[PDF] Analyse – Math31

ONTINUITÉ 2 Continuité des fonctions

Une fonction continue sur son domaine de définition n'est pas forcément continue dans ℝ Par exemple, tan(x) est continue sur son domaine de définition, mais pas dans ℝ 2 3 Opérations sur les fonctions continues Chacun de ces résultats découle de la loi des limites correspondante (voir chapitre 1, §1 4)

Continuité et dérivabilité d’une fonction

La fonction valeur absolue x 7→ x est continue mais pas dérivable en 0 1 6 Continuité et équation Théorème 3 : Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonction continue sur un intervalle I =[a,b] Pour tout réel k compris entre f(a)et f(b), il existe un réel c ∈ I tel que f(c)=k Remarque : Ce théorème est admis

Continuité sur un intervalle - maths-francefr

Mais il faut se méfier : si D=I1∪ I2où I1=[0,1[ et I1=[1,+∞[, la continuité sur I1et sur I2n’assure pas la continuité Dcar une fonction continue sur I1et sur I2est continue à droite en 1mais n’est pas nécessairement continue en 1 Par contre, puisque

Chapitre 2 : Continuité et dérivabilité

Par exemple, la fonction valeur absolue est continue sur ℝ mais n’est pas dérivable en r La fonction racine carré est continue sur [ r;+∞[ mais n’est pas dérivable en r Exemple : La partie entière d’un nombre est le plus grand nombre entier inférieur ou égal à On le note ( ) ou encore ⌊ ⌋

Problème no 5 : Une fonction continue partout et dérivable

L’objet de ce problème est de construire une fonction définie sur [0,1] qui soit continue sur [0,1] et dérivable en aucun point de [0,1] On construit f comme la limite d’une suite de fonctions fn définies sur [0,1] On définit fn par récurrence : • f0 est la fonction définie par f0(x)=x pour tout x ∈ [0,1];

Etude de fonctions - Moutamadrisma

Analyse – Math31

(f) Soit f(x) = x2 définie sur J Montrer que fn’est pas uniformément continue (g) Montrer que f(x) = p xest uniformément continue mais pas de Lipschitz sur J Corrigé 1 Les trois premières questions sont relatives au cours a) La fonction fest uniformément continue si, pour tout ">0, il existe >0 tel que, si

Exercice 1 Corrig´e

Mais comme pour tout n∈ N, x Soit gune fonction continue de R dans R telle que g(0) 0 tel que fn’est pas continue en α