Chapitre 19 : Intervalle de confiance : pour estimer une
On a vu ci-dessus qu’en tirant 100 boules de l’urne, l’intervalle de confiance obtenu est d’d’amplitude 0,2 (=0,69−0,49) ; on peut trouver cet intervalle trop grand En procédant à un tirage de 400 boules, si ???? ???????? est la fréquence observée de sortie du rouge, on obtient un intervalle de confiance au niveau 95 égal à :
Estimation d’un intervalle de confiance 1
Intervalle de confiance de la variance d'une population gaussienne de moyenne inconnue Intervalle à 3 sigma à 60 de confiance : σ 3σ Variance • Cas c : intervalle de confiance approximatif L'intervalle de confiance est dit approximatif s’il se base sur l’approximation d’une loi par une autre
6 Estimation et intervalle de confiance - Fabrice Monna
grand qu’un intervalle de confiance 90 , puisqu’on accepte de prendre 5 de risque en plus de ne pas contenir la vraie valeur Enfin, pour la loi normale, on remarque également que l’amplitude est proportionnelle à l’écart-type
MODULE 2 : Estimation par intervalle de confiance
• [c1,c 2] ou [g1(θˆ), g2(θˆ)] est appelé intervalle de confiance, • c1,c 2 sont les limites de confiance, • 1− α: degré de confiance ou degré de certitude Le principe de l’estimation par intervalle de confiance est de proposer un encadrement d’un paramètre inconnu d’une population dont la loi, elle, est connue
Estimation et intervalle de confiance
1 La loi de X est la loi binomiale n=30, p=0:2 2 Un intervalle de confiance au seuil 95 , permettant d’estimer le nombre de clients à prévoir : c’est pour la fréquence : 0 657; 0 943 Soit entre 20 et 28 personnes C’est une large fouchette due à n petit Correction del’exercice4 N 1 On obtient, sur l’échantillon, la moyenne m
Statistique : étude de cas Intervalles de confiance
n un estimateur de dont nous connaissons la loi de probabilit e pour chaque valeur de D e nition Etant donn e une valeur 0 du param etre , nous d eterminons un intervalle de probabilit e bilat eral de niveau (1 ) pour l’estimateur b n, c’est- a-dire deux bornes n 1 et n 2 telles que P n 1 < b n < n2j = 0 > 1 :
Estimations et intervalles de confiance Exemple
une valeur, il est nécessaire de déterminer un intervalle contenant, avec une certaine probabilité fixée au préalable, la vraie valeur du paramètre : c’est l’es-timation par intervalle de confiance 3 1 Définition d’un intervalle de confiance Soit (X 1;:::;X n) un n-échantillon aléatoire et un paramètre inconnu de la loi des
Quelques rappels sur les intervalles de confiance
12 = et 0 , l’intervalle de confiance est alors de la forme : IC a, - quand on ne veut absolument pas dépasser un seuil maximal, on prend 12= e t 0 et on obtient alors un intervalle de confiance de la forme : IC b, 3) Construction Pour construire un intervalle de confiance, on utilise une variable aléatoire dont on connaît la distribution
Estimation par intervalle pour Chapitre 4 une variable
intervalle de fluctuation ≠ intervalle de confiance (ou de Variation) Fixe, dépends des paramètres théoriques Pour construire l’intervalle de confiance, le statisticien va utiliser le calcul des probabilités: • Suppose que la loi de la population et sa moyenne sont connues;
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L1 SVTE Analyse de données
6. Estimation et intervalle de confiance
Objectifs :
- Aborder le principe de l'estimation, ponctuelle et par intervalle - Savoir calculer et interpréter les limites d'un intervalle de confiance autour de la moyenneDans de nombreuses situations, on souhaite connaître la valeur d'une grandeur permettant de
caractériser une population statistique pour une variable donnée. Si par exemple la variable étudiée
est la taille, on peut chercher à caractériser la population des étudiants de l'Université de Bourgogne
par la taille moyenne ("ordre de grandeur" de la taille) et par la variance de cette taille (mesure de la
variabilité de la taille). La taille moyenne et la variance de la population sont des paramètres. Ce sont
les valeurs qui nous intéressent. Mais la plupart du temps, nous ne les connaissons pas. Nous
approchons ces valeurs par la moyenne et la variance de la taille calculées à partir d'un échantillon.
Ces valeurs calculées à partir des données de l'échantillon sont appelées des estimations.
On distingue 2 types d'estimations : les estimations ponctuelles et les estimations par intervalle.A) Estimation ponctuelle
On prélève un échantillon de n individus, et on mesure le caractère X sur chacun de ces individus. La
moyenne calculée à partir des données d'un échantillon ( X ) est une estimation ponctuelle de la moyenne de la population (µ).Un autre échantillon aurait sans doute donné une autre estimation (valeur estimée) pour µ.
La variance calculée à partir des données d'un échantillon (s2X) est une estimation ponctuelle de la
variance de la population (2).Ainsi, 10 échantillons tirés de la même population peuvent fournir 10 estimations ponctuelles (par
exemple de la moyenne de la population), pas nécessairement toutes de mêmes valeurs. (Cf distribution d'échantillonnage de la moyenne)Problème : obtention d'une estimation ponctuelle avec n'importe quel échantillon. Quel niveau de
confiance peut-on avoir dans cette valeur?Une solution : Plu
et contrôlée.Comparaison de 2 distributions échantillonnage de la moyenne (faible et forte dispersion) : importance
de la variabilité dans la population (2)et de la taille de l'échantillon (n). (Illustration graphique au
tableau) B ) Estimation par intervalleUne estimation par intervalle est un intervalle défini par 2 bornes dans lequel on a une certaine
probabilité de trouver la valeur du paramètre estimé. On parle d'intervalle de confiance.Nous ne traiterons ici que de l'intervalle de confiance de la moyenne et de l'intervalle de confiance
d'une proportion.B.1) Intervalle de confiance pour une moyenne.
On distingue généralement deux situations : celle où la taille ) pour pouvoir appliquer des théorèmes " limites » (tel que le théorème de la limite centrale).Cas de grands échantillons (
La distribution d'échantillonnage de la moyenne suit approximativement une distribution normale de
moyenne µ et d'écart-ı(Ceci est vrai si n 30 individus). On peut donc transformer cette variable X en une variable centrée réduite (qui suit approximativement une distribution normale de moyenne 0 et d'écart-type 1). -ıOn arrive ainsi à la formule de l'intervalle de confiance de la moyenne : (illustration graphique au
tableau)