrey .

LesChapitr es1,2et3sontconsacrésàp lusieu rsp roblè mes deperturbati onsingulièredanslesquels

lesy stèmedeVlasov-Poissonjoueu nrôlecentral, soitenétantl'équationperturbée,soite nétantla

cibleformelleatt endue.Unsoinparticulier seraapportéàl'étude desconséquencesdephénomènesde

stabilitéoud'instabilitéàla Penrose surlavaliditédeslimitesformelles. •LeChapi tre1portesurlalimitequasineutredusyst èmedeVlasov-Po isson ;ils'agitd'unproblème fondamentaldelaphysiquedes plasma s,quiconsist eàcomprendrelecomportementdessol utio nslorsque lalongu eurtypiqued'observationes tgrandedevantlalongueurdeDebye,quiestlalongueurcaracté-

ristiquedesinteractions électrost atiques.Concrètementl'étudedecerégim erevientàconsidérerune

équationdePoissonpénal iséede laforme"%

2 x

provocatrice,celarevientenquelquesorteà chercherà résoudreVlasov-Poisson sansut iliserl'équation

dePo isson.Leslimitesformellessont deséquatio nsdeVlasovquiconstituen tdesversionscinétiquesde systèmesclassiquesdel amécaniquedesfluides-Eulerincompr essi bleouSaint -Venant-auseindes- quellesunemesuredeDir acrempla celenoyaudeGreendu Lapla cien.Contraireme ntàleurspendants

hydrodynamiques,cesontdeséquationssingulières ,engén éralmalpo séesause nsdeHadamard,mêmesi

l'ons'autor iseunnombrearbitrairementgran ddeper tesdedérivées.Ceso ntlesmécanismesdestabilité

etd'i nstabilitéàlaPenrosequipermettentdedétermi nerq uandleslim itesformellementat tenduessont

oune sontpasvalab les. •LeChapi tre2apportedesprolon gem entsauchapitreprécéd ent. Unepremiè repartie,laSection2.1,traited 'unrégimed'ondeslongues pourlesytè medeVl asov- Poissonpourlesions.Ce régimepeutê trevucomm el'approximati onà l'ordresuivantparr apport

aurégi mequasineutre.Celac onduitàunedérivationd'équationsaux dérivéesp artiellesdispersives

tellesqueKorteweg- deVries( endimensionune)etdeséquationsdeZa kharov-Kuznets ov(endime nsion supérieure).

LaSect ion2.2o

reunéc lairag esurl'influencedese etsdebord dansl alimitequasi neutre.Cette

questionestexaminée danslecadredu systèmed'Euler-Poiss on(pourlesions ).Onc onstatelaprésen ce

deco ucheslimites,donton étudielastabilitéafindej ustifierl'appro ximationparunsystèmedetype

Eulerisother me.

•DansleChapitr e3,j'a bordedeuxproblèmesde limite ssingulièresconduisanta usystèmedeV lasov-

Poisson.L'étudeestmen éesurdeséchellesdetempslongues,c'est-à-diretendantversl'infinilorsqueun

petitparamètr ephysiquetendvers0. LaS ection3.1concernelad yna miqueentempslongdessol utionsausystèmedeVlasov-Maxwell t f+ˆv·! x f+ E+ 1 c

ˆv(B

v f=0, 1 c t B+! x (E=0,! x

·E=

fdv"1, 1 c t E+! x (B= 1 c fvdv,! x

·B=0,

11 lorsquelavitessed elalu mièrectendversl'i nfini.Ceproblè meestconnusouslenomdelimiteclassique

oude limitenon-relativist e.LalimiteformelleattendueestprécisémentlesystèmedeVlasov-Poisson.

Danscecon texte,lete mpslongfaitréférenceàun temps tendantégalemen tversl'infi nilorsque lavitesse

dela lumièretend versl'infini.Onseco ncentresur lecasdesoluti onsinitialementprochesd' unéquili bre

homogèneµ(v).Ils era démontréques iµestinst ableausensdePenrosepour Vlaso v-Poi sson,al orsdes

instabilitéspeuventse développerenuntempsenlogc;aucontrairesiµeststabl e,alorslasoluti on resteproched eµsurunt empspol ynomialenc. LaSe ction3.2estconsacré eàl'é tudedequestion sanaloguesdanslecadredelalimitedechamp moyenpourlessys tèmesdepa rticuleseninteraction.O nymont rel'apparitiond'instabilitéss urdes

échellesdetempsenlogN,oùNdésignelenombredepart icule s.Celles-cisonthéri téesd usystèmede

Vlasovsous-j acent.

Cesprob lèmesquenousvenonsdebriève mentdécri repeuventpa raitreassezdistin cts,ma isilappa- raitraque plusieurs méthodescommunespeu ventêtremisesenoeuvrepourles étudier.

Lediagramme suivantré sumelesdi

quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11