Chapitre 19 : Intervalle de confiance : pour estimer une
On a vu ci-dessus qu’en tirant 100 boules de l’urne, l’intervalle de confiance obtenu est d’d’amplitude 0,2 (=0,69−0,49) ; on peut trouver cet intervalle trop grand En procédant à un tirage de 400 boules, si ???? ???????? est la fréquence observée de sortie du rouge, on obtient un intervalle de confiance au niveau 95 égal à :
Estimation d’un intervalle de confiance 1
Intervalle de confiance de la variance d'une population gaussienne de moyenne inconnue Intervalle à 3 sigma à 60 de confiance : σ 3σ Variance • Cas c : intervalle de confiance approximatif L'intervalle de confiance est dit approximatif s’il se base sur l’approximation d’une loi par une autre
6 Estimation et intervalle de confiance - Fabrice Monna
grand qu’un intervalle de confiance 90 , puisqu’on accepte de prendre 5 de risque en plus de ne pas contenir la vraie valeur Enfin, pour la loi normale, on remarque également que l’amplitude est proportionnelle à l’écart-type
MODULE 2 : Estimation par intervalle de confiance
• [c1,c 2] ou [g1(θˆ), g2(θˆ)] est appelé intervalle de confiance, • c1,c 2 sont les limites de confiance, • 1− α: degré de confiance ou degré de certitude Le principe de l’estimation par intervalle de confiance est de proposer un encadrement d’un paramètre inconnu d’une population dont la loi, elle, est connue
Estimation et intervalle de confiance
1 La loi de X est la loi binomiale n=30, p=0:2 2 Un intervalle de confiance au seuil 95 , permettant d’estimer le nombre de clients à prévoir : c’est pour la fréquence : 0 657; 0 943 Soit entre 20 et 28 personnes C’est une large fouchette due à n petit Correction del’exercice4 N 1 On obtient, sur l’échantillon, la moyenne m
Statistique : étude de cas Intervalles de confiance
n un estimateur de dont nous connaissons la loi de probabilit e pour chaque valeur de D e nition Etant donn e une valeur 0 du param etre , nous d eterminons un intervalle de probabilit e bilat eral de niveau (1 ) pour l’estimateur b n, c’est- a-dire deux bornes n 1 et n 2 telles que P n 1 < b n < n2j = 0 > 1 :
Estimations et intervalles de confiance Exemple
une valeur, il est nécessaire de déterminer un intervalle contenant, avec une certaine probabilité fixée au préalable, la vraie valeur du paramètre : c’est l’es-timation par intervalle de confiance 3 1 Définition d’un intervalle de confiance Soit (X 1;:::;X n) un n-échantillon aléatoire et un paramètre inconnu de la loi des
Quelques rappels sur les intervalles de confiance
12 = et 0 , l’intervalle de confiance est alors de la forme : IC a, - quand on ne veut absolument pas dépasser un seuil maximal, on prend 12= e t 0 et on obtient alors un intervalle de confiance de la forme : IC b, 3) Construction Pour construire un intervalle de confiance, on utilise une variable aléatoire dont on connaît la distribution
Estimation par intervalle pour Chapitre 4 une variable
intervalle de fluctuation ≠ intervalle de confiance (ou de Variation) Fixe, dépends des paramètres théoriques Pour construire l’intervalle de confiance, le statisticien va utiliser le calcul des probabilités: • Suppose que la loi de la population et sa moyenne sont connues;
[PDF] intervalle de confiance de l'écart type
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Statistique B8 - Quelques rappels sur les intervalles de confiance (S.Rousseau) 1
Quelques rappels sur les intervalles de confiance
I/ Généralités
Soient X une variable aléatoire de loi paramétrée par Ž et X ,...,Xn1 n variables i.i.d selon la loi de X.1) Principe d'un intervalle de confiance
Plutôt que d'estimer ponctuellement la vraie valeur inconnue du paramètre Ž, on recherche un intervalle
recouvrant "très vraisemblablement » cette vraie valeur.Définition
: On appelle intervalle de confiance de niveau de confiance 1J~ du paramètre Ž tout intervalleIC tel que : EFPICDZJŽ~1 pour
xz ~ë01, fixé.Remarques :
¼=Les bornes de l'intervalle de confiance IC dépendent de l'échantillon, elles sont donc aléatoires.
¼=Par abus de langage, on note souvent
EFPICŽ~ëZJ1.
¼=Si
~augmente, l'amplitude de l'intervalle de confiance diminue.2) Vocabulaire
La probabilité~ pour que l'intervalle de confiance ne contienne pas la vraie valeur peut être répartie
différemment de part et d'autre des bornes de l'intervalle de confiance. Ecrivons donc =~ = ~ 1 +~2 où ~ 1 et ~ 2mesurent respectivement les risques à gauche et à droite de dépasser un seuil plancher ou plafond.
¼=L'intervalle de confiance est dit bilatéral quand¼=En particulier, si
122=Z, l'intervalle est symétrique. Il est dissymétrique sinon.
¼=L'intervalle de confiance est dit unilatéral si ~~120Z : - quand on veut assurer une valeur minimale au paramètre à estimer, on considère ~~~120= et Z, l'intervalle de confiance est alors de la forme : xxIC aZHÂ,.
- quand on ne veut absolument pas dépasser un seuil maximal, on prend ~~~120= et Z et on obtient alors un intervalle de confiance de la forme : zzIC bZJÂ,.
3) Construction
Pour construire un intervalle de confiance, on utilise une variable aléatoire dont on connaît la distribution
de probabilité.Définition : une fonction pivotale pour le paramètre Ž est une fonction des observations ),...,(1nXXet du
paramètre Ž dont la loi ne dépend pas du paramètre Ž.On recherche dans la suite des fonctions pivotales particulières adaptées aux cas étudiés.
Statistique B8 - Quelques rappels sur les intervalles de confiance (S.Rousseau) 2II/ Intervalles de confiance pour l'espérance
On peut envisager deux cas :
¼=la variable aléatoire mesurée est normale et le nombre de réalisations est quelconque,¼=la variable aléatoire mesurée n'est pas normale et le nombre de réalisations est important. Dans
ce cas, la distribution de la moyenne empirique tend vers une loi normale d'après le théorème central
limite. On parlera d'intervalle de confiance asymptotique.Dans la suite, on considère
X ~ N(m, ) X ,...,Xn
21et n variables i.i.d selon la loi de X. On définit respectivement la moyenne empirique et la variance empirique modifiée par : XnX ni in Z Z 1 1
EFSnXXnin
in ' 2ZJJ Z 1 1 2 11) Cas où la variance est connue
Après centrage et réduction de la moyenne empirique, on obtient : nXm nJ ' EFN01,On a :
Pu nXmu
nJÀJÀă
ĕĔZJ~1 où u est le fractile d'ordre 12J de la loi EFN01,.Ce qui revient à :
PX unmX un
nnJÀÀHă
ĕĔZJ~1.
Quand la variance est connue, l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l'espérance d'une loi
normale s'écrit donc au niveau1J~ sous la forme suivante :
x n est la réalisation de Xn sur l'échantillon.2) Cas où la variance est inconnue
On a : nXm
SSt n n nJ'J1 (loi de Student à n-1 degrés de libertés).
d'oùPt nXm
St n nJÀJÀă
ĕĔZJ
1~ où t est le fractile d'ordre 12J
de la loi St n()J1 et donc PX tS nmX tS nnnnnJÀÀHăĕĔZJ
1~.Quand la variance est inconnue, l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l'espérance d'une loi
normale s'écrit donc au niveau1J~ sous la forme suivante :
x n et sn'sont les réalisations respectives de Xn et Sn' sur l'échantillon. IC ( m) = xunxunnnJHĆIC (m) = xts
nxts nnn nnJHĆ Statistique B8 - Quelques rappels sur les intervalles de confiance (S.Rousseau) 33) Cas particulier : intervalle de confiance pour une proportion
Soient X ,...,Xn1 i.i.d. selon EFpB et EFpnBXX
n i i 1 ZZ. Notons FX
nnZ estimateur sans biais de p.¼=Dans le cas de grands échantillons :
En approchant une loi binomiale vers une loi normale (valable si npÐ5 et n(1-p)Ð 5) , on a : EFnFp ppN nJJÛËÛ
ËÂ(),101
loi nOn en déduit :
~JZĔĔÀJJÀJ1)1(upppFnuP
n où u est le fractile d'ordre 12J de la loi EFN01,. Et donc l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour une proportion p au niveau1J~ s'obtient en
résolvant l'inéquation : upppFn nÀJJ
)1(Ce qui donne en notant
f n la réalisation de Fn sur l'échantillon: EF HJHHH HJHJH Z nuffnu nu nuf n uffnu nu nuf IC(p) nnnnnn²11
4² 2²²11
4² 2² Pour une taille d'échantillon très importante, on considère l'approximation suivante : Cette approximation est parfaitement justifiée sur le plan théorique. En effet, d'après le théorème de Slutsky, on a :EFEFF ppnnp11JÛËÛJ.
On en déduit donc que :
EFnFp FFN n nnJJÛËÛ
ËÂ(),101
loi nD'où :
Pu nFp
FFu n nnJÀJ
JÀă
ĕĔĔZJ
()11 ~ où u est le fractile d'ordre 1 2 J de la loi EFN01,.Quand n est grand, l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour une proportion s'écrit donc au
niveau1J~ sous la forme indiquée.
¼=Sinon, construction d'intervalles de confiance " exacts » :On construit ces intervalles en considérant la fonction de répartition de la loi binomiale. Si la
probabilité de recouvrement de l'intervalle ne vaut pas exactement1J~ , on prend l'intervalle ayant la
plus petite probabilité de recouvrement parmi ceux ayant une probabilité de recouvrement supérieure à
1J~. IC
(p) = EF fuff nfuff nnnn nnnJJHJĆĘėėė11
Statistique B8 - Quelques rappels sur les intervalles de confiance (S.Rousseau) 4 III/ Intervalles de confiance pour la variance d'une loi normaleOn envisage ici le cadre où
X ~ N(m, ) X ,...,Xn
21et n variables i.i.d selon la loi de X.
1) Cas où l'espérance est connue
Soit EFSnXmni
in * 2 ZJ Z 1 2 1 . On a nS n * 2 2 ' EF€ 2 nD'où
PnS n ~~12 222 2 122
1ÀÀă
ĕĔĔZJ
J* où € ~1 2 est le fractile d'ordre ~ 1 de la loi EF€ 2 n, et ~122J est le fractile d'ordre 12J~de la loi EF€ 2 n.Quand l'espérance est connue, l'intervalle de confiance bilatéral pour la variance d'une loi normale s'écrit
donc au niveau1J~ sous la forme suivante :
sn est la réalisation de Sn sur l'échantillon.Remarque
: cet intervalle n'est pas centré car la loi du khi-deux n'est pas symétrique.2) Cas où l'espérance est inconnue
On considère la variance empirique modifiée EFSnXXnin in ' 2 ZJJ Z 1 1 2 1 comme fonction pivotale pour ².On sait que
nSnnJ'J11 2 2 'On a donc
EF PnS n ~~12 222 2 122
11ÀJ Àă
ĕĔĔĔZJ
J' où € ~1 2 est le fractile d'ordre ~ 1 de la loi E€ 2 1nJ, et ~122J le fractile d'ordre 12J~de la loi E€ 2 1nJ.Quand l'espérance est inconnue, l'intervalle de confiance bilatéral pour la variance d'une loi normale
s'écrit donc au niveau1J~ sous la forme suivante :
sn est la réalisation de Sn sur l'échantillon. IC ( 2 ) = nsns nn** 2 1 2222 2 21
~~J
IC (
2 EF nsnsJJĆ J 11 2 1 2222 2 21
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