Espaces vectoriel normés - Fonctions vectorielles
fest M-lipschitzienne donc uniformément continue sur I • La réciproque est fausse : La fonction h : x−→ √ x est continue sur le segment [0,1], donc y est uniformément continue (théorème de Heine) Elle est donc uniformément continue sur l'intervalle ]0,1] Elle est de classe C1 sur ]0,1] , mais sa dérivée h0: x−→ 1 2 √ x
Université Paul Sabatier 2011/12 Y
Montrer que toute fonction lipschitzienne sur Iest uniformément ontinuec sur I (3)(a) Montrer que ourp tous elsér xet yon a : jxjj yj jx yj (b) Montrer que la fonction dé nie sur R arp f(x) = 1 1+jxj est uniformément ontinuec sur R (4)(a) Montrer que ourp tous elsér osiptifs xet yon a : p x+y p x+ y et p x y jx yj1=2: (b) Montrer que la
Master MEEF, MATH 701 Feuille 2 : fonctions dune variable réelle
continue sur Kalors elle est uniformément continue sur K 13 onctionF lipschitzienne Rappeler la dé nition d'une fonction -lipschitzienne et montrer qu'une telle fonction est uniformément continue sur R 14 Dérivabilité Soit f: IR une fonction dé nie sur un intervalle de R Soit aun point de I Rappeler la dé nition de fest
MPSI, Colles, Semaine 22, Sujet 1
On considère la fonction f(x) = x2 1 Montrer que f est lipschitzienne et uniformément continue sur [0;a], quel que soit a > 0 2 En raisonnant par l'absurde, montrer qu'elle n'est pas uniformément continue sur R + 3 Montrer que f n'est pas non plus lipschitzienne sur R + EX 4 Donner la dérivée n-ième de la fonction f(x) = exp(x)cos(x)
Espaces vectoriels normés de dimension finie
Toute fonction réelle continue sur une partie fermée bornée est bornée et atteint ses bornes Démonstration non exigible Fonction lipschitzienne Toute fonction lipschitzienne est continue Toute application linéaire sur un espace de dimension finie est lipschitzienne La notion de norme subordonnée est hors programme
Fonctions continues entre espaces 0 n 0 métriques
Par rapport à la dé nition de la continuité, on a remplacé 8x 2 X 9 > 0 par 9 > 0 8x 2 X : dépend toujours de ", mais ne dépend plus de x Toute fonction uniformément continue est continue, mais la réciproque est fausse Exercice 2 3 Montrer que la fonction x 7 x2 n'est pas uniformément continue sur R Exercice 2 4
Chapitre 7 Fonctions réelles dune ariablev réelle (2) Continuité
Dé nition 1 2 Une fonction f dé nie sur un intervalle ontenantc a est dite dis-ontinuec en a s'elle 'estn asp ontinuec en a Remarque : Si f tend vers f(a) seulement quand x tend vers a+ ( resp a −), on dit que la fonction f n'est continue qu'à droite ( resp à gauche ) en a
Chapitre 3 k - Claude Bernard University Lyon 1
Dé nition 3 15 Soit (X;d ),(Y;D ) deux espaces métriques Une fonction f :X Y est un homéomorphisme si f est une bijection telle que les fonctions f et f 1 soient continues Proposition 3 16 Soit (X;d ), (Y;D ) deux espaces métriques compacts, et f :X Y une bijection continue
Continuité, limites et prolongement par continuité
La fonction f(x) = ax+ ba-t-elle une fonction réciproque? Si oui, quelle est-elle? Exercice 19 Soit n2N (a) Si npair, montrer que la fonction n p est bien dé nie sur R+, et qu'elle est continue sur R+ (b) Si nimpair, montrer que la fonction n p est bien dé nie sur R, et qu'elle est continue sur R Exercice 20 (*) Soit f: R R continue
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