[PDF] 2 Les lapins

Les lapins de Fibonacci

JPS Les lapins de Fibonacci Toutd’abord,ilyatousleslapins delagénérationprécédente(celledu(n 1)-èmemois)quiontvieilli JPS Les lapins de Fibonacci

2 Les lapins

Page 1 sur 2 2 Les lapins ** L’énigme suivante est très connue Elle a contribué à la célébrité de son auteur, l’un des plus célèbres mathématiciens de l’histoire : Leonardo Fibonacci qui vécut approximativement entre

TP sur Numbers : Les lapins de FIBONACCI Objectif : Problème

TP sur Numbers : Les lapins de FIBONACCI Objectif : Résoudre, à l’aide d’un tableur, un problème qui date du moyen-âge Problème : Leonardo Fibonacci (1175-1250) est un mathématicien italien né à Pise Fibonacci décrit un problème exprimant la reproduction des lapins et menant à la suite dite de Fibonacci:

Correction : suite de Fibonacci

2 Suite de Fibonacci (1175-1240) On a : un+2 =un+1 +un avec u0 =1 u1 =1 On obtient : u2 =2, u3 =3, u4 =5, u5 =8 et u6 =13 On constate que les premiers termes correspondent aux résultats trouvés avec un arbre Pour établir cette relation de récurrence : • A l’étape n: un couples de lapins • A l’étape n+1 : un+1 couples de lapins

Suite de Fibonacci - lyceedadultesfr

Suite de Fibonacci 1 Historique Dansunouvrageintitulé«Liber Abaci»écriten1202,Fibonacci,ditaussiLéonard de Pise, pose le problème suivant : « Combien de descendants un couple de lapins aura t-il en une année, la nature des lapins étant telle qu’une paire de lapins donne naissance à une autre paire de lapins chaque mois,

A

« Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de l'année si, commençant avec un couple, chacun des couples produisait chaque mois un nouveau couple lequel deviendrait productif au second mois de son existence ? » Les réponses constituent les nombres de la suite de Fibonacci: 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 -

I) Comment évolue la population de lapins

- incrémenter la case pour avoir la suite de Fibonacci Réponse au problème posé Donner le nombre de lapins au bout de 12 mois : Donner le nombre de lapins au bout de 24 mois La suite de Fibonacci a fasciné les mathématiciens et inspiré les cinéastes (Le nombre 23 , Crimes à Oxford , Da Vinci Code)

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2. Les lapins **

: Leonardo Fibonacci qui vécut approximativement entre

1175 et 1240.

Un homme a placé en janvier, dès leur naissance, un couple (ici un couple représente toujours un

lapins engendre toujours (ce sont des conditions exceptionnelles) un autre couple de lapins chaque

mois, mais seulement à partir du 2ème mois suivant leur naissance. Ainsi, un couple de lapins nés

en janvier engendrera un autre couple en mars, puis un autre en avril, puis un autre en mai, etc.

1. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin mars ?

2. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin avril ?

3. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin mai ?

4. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin juillet ?

5. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans ce pâturage à la fin décembre ?

6. Considérez le mois de janvier comme le mois 0, le mois de février comme le mois 1, le

mois de mars comme le mois 2, de mois, donnez le nombre de couples de lapins se trouvant dans ce pâturage à la fin de chaque mois. Vous remarquerez peut- rapidement, à partir du 3ème mois, le nombre total de couples se trouvant à la fin de chaque mois dans ce pâturage.

Solutions

1. Le couple (de lapins) né en janvier engendrera un autre couple en mars. A la fin mars, il y

aura 2 couples de lapins.

2. En avril, seul le couple né en janvier engendrera un autre couple. A la fin avril, il y aura 3

couples de lapins.

3. En mai, le couple né en janvier et celui né en mars engendreront chacun un autre couple. A

la fin mai, il y aura 5 couples de lapins. Pour la suite, établissons un tableau, et mettons : Dans la colonne A, les couples engendrés par le couple initial. D dans la colonne B, les couples engendrés par le couple né en mars. Le premier de ces couples est né en mai. Dans la colonne C, les couples engendrés par le couple né en avril. Dans la colonne D, les couples engendrés par les deux couples nés en mai. Dans la colonne E, les couples engendrés par les trois couples nés en juin. On continue le même raisonnement pour les colonnes suivantes. Dans la colonne S, on a le nombre total des couples nés chaque mois. Dans la colonne T, on a le nombre total de couples vivant dans ce pâturage, à la fin de chaque mois.

Page 2 sur 2

4. A la fin juillet, il y aura 13 couples de lapins.

5. A la fin décembre, il y aura 144 couples de lapins.

6. La relation demandée est donnée dans le tableau suivant :

Mois 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nombre de couples 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

La suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 est appelée suite de Fibonacci. Elle est étonnante car, chacun des termes est, à partir du 3ème, la somme des deux termes qui le précèdent directement dans la suite. Ainsi, 8 = 5 + 3 et 89 = 55 + 34. Le rapport de deux nombres consécutifs de cette suite est alternativement inférieur et supérieur au nombre exercice 24, même rubrique) : .etc;625,18

13;6,15

8;66,13

5;5,12

3;21 2;11 1 # suite de Fibonacci.

1, 2, 3, 5, 8, 13, etc. Etonnamment, les nombres de Fibonacci apparaissent régulièrement

en mathématiques et aussi dans la nature, comme par exemple, dans les spirales des tournesols ou des pommes de pin !

Augustin Genoud, février 2013

Mois A B C D E F G H I S T

Janvier 1 1 1

Février 0 0 1

Mars 1 1 2

Avril 1 1 3

Mai 1 1 2 5

Juin 1 1 1 3 8

Juillet 1 1 1 2 5 13

Août 1 1 1 2 3 8 21

Septembre 1 1 1 2 3 5 13 34

Octobre 1 1 1 2 3 5 8 21 55

Novembre 1 1 1 2 3 5 8 13 34 89

Décembre 1 1 1 2 3 5 8 13 21 55 144

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