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FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C1

1 Montrer que f est impaire et continue sur 2 Montrer que f est de classe C1 sur 3 Donner le tableau des variations de f 4 (Q GpGXLUH O¶H[LVWHQFH G¶XQH DSSOLFDWLRQ UpFLSURTXH GH f impaire Correction 1 La fonction f est définie sur intervalle symétrique par rapport à 0 donc xx, x 2 112 si 0 0 si 0 eex x fx fxx xx x ­ ° z

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C'est ce qu'il fallait montrer Le cas des isomorphismes est évidemment le plus favorable pour ce qui est de préserver les caractères libre et générateur des familles Corollaire 1 8 Si u: EFest un isomorphisme entre R-espaces vectoriels alors l'image arp u d'une aseb de Eest une aseb de F

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FONCTIONS DE CLASSE C1

La notion de classe

1

Cpour une fonction est

présente en analyse (étude de fonctions numériques à une variable réelle, intégrations par parties) et en probabilités (fonction de e variable aléatoire à densité). de plusieurs exercices, nous allons travailler cette notion.

Ces exercices nous permettront

(continuité, dérivabilité, limites, dérivées). Cours

1) Définition

Une fonction numériqueféfinie sur un intervalleIest dite de classe 1 Csi elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée'fest continue sur cet intervalle.

2) Propriétés

a) Si fetgsont deux fonctions de classe 1

Csur un intervalleIalors les

fonctions fgetfgsont de classe 1

CsurI͘

Si de plus

gI, alors f g est de classe 1

CsurI.

b) Si fest une fonction de classe 1

Csur un intervalleIet si gest une

fonction de classe 1

Csur un intervalleJfI ,alors

la fonction gffest de classe 1

CI͘

Remarque.

La fonction

fétant de classe 1

CI, elle est dérivable donc

continue sur cet intervalle.

FONCTIONS DE CLASSE

C 1 (théorème des valeurs intermédiaires), on peut donc affirmer que fIest un intervalle.

Exercice 1

On considère la fonction numériquefde la variable réellextelle que

0 si 0

sinon lnx fx x x 1) f.

2) La fonction

f est-elle dérivable en 0 ?

3) Justifier que la fonction

fest de classe 1

Csur 0,1.

4) Dresser le tableau des variations de la fonction

f. (On y fera apparaître les différentes limites et la valeur defe)

On considère la suite

vtelle que 0 3vet 1 ,ln n n n vnvv 1 ln n v, n 1n v, n

5) Montrer que

n nve , n ve, n v, n

6) Justifier que la suite

vconverge et déterminer sa limite.

Correction

1. lnx x existe si et seulement si 0xet ln 0x. lnx x existe si et seulement si 0xet 1x.

0fexiste donc la fonctionfest définie sur 0,1 1,1,

2. Pour

0

01ln0,1 , 00ln

x x fx f xxxxx puisque 0 limln x x

La fonction

fest donc dérivable en 0 et'0 0f

FONCTIONS DE CLASSE C110

3. La fonctionfest de classe

1

Csur0,1et sur1,comme quotient de

fonctions de classe 1

C0,1 et sur

1,.

Pour établir le caractère

1

Cde la fonctionfsur chaque

intervalle ouvert on utilise les théorèmes généraux rappelés en début de chapitre. 22 2

11lnln 1 1 10,1 1, , 'ln(ln )ln lnxx

xxxfxxxxx 0 limln x x donc 0

1lim 0ln

x x et 20

1lim 0ln

x x

Finalement

0 lim ' 0 ' 0 ' x fx f f continue en 0.

La fonction

fest de classe 1

Csur0,1.

4. 22

1ln 1ln 10,1 1, , 'ln lnxx

xxxfxxx est du signe de ln 1x : ln 1 0 ln 1xxxe ln 1 0 ln 1xxxe

La fonction

fest dérivable donc continue en 0 : 0 lim 0 0 x fx f 1 1 1 lim 1 limlim ln 0 x x x x fxx 1 1quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2