FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - Maths & tiques
Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation ex=a On la note lna La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ln: 0;] +∞ →[ℝ xlnx Remarques : - Les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques l'une de l'autre
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES
2) Exprimez en fonction de ln 2 et ln 3 les réels suivants : a =ln24 b =ln144 8 ln 9 c = 3) Ecrire les nombres A et B à l'aide d'un seul logarithme : 1 2ln3 ln2 ln 2 A = + + 1 ln9 2ln3 2 B = − Exercice n° 2 Compléter le tableau suivant, à partir de certaines valeurs (arrondies à 0,1) près de la fonction logarithme népérien
Fonction logarithme neperien
( à préciser ) un nombre noté lnx ( le logarithme népérien de x ) donné par la calculatrice ou une table de logarithmes cette fonction est telle que, quels que soient les nombres x et y de son domaine de définition on a : ln(xy) = lnx+lny cette fonction transforme donc un produit de deux nombres en une somme
LA CONSTRUCTION DES LOGARITHMES DE NEPER
les uns après les autres, et enfin j’en ai trouvé plus d’un, clair et d’un emploi facile, dont je traiterai probablement ailleurs A la vérité, aucun, parmi les autres, n’est plus utile que l’un d’eux ; par son moyen, on rejette les nombres utilisés dans les multiplications, les divisions et les extractions de racines
Introduction - Linvention des logarithmes
2) Exprimer les nombres suivants en fonction de et 3) Ecrire les nombres suivants à l’aide d’un seul logarithme : 4) est la fonction définie sur par Justifier que est la fonction nulle sur Étude de la fonction logarithme népérien Théorème - Variations La fonction logarithme népérien est strictement croissante de sur Preuve
Fonction logarithme népérien
dans , c'est à dire que les images de tous les nombres réels sont des nombres réels positifs Pour tout réel , l'équation admet une unique solution dans (c'est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires) Définition : Logarithme néperien On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif, l'unique solution
Les logarithmes en Terminale - UPHF
1614 : les nombres logarithmes Les glo pour calculer Les log pour calculer Début du 17 e siècle : pour l'astronomie, le commerce, la navigation, l' art de la guerre, les besoins en calculs précis et rapides sont importants Le système décimal, introduit et promu en Europe par Stevin (1585), est un progrès important mais pas su sant
Analyse Leçon 1 Les Fonctions Logarithmes - Free
314 02 : Fonctions logarithmes Fonctions 1-3 Analyse Leçon 1 : Les Fonctions Logarithmes Introduction : Ce chapitre propose de découvrir puis de travailler sur les différentes fonctions logarithmes en l’occurrence les fonctions logarithme népérien et logarithme décimal (plus utilisé en physique)
MATHEMATIQUES Logarithmes exercices et corrig es
Logarithmes 1 4 Exercice 4 1 4 Calculer, a l’aide des logarithmes d ecimaux, les nombres : log 4 346 log 6 67 log 9 48 1 5 R esoudre les equations1: 2x= 7 100n= 1428 ln(x+ 1) = 0 ln2x= ln(x+ 1) 1 6 Tracer les graphes des fonctions : f (x) = log 3 x g (x) = log 2 x 1 7 Le montant d’un capital, plac e a int er^et compos e, est donn e par : C
Ressources pour le lycée Histoire de la fonction logarithme
nombres logarithmiques et des fonctions logarithmes L’Histoire des fonctions logarithmes est un exemple qui met en avant la difficulté de la création d’un concept pressenti depuis des siècles, de la notion de logarithme naîtra la notion de fonction et de courbe d’une fonction telles qu’on les connait aujourd’hui,
[PDF] les logarithmes terminale bac pro
[PDF] les logiciels d'application de l'informatique
[PDF] Les Logos
[PDF] les logos de l'instituion specialise de l'ONU
[PDF] Les lois au sujet des discriminations
[PDF] Les lois de Kepler
[PDF] Les lois de Kirchhoff
[PDF] les lois de l'intensité
[PDF] les lois de l'intensité (suite)
[PDF] les lois de l'électricité 4eme
[PDF] les lois de l'électricité pdf
[PDF] les lois de l'intensité 4eme
[PDF] les lois de la composition devoir 2
[PDF] Les lois de Newton + Les interactions
1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frFONCTION LOGARITHME NEPERIEN En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la fina lité d'un trava il de 20 ans , Neper présente un outil permetta nt de simplifier le s calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouvera son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ; 1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper. Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises. L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addi tion (paragra phe II). Ceci peut paraît re dérisoire aujourd'hui, ma is il faut comprendre qu'à cette é poque, les calculatrices n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. I. Définition La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans
0;+∞
. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a de0;+∞
l'équation e x =a admet une unique solution dans ℝ.2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDéfinition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation
e x =a . On la note lna . La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ][ ln:0;+∞→ x!lnxRemarques : - Les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. - Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation
y=x. - Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log est définie par :
log(x)= lnx ln10Conséquences : a)
y=lnxavecx>0⇔x=e y b) ln1=0 lne=1 ln 1 e =-1 c) Pour tout x, lne x =x d) Pour tout x strictement positif, e lnx =xDémonstrations : a) Par définition b) - Car
e 0 =1 - Car e 1 =e - Car e -1 1 e c) Si on pose y=e x , alors x=lny=lne x d) Si on pose y=lnx , alors x=e y =e lnxII. Propriété de la fonction logarithme népérien 1) Relation fonctionnelle Théorème : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : ()lnlnln xyxy ×=+
3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDémonstration :
e ln(x×y) =x×y=e lnx ×e lny =e lnx+lnyDonc ()lnlnln xyxy ×=+
Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme. Ainsi, celui qui aurait à effectuer 36 x 62, appliquerait cette formule, soit : log(36 x 62) = log(36) + log(62) ≈ 1,5563 + 1,7924 (voir table ci-contre) L'addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : log(36 x 62) ≈ 3,3487 En cherchant dans la table, le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36 x 62 = 2232. 2) Conséquences Corollaires : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : a)
ln 1 x =-lnx b) ln x y =lnx-lny c) lnx= 1 2 lnx d) lnx n =nlnx avec n entier relatif Démonstrations : a) 11 lnlnln ln1 0xx xx b) 11 lnlnln lnlnln x xxxy yyy c) ()2lnlnl nlnlnxxxxxx=+=×=
d) On démontre ce résultat par récurrence. L'initialisation est triviale. La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition : ()
1 lnlnln lnln ln(1 )ln nnn xxxxxnxxnx4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Simplifier une expression Vidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4 ()()
ln35 ln3 5A=-++B=3ln2+ln5-2ln3
C=lne 2 -ln 2 e ln35 ln3 5 ln35 35 ln95 ln4 A=-++B=3ln2+ln5-2ln3
=ln2 3 +ln5-ln3 2 =ln 2 3 ×5 3 2 =ln 409 C=lne 2 -ln 2 e =2lne-ln2+lne =2-ln2+1 =3-ln2
III. Etude de la fonction logarithme népérien 1) Continuité et dérivabilité Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur
0;+∞
. - Admis - Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur0;+∞
et (lnx)'= 1 x . Démonstration : La fonction ln est continue sur0;+∞
, donc pour tout réel a > 0, on a : lim x→a lnx=lna . Donc par composée de limites, en posant X=lnx lim x→a lnx-lna x-a =limX→lna
X-lna e X -e lna =limX→lna
1 e X -e lna X-lna Comme la fonction exponentielle est dérivable sur ℝ, on a : limX→lna
1 e X -e lna X-lna 1 e lna 1 a et donc lim x→a lnx-lna x-a 1 a. Exemple : Vidéo https://youtu.be/yiQ4Z5FdFQ8 Dériver la fonction suivante sur l'intervalle