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Fonctions Racine et Inverse

Inverse age P 7 Exercice 16 4 1 Montrer que la fonction g dé nie sur R+ r pa g(x)= √ x−3 est croissante sur R+ 2 Montrer que la fonction f dé nie sur R− r pa f(x)=−5 √ x+1 est strictement décroissante sur R+ Exercice 16 5 Les a rmations suivantes sont-elles vraies ou fausses Justi er si elles sont 1 L'image de 3 r pa la

Lycée JANSON DE SAILLY FONCTION INVERSE FONCTIONS

Lycée JANSON DE SAILLY 07 janvier 2014 FONCTION INVERSE, FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES 2nde 10 0 1 1 M M′ x 1 x −x − 1 x REMARQUE: – On peut rendre f(x)= 1 x aussi grand que l’on veut, pourvu que x soit suffisamment proche de 0 et positif

Fonctions inverse homographiques - WordPresscom

– La fonction inverse n’est ni linéaire ni affine – L’inverse d’une somme n’est pas la somme des inverses : 1 2+5 ≠ 1 2 + 1 5 I 2 Hyperbole d’équation y = 1 x La fonction inverse est représentée par une courbe appelée hyperbole Elle est constituée des points M(x; 1 x) pour x ≠ 0, et a pour équation y = 1 x

Chapitre 1 Généralités sur les fonctions

Remarque Le calcul d'image suivant justi e le nom de fonction inverse : Pour tous entiers aet bnon nuls, f(a b) = 1 a b = 1 b a = b a Or, b a est bien l'inverse de a b Propriété 6 La fonction inverse est impaire Démonstration L'ensemble de dé nition R nf0gest centré en 0, c'est-à-dire que si x 2R nf0g, alors x2Rnf0g Pour tout

1 Variations d’une fonction

• La fonction inverse est strictement décroissante sur ]− ∞;0[ et strictement décroissante sur ]0;+∞[ • La fonction inverse est impaire Propriété 4 x 1 x −∞ 0 +∞ ♣ Démonstration 3 Variations de la fonction inverse ⇒ voir feuille d’exercices www maths-lycee net Chapitre 8 : Variations et extremums d’une fonction 3/3

Dérivation - WordPresscom

Démonstration pour la fonction inverse : Soit f la fonction inverse définie sur ℝ∖{0} On cherche d’abord le taux d’accroissement τ entre x et x+h pour cette fonction : τ= f(x+h)−f(x) h = 1 x+h − 1 x h = x x(x+h) − x+h x(x+h) h = x−x−h xh(x+h) = −1 x(x+h) et donc par définition de la fonction dérivée, pour tout x≠0 f

2°) Démonstration (ROC) 1ère S Règles sur le sens de

C’est la « composée de la fonction u suivie de la "fonction inverse" » 4°) Reformulation de la règle u est une fonction définie sur un intervalle I telle que x I u (x) 0 La fonction 1 u a les variations contraires de celles de u sur les intervalles où u ne s’annule pas 6 5°) Exemple f \ ; ;: x 1 2 3x D f 3 3 3 2 2 2

VARIATIONS DUNE FONCTION - AlloSchool

Inverse d'une fonction Dans tout ce paragraphe, on suppose que la fonction u ne s'annule pas sur l Définition 8 Propriété 9 Attention : ne pas oublier de respecter le domaine de définition de la fonction inverse La fonction — est la fonction qui à chaque réel x associe le réel u(x)

Les suites - Partie II : Les limites

Connaissant le comportement du produit et de l'inverse, on en déduit le comportement de la limite d'un quotient, ce dernier pouvant être considéré comme le produit d'une limite par l'inverse de l'autre D Exercice Question 1 [Solution n°3 p 25] Calculer Question 2 [Solution n°4 p 26] Calculer Indice : Attention à l'indétermination

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2ndeChapitre 10 - Fonctions inverse et homographiques2012-2013

Chapitre 10 - Fonctions inverse et homographiques

I Fonction inverse

TD : Coût horaire d"une location

Pendant les mois de juillet et août, la commune de La Ferté-sous-Jouarre propose pour la location

d"un court de tennis la formule suivante : un abonnement de 40e, puis une location de 2epar heure.

1. Perrine et Baptiste ont pris chacun un abonnement. Baptiste n"a

pu jouer que 5 heures et Perrine a passé 40 heures sur les courts. (a) Calculer, pour Baptiste puis pour Perrine, le coût totalde leur saison de tennis. (b) Quel est, pour chacun d"eux, le coût moyen par heure de jeu?

2. On notefla fonction donnant le coût moyen horaire selon le

nombrexd"heures de location (on supposex≠0). (a) Exprimer, en fonction dex, le coût total pourxheures de location. (b) Montrer quef(x) =2+40 x.

3.A l"aide de la calculatriceEntrer la fonctionfsur la calculatrice et visualiser sa représentation graphique : on indiquera

la fenêtre utilisée afin de pouvoir visualiser les cas de Perrine et Baptiste. Conjecturer les variations de la fonctionfsur l"intervalle]0 ;+∞[.

4. A l"aide du graphique et du tableau de valeurs, déterminerà partir de combien d"heures de

location le coût moyen horaire devient inférieur ou égal à 4el"heure.

5. Ce coût moyen peut-il être inférieur ou égal à deux euros?

I.1 Définition et sens de variation

Définition 1

La fonction inverse est définie surR?, c"est-à-dire sur]- ∞; 0[?]0 ;+∞[, parf?x?→1

xsoit f(x)=1 x.

Exemple :

?f(-2)=1 -2= -0,5 ?f(3)=1 3?f(5 3)=15 3= 3

5?f(105)=1105=10-5

?f(10-3)=1

10-3=103

Mais attention, 0 n"a pas d"image parf: on dit que 0 est une valeur interdite pour la fonction inverse.

-1-

2ndeChapitre 10 - Fonctions inverse et homographiques2012-2013

Propriété 1

La fonction inverse est :

?strictement décroissante sur l"intervalle ]-∞; 0[ ?strictement décroissante sur l"intervalle ]0 ;+∞[

La double barre en-dessous de0indique que la

fonction inverse n"est pas définie en0.

Démonstration :

Soient deur réelsaetbtels quea⩽b. On veut comparer leurs inverses1 aet1b. On cherche le signe de la différence 1 b-1a: f(b)-f(a)=1 b-1a=aab-bab=a-bab Commea⩽b, le numérateura-best négatif. Le quotienta-b abdépend du signe du produitab. ?Siaetbsont strictement positifs :par produit, le dénominateurabest strictement positif, finalement1 b-1aest négatif. Ainsi, si 0Remarque 1

- On ne peut pas dire que la fonction inverse est décroissantesur]-∞; 0[?]0 ;+∞[car cet ensemble

n"est pas un intervalle. - La fonction inverse n"est ni linéaire ni affine. - L"inverse d"une somme n"est pas la somme des inverses :1

2+5≠12+15.

I.2 Hyperbole d"équationy=1

x La fonction inverse est représentée par une courbe appelée hyperbole.

Elle est constituée des pointsM(x;1

x)pourx≠0, et a pour

équationy=1

x. Comme 0 n"a pas d"image, il n"y a pas de point d"abscisse 0 sur l"hyperbole d"équationy=1 x.

Propriété 2

L"hyperbole d"équationy=1

xadmet l"origine du repère comme centre de symétrie. Ox1 x -x 1 -x=1x× M

M′

-2-

2ndeChapitre 10 - Fonctions inverse et homographiques2012-2013

Démonstration :

Pour n"importe quel réelxnon nul, on a1

-x= -1x.

Les pointsM(x;1

x)etM′(-x;1-x)appartiennent tous les deux à la courbe et ils sont symétriques par rapport à l"origineOdu repère.Oest donc centre de symétrie de cette hyperbole.

II Fonctions homographiques

TD : Le cycliste et la fonction homographique

Un cycliste roule à la vitesse moyenne de 20 km/h pendant la première partie de son trajet. A la fin

de cette première partie, son chronomètre indique qu"il estparti depuis 1 heure. La seconde partie du

trajet comporte plus de descentes et est parcourue à la vitesse moyenne de 28 km/h.

1.Vitesse = danger?

(a) Quelle distance a-t-il parcourue pendant la première phase? (b) Le cycliste pense que s"il fait le même nombre de kilomètres pendant la seconde partie, sa vitesse moyenne sur l"ensemble de la sortie sera égale à 24 km/h (car il calcule la moyenne des deux vitesses :20+28

2=24). Ce calcul est-il correct?

2.Un peu de réflexion...On notetla durée, exprimée en heure, de la seconde partie du parcoursetv(t)la vitesse moyenne

sur l"ensemble de la sortie. Conjecturersans faire de calculsles réponses aux questions suivantes. (a) Par quelles valeurs constantes peut-on encadrerv(t)? (b) Quelle doit être la durée de la seconde partie pour que la vitesse moyenne sur l"ensemble du parcours soit 24 km/h? (c) Comparer les vitesses moyennesv(t1)etv(t2)dans les deux cas suivants : - le cycliste a roulé pendant un tempst1=2 h à 28 km/h; - le cycliste a roulé pendant un tempst2=3 h à 28 km/h.

3.Un peu de calculs...

(a) Exprimer en fonction detla distance parcourue lors de la seconde partie. (b) En déduire quev(t)=28t+20 t+1. (c) Vérifier par le calcul la réponse proposée à la question 2.b.

(d) Démontrer que, pour tout réelt⩾0,v(t)-20⩾0 et quev(t)-28⩽0. En déduire un

encadrement dev(t). (e) La durée totale du trajet est de 5 heures. Calculer la vitesse moyenne du cycliste.

(f) En faisant tracer par la calculatrice la courbe représentant la fonctionv, vérifier la réponse

proposée à la question 2.c, puis indiquer les variations de la fonctionsvsur l"intervalle [0 ;+∞[. -3-

2ndeChapitre 10 - Fonctions inverse et homographiques2012-2013

Définition 2

Une fonction homographique est une fonctionf?x?→ax+b cx+d(a,b,cetdsont des réels avec c≠0). Elle est définie en tout réelxtel que le dénominateurcx+dne s"annule pas. La courbe représentative d"une telle fonction est une hyperbole.

Exemple :Soitf?x?→x

3x+6C"est une fonction homographique (a=1,b=0,c=3,d=6).

On a : 3x+6=0?x= -2.fest donc définie en tout réel différent de-2.

L"ensemble de définition defest donc

]-∞;-2[?]-2 ;+∞[que l"on peut aussi noterR-{-2}.

Il n"y a donc pas de point d"abscisse-2 surCf.

O⃗ı

III Inéquation et signe d"un quotient

Méthode :Pour résoudre une inéquation avec une fonction homographique : ?on cherche son ensemble de définition, ?on étudie le signe de son numérateur et de son dénominateur, ?on applique la règle des signes du quotient, ?on lit le tableau.

Exemple :Résoudre l"inéquation3

x+1⩾1. ?On cherche l"ensemble de définition : xdoit être différent de-1 pour quex+1≠0. ?On rassemble tous les termes dans le 1er membre et on réduit aumême dénominateur :3 ?On étudie le signe du numérateur2-xet du dénominateurx+1 Signe de2-x:la fonction affinef?x↦2-xest strictement décroissante (a= -1 donca<0).

Or, 2-x=0?x=2.

Doncf(x)est positif "avant 2" et négatif "après 2". Signe dex+1:la fonction affineg?x↦x+1 est strictement croissante (a=1 donca>0).

Or,x+1=0?x= -1.

Doncg(x)est négatif "avant-1" et positif "après-1". -4-

2ndeChapitre 10 - Fonctions inverse et homographiques2012-2013

?On applique la règle des signes du quotient : ?On lit le tableau :

L"ensemble des solutions est]-1 ; 2].

Applications :

1. Étudier le signe de

2x-1 x-3.

2. Étudier le signe de

x+4 3-2x.

3. Résoudre les inéquations

x+1 x-2⩾0 et2-4xx-3<0. -5-quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17