[PDF] Ch 6 - Lois de Newtons et loi de Kepler

Les Lois de Kepler - Astrosurf

Sans conteste, le premier des scientifiques modernes Il publie les Principia en 1684 et redémontre les lois de Kepler 2 3 L’énoncé des lois Avant de présenter en détails l’élaboration des trois lois de Képler, on rappelle leur énoncé dans l’ordre chronologique : Loi 2, 1604 Loi des aires

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TP Les lois de Kepler De l’Antiquité à la renaissance, la Terre était considérée comme le centre de l’Univers Il faudra attendre le XVIIème siècle pour qu’un

Fiche 13 Lois de Kepler - WordPresscom

Kepler (1571 – 1630) établit, à partir des observat ions de Tycho Brahé, trois lois qui régissent le mouvement des planètes I Enoncé des trois lois de Kepler 1 Première loi de Kepler La première loi précise la nature des trajectoires des planètes Dans un référentiel héliocentrique, les orbites des planètes sont

Chapitre 10 : (Cours) Lois de Kepler

Chapitre 10 – Lois de Kepler Page 1 En astronomie, les trois lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil, sans l’expliquer Elles ont été découvertes par Johannes Kepler (en 1608 puis 1619) à partir des observations et mesures de la position des planètes faites par Tycho Brahe, mesures

Ch 6 - Lois de Newtons et loi de Kepler

6/ 8 Partie II – Chap 6 : Lois de Newton et lois de Kepler III Les lois de Kepler Rappels : Le vecteur accélération s’écrit dans la base de Frenet : a =aN ⋅N +aT ⋅T avec aN l’accélération normale et aT l’accélération tangentielle • Si aN est nulle, le mouvement est rectiligne • Si aT est nulle, le mouvement est uniforme

Compétences : Les lois de Kepler De Kepler à Newton

Les lois de Kepler sur le mouvement orbital sont encore utilisées aujourd'hui pour calculer, par exemple, la trajectoire des sondes spatiales Kepler publie ses deux premières lois en 1609, la loi des ellipses et la loi des aires égales

CHAP 14 ACT NUM Lois de Kepler - legtuxorg

4 Vérification de la 3ème loi de Kepler Conclure : B/ Vérification de la 2ème loi de Kepler Introduction : La validité de la 2ème loi de Kepler est testée en exploitant les coordonnées cartésiennes spatiotemporelles relatives au mouvement de Mercure dans le référentiel héliocentrique

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1/ 8 Partie II - Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler

PARTIE II : COMPRENDRE

· Extraire et exploiter des informations relatives à la mesure du temps pour justifier l'évolution de la définition de la seconde.

· Démontrer que, dans l'approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d'un satellite, d'une planète, est uniforme. Établir

l'expression de sa vitesse et de sa période.

· Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la troisième dans le cas d'un mouvement circulaire.

Chapitre 6

Application des lois de Newton et des lois de Kepler

A noter :

La seconde, unité SI de temps, a été établie selon les connaissances et les possibilités techniques de chaque époque.

Elle a d"abord été définie comme la fraction 1 ⁄ 86400 du jour solaire terrestre moyen.

En 1956, pour tenir compte des imperfections de la rotation de la Terre qui ralentit notamment à cause des forces de

marées, elle a été basée sur la révolution de la Terre autour du Soleil et définie comme la fraction 1 ⁄ 31 556 925,9747

de l"année tropique 1900.

Depuis la 13e Conférence générale des poids et mesures de 1967, la seconde n"est plus définie par rapport à l"année,

mais par rapport à une propriété de la matière :

Définition de la seconde atomique :

La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à une certaine transition dans l"atome

de césium 133. La seconde, étalon de mesure du temps, est ainsi un multiple de la période de l"onde émise par un

atome de césium 133 lorsqu"un de ses électrons change de niveau d"énergie.

Lors de sa session de 1997, le Comité International précise que cette définition se réfère à un atome de césium au

repos, c"est-à-dire à une température de 0 K. Cette dernière précision souligne le fait qu"à 300 K, la transition en

question subit, par rapport à sa valeur théorique, un léger déplacement en fréquence dû aux effets de rayonnement du

corps noir. Cette correction a été apportée en 1997 car ce léger décalage dans la fréquence a cessé d"être négligeable

par rapport aux autres sources d"incertitude. On dispose aujourd"hui d"une exactitude allant jusqu"à la 14 e décimale (10-14 s). L"échelle dite du Temps Atomique

International

(TAI) obtenue est l"unité du SI la plus précisément connue. Figure 1

Horloge à

Césium 133 du

CNRS

2/ 8 Partie II - Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler

I. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

I.1 Champ uniforme

La Terre créé en son voisinage un champ de pesanteur noté g. De ce fait toute masse plongée dans ce champ voit apparaître une force qui l"attire vers le centre de la Terre et d"intensité : gmP= Les caractéristiques du champ de pesanteur terrestre sont : - direction : radiale (verticale) - sens : vers le centre de la Terre - intensité : g = 9,8 N×kg -1 A l"échelle de la Terre, le champ de pesanteur n"est pas uniforme

Néanmoins, à

l"échelle humaine, ce champ peut raisonnablement

être

considéré comme uniforme.

I.2 Mouvement dans le champ de pesanteur

Rappels :

Comme dt

vda= et dt

OGdv= donc 22dt

OGd dt dtOGdd a==

222222dtzddtyddtxd

a z yx a Considérons un boulet de canon tiré au point B de coordonnées (0 ; d) à la date t0 = 0. Le référentiel terrestre est

supposé galiléen. La position du boulet est repéré à chaque instant par son centre de gravité G dans le repère (

O, x, y)

D"après la deuxième loi de Newton, on peut écrire : dt vmd dt pdF)(==Sr dt vdmv dt mdF×+×=Sr

Or la masse m étant constante, on aura :

dt vdm dt vdmvF×=×+×=S0r EI Q EI Q BT /R9 12 Tf

0.99941 0 0 1 462.48 528.56 Tm

g ® g g Figure 1 : Champ non uniforme g ® Figure 2 : Champ uniforme B O y v0 q d x g ® Figure 3 : Tir d"un boulet B

P en N

m en kg g en N/kg

3/ 8 Partie II - Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler

En supposant que le boulet est en chute libre, on aura alors : amPFrr==S amgmrr= garr=

Donc : 

-ga 0r

Comme le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, le vecteur vitesse est une

primitive du vecteur accélération Ainsi, on intègre le vecteur accélération pour trouver le vecteur vitesse : +-"cstegtcstevr

Or à t = 0, on a 

"0sincos

00cstegcste

vvvqq r donc cste = v0 cos q et cste" = v0 sin q.

D"où : 

qqsincos00vgtvvr

Comme le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, le vecteur position est une primitive

du vecteur vitesse Ainsi, on intègre le vecteur vitesse pour trouver le vecteur position : "sin21cos

020cstetvgtcstetv

OGqq

Or à t = 0, le boulet G est en B (0 ; d )

donc cste = 0 et cste" = d

D"où :

dtvgttv

OGqqsin210cos020

Ainsi les équations horaires définissant le mouvement de ce boulet sont : Pour l"accélération : Pour la vitesse : Pour la position : ax = 0 vx = v0 cosq x(t) = v0 cosq ´ t a y = -g vy = - gt + v0 sinq y(t) = - ½ gt 2 + v0 sinq ´ t + d a z = 0 vz = 0 z(t) = 0

A noter :

Ce mouvement est plan car l"une des coordonnées du vecteur position OG ne dépend pas du temps. · Lorsque la masse du mobile est constante on a alors : dt pdF=Sr amFrr=S

Position Vitesse Accélération

Dérivation Dérivation

Intégration Intégration

4/ 8 Partie II - Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler

En exprimant y en fonction de x on obtient l"équation de la trajectoire y(x) : tvtx´=qcos)(0 qcos0vxt= En remplaçant dans y(t), on obtient : dvxvvxgxy+´+ qqqcossincos21)(002 0 Soit, en simplifiant : dxxvgxy+´+´´-=qqtancos2)(2 22
0

A noter :

Cette trajectoire est une parabole car son équation est du type : cbxaxxy++=2)( II. Mouvement dans un champ électrique uniforme

Soit une particule ponctuelle G de charge q et de masse m placée dans un champ électrique uniformeE.

Système étudié :

particule G Référentiel d"étude : terrestre supposé galiléen

Inventaire des forces extérieures :

• le poids gmP= • la force électrique EqFe×= • les forces de frottement de l"air vkf×= • la poussée d"Archimède gVair××=Pr Avec V le volume de la particule, v sa vitesse, k une constante et airr la masse volumique de l"air.

Questions :

a) En supposant que cette particule est un électron de masse m = 9,1×10 - 31 kg et de charge électrique

q = - 1,6×10 - 17 C, déterminer les caractéristiques du poids de l"électron et celles de la force électrique qu"il subit

sachant que

E = 10 000 V×m -1

b) Que penser de l"influence du poids de l"électron sur son mouvement dans le champ électrique ?

c) Que penser de la poussée d"Archimède que subit l"électron ? Même question pour les forces de frottements.

d) Faire l"inventaire des forces dans le cas où la particule est un neutron.

Equation de la trajectoire

= flèche

Portée = x

max q O

Figure 4

Trajectoire

parabolique Figure 5 :

Particule chargée dans un champ électrique

E ®

E ®

E ®

x y O g ® v0 ®

5/ 8 Partie II - Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler

D"après la deuxième loi de Newton :

amFFerr==S  yxaamqE0

D"où :

m qEaa yx 0 -mqE a0 En intégrant le vecteur accélération, on trouve le vecteur vitesse : +×-"cstetmqEcste v Or à t = 0, le vecteur vitesse s"écrit :  +´-""0

0cstecste

cstemqEcste v D"autre part, d"après l"énoncé, le vecteur vitesse initial s"écrit aussi  0 0 0vv

D"où : cste = v0 et cste" = 0

Donc 

×-tmqEv

v 0 En intégrant le vecteur vitesse, on trouve le vecteur position :

2120cstetmqEcstetv

OG Or à t = 0, le vecteur position s"écrit :  "0210

2cstecste

cstemqEcstet OG Et d"après l"énoncé la particule est en O à l"origine du temps, donc  00OG

D"où : cste = cste" = 0

Donc : 

20

21tmqEtv

OG

Ainsi, les

équations horaires de la position sont :

tvtx0)(= 2 2)(tm qEty´-=

Et l"équation de la trajectoire est :

2 2 0

2)(xvmqExy´×-=

Cette trajectoire est aussi une parabole car son équation est du type : cbxaxxy++=2)(

6/ 8 Partie II - Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler

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