Chapitre 21 Matrices - MATHEMATIQUES
II Opérations sur les matrices 1) Addition des matrices et multiplication des matrices par un nombre réel a) Définitions de l’addition et de la multiplication par un réel On peut additionner deux matrices carrées de même format entre elles : Définition 3 (addition de deux matrices carrées de même format) Soit n un entier naturel
Les matrices - WordPresscom
Les matrices 1 Approche par les syst emes Exemple 1 R esoudre le syst eme suivant par la m ethode de substitution : 8 >< >: 2x+ y+ z= 6 x y z= 0 3x+ 2y z= 7 Exemple 2 R esoudre le syst eme suivant par la m ethode de combinaison lin eaire : 8 >< >: x+ 2y+ 3z= 9 5x y+ 2z= 17 x+ y+ z= 4 Exemple 3 R esoudre le syst eme suivant par la m ethode de
Exo7 - Cours de mathématiques
MATRICES 2 MULTIPLICATION DE MATRICES 5 Exemple 8 A= 0 1 0 3 B = 4 1 5 4 C = 2 5 5 4 et AB = AC = 5 4 15 12 2 4 Propriétés du produit de matrices Malgré les difficultés soulevées au-dessus, le produit vérifie les propriétés suivantes :
Chapter 3 Matrices
and in general we can have m n matrices for any m 1 and n 1 Matrices with just one row are called row matrices A 1 n matrix [ x 1 x 2 x n] has just the same information in it as an n-tuple (x 1;x 2;:::;x n) 2Rn and so we could be tempted to identify 1 n matrices with n-tuples (which we know are points or vectors in Rn)
Matrices - Mathématiques en ECS1
Exercice 10 2 Pour n= 3, donner des matrices triangulaire supérieure (resp inférieure) et diagonale 10 2Opérations élémentaires sur les matrices Commençons par donner la dé nition intuitive suivante 94 Cours ECS1
Définition et opérations sur les matrices
Soient les matrices 01 00 A = et 11 00 B = 0 0 0 1 0 0 0 0 AB BA = = On peut remarquer sur cet exemple qu’un produit de deux matrices non nulles peut être égal à la matrice nulle La règle : un produit de facteurs est nul alors l’un au moins des facteurs est nul est donc FAUSSE avec les matrices f) Transposition La transposée d’une
Cours 0D : matrices
Cours 0D : matrices 4 Calcul de certaines suites récurrentes : B Soient (xn)n2N et (yn n2N deux suites réelles, vérifiant la relation de récurrence linéaire suivante : pour tout entier n 2N, n x n¯1 ˘ ¡9xn ¡18yn yn¯1 ˘ 6xn ¯12yn avec x0 ˘¡137 et y0 ˘18 Il s’agit de déterminer les termes généraux de ces deux suites en
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Matrices
ramène à des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour la résolution des systèmes linéaires.
Dans ce chapitre,Kdésigne un corps. On peut penser àQ,RouC.1. Définition
1.1. DéfinitionDéfinition 1.
UnematriceAest un tableau rectangulaire d"éléments deK. Elle est dite detaillenpsi le tableau possèdenlignes etpcolonnes. Les nombres du tableau sont appelés lescoefficientsdeA.Le coefficient situé à lai-ème ligne et à laj-ème colonne est notéai,j.Un tel tableau est représenté de la manière suivante :
A=0 BBBBBB@a
1,1a1,2...a1,j...a1,p
a2,1a2,2...a2,j...a2,p
a i,1ai,2...ai,j...ai,p a n,1an,2...an,j...an,p1 CCCCCCAouA=ai,j
16i6n16j6pouai,j.
Exemple 1.
A=12 5
0 3 7 est une matrice 23 avec, par exemple,a1,1=1 eta2,3=7.Encore quelques définitions :Définition 2.
Deux matrices sontégaleslorsqu"elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux.
L"ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansKest notéMn,p(K). Les éléments deMn,p(R)
MATRICES1. DÉFINITION2sont appelésmatrices réelles.1.2. Matrices particulières Voici quelques types de matrices intéressantes :•Sin=p(même nombre de lignes que de colonnes), la matrice est ditematrice carrée. On noteMn(K)au lieu de
Mn,n(K).
0 B BB@a1,1a1,2...a1,n
a2,1a2,2...a2,n............
a n,1an,2...an,n1 C CCA Les élémentsa1,1,a2,2,...,an,nforment ladiagonale principalede la matrice. Une matrice qui n"a qu"une seule ligne (n=1) est appeléematrice ligneouvecteur ligne. On la noteA=a1,1a1,2...a1,p.
De même, une matrice qui n"a qu"une seule colonne (p=1) est appeléematrice colonneouvecteur colonne. On
la note A=0 B BB@a 1,1 a2,1...
a n,11 C CCA.La matrice (de taillenp) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée lamatrice nulleet est notée0n,p
ou plus simplement 0. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels.
1.3. Addition de matricesDéfinition 3(Somme de deux matrices).
SoientAetBdeux matrices ayant la même taillenp. LeursommeC=A+Best la matrice de taillenpdéfinie
par c ij=aij+bij.En d"autres termes, on somme coefficients par coefficients. Remarque : on note indifféremmentaijoùai,jpour les
coefficients de la matriceA.Exemple 2.
SiA=32
1 7 etB=0 5 21alorsA+B=3 3 3 6
Par contre siB0=2
8 alorsA+B0n"est pas définie.Définition 4(Produit d"une matrice par un scalaire). Le produit d"une matriceA=aijdeMn,p(K)par un scalaire2Kest la matriceaijformée en multipliant chaque coefficient deApar. Elle est notéeA(ou simplementA).Exemple 3.SiA=1 2 3
0 1 0 et=2 alorsA=2 4 6 0 2 0 La matrice(1)Aest l"opposéedeAet est notéeA. LadifférenceABest définie parA+(B).MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES3
Exemple 4.
SiA=21 0
45 2etB=1 4 2 75 3
alorsAB=352 3 01 L"addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises :Proposition 1. Soient A, B et C trois matrices appartenant à M n,p(K). Soient2Ket2Kdeux scalaires. 1.
A +B=B+A : la somme est commutative,
2.A +(B+C) = (A+B)+C : la somme est associative,
3. A +0=A : la matrice nulle est l"élément neutre de l"addition,4.(+)A=A+A,
5.(A+B) =A+B.Démonstration.Prouvons par exemple le quatrième point. Le terme général de(+)Aest égal à(+)aij. D"après
les règles de calcul dansK,(+)aijest égal àaij+aijqui est le terme général de la matriceA+A.Mini-exercices.
1.SoientA=
7 20114
,B=1 2 32 3 13 2 1
,C=2160 33 12
,D=121 0 10 1 01 1 1,E=
1 23 08 6
. Calculer toutes les sommes possibles de deux de ces matrices. Calculer 3A+2Cet 5B4D. Trouvertel queACsoit la matrice nulle. 2.Montrer que si A+B=A, alorsBest la matrice nulle.
3. Que vaut0A? et1A? Justifier l"affirmation :(A) = ()A. Idem avecnA=A+A++A(noccurrences deA).2. Multiplication de matrices2.1. Définition du produit
Le produitABde deux matricesAetBest défini si et seulement si le nombre de colonnes deAest égal au nombre de
lignes deB.Définition 5(Produit de deux matrices). SoientA= (aij)une matricenpetB= (bij)une matricepq. Alors le produitC=ABest une matricenq dont les coefficientscijsont définis par :c ij=p X k=1a ikbkjOn peut écrire le coefficient de façon plus développée, à savoir : c ij=ai1b1j+ai2b2j++aikbkj++aipbpj. Il est commode de disposer les calculs de la façon suivante. 0 B B@ 1 C CA B A!0 BB@ 1
C CA0 B B@j j cij1 C CA ABMATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES4Avec cette disposition, on considère d"abord la ligne de la matriceAsituée à gauche du coefficient que l"on veut
calculer (ligne représentée par desdansA) et aussi la colonne de la matriceBsituée au-dessus du coefficient que
l"on veut calculer (colonne représentée par desdansB). On calcule le produit du premier coefficient de la ligne par
le premier coefficient de la colonne (ai1b1j), que l"on ajoute au produit du deuxième coefficient de la ligne par le
deuxième coefficient de la colonne (ai2b2j), que l"on ajoute au produit du troisième...2.2. Exemples
Exemple 5.
A=1 2 3
2 3 4 B=0 @1 2 1 1 1 11 AOn dispose d"abord le produit correctement (à gauche) : la matrice obtenue est de taille22. Puis on calcule chacun
des coefficients, en commençant par le premier coefficientc11=11+2(1) +31=2(au milieu), puis les autres (à droite). 0 @1 2 1 1 1 11 A 1 2 3