TD 3 – convexit´e (ensembles, fonctions), probl `emes
b) L’enveloppe convexe d’un ensemble A ⊂ Rn est d´efinie comme le plus petit ensemble convexe de Rn contenant A – que l’on note convA Montrer que convA = {x ∈ Rn: ∃ κ ∈ N,ai ∈ A,αi >0, tels que x = Pκ i=1αi ai et Pκ i=1αi = 1} Exercice 2 Ensembles convexes de matrices Soit S++ n l’ensemble des matrices d´efinies
Corrig e du devoir maison : convexit e
respectivement vers xet y Par convexit e de l’ensemble C, on a 8n 1; (1 t)x n + ty n 2C: Les op erations el ementaires sur les suites montrent que la suite ((1 t)x n + ty n) n converge vers (1 t)x+ ty On a donc bien montr e que ce dernier point est la limite d’une suite d’ el ements de C, et donc qu’il appartient a C
TD – analyse convexe
a) V´erifier qu’un ensembleP C ⊂ Rn est convexe si et seulement si ∀κ ∈ N, ∀x i ∈ C, ∀α i > 0 tels que κ i=1 α i = 1, on a P κ i=1 α i x i ∈ C b) L’enveloppe convexe d’un ensemble A ⊂ Rn est d´efinie comme le plus petit ensemble convexe de Rn contenant A – que l’on note convA Montrer que convA = {x ∈ Rn
Corrig´es d’exercices pour les TD 1 et 2
3 Montrons que B est l’ensemble A des suites r´eelles born´ees croissantes On montre d’abord de la mˆeme fac¸on qu’au d´ebut de la question 2 que B ⊂ A, c’est-a-dire qu’une limite de suites strictement croissantes est croissante R´eciproquement, soit (un) ∈ A Soit, pour p ∈ N∗, up n= u + 1 p nX+1 i=1 1 i2 Comme la s
Universit e Pierre et Marie Curie Master 1, 4M025 Ann ee 2014
Exercice 5 Soit Hun espace de Hilbert et Cun ensemble convexe ferm e non vide inclus dans H Une fonction F: CR est dite -convexe, pour >0, si et seulement si F(u) + F(v) 2 F u+ v 2 + 2 ku vk2: 1 Soit F: CR une fonction convexe s c i Montrer que F est minor ee par une fonction a ne continue : F(v) hx 0;vi+ c 0; ou x 0 2Het c 0 2R (On
Corrig´es d’exercices pour le TD 3 - Monteillet
l’exercice pr´ec´edent, on voit qu’il suffit de v´erifier que Bp est convexe Soient donc x,y∈ B p et λ∈ [0,1] On remarque que la fonction t→ t p est convexe sur [0,+∞[ car sa d´eriv´ee est croissante
Fonctions convexes 1 Dimension 1 - Institut de Mathématiques
Soit Iun intervalle ouvert de R On note A (I) l’ensemble des fonctions affines définies sur I 1 Montrer qu’une fonction ’: IR est convexe si et seulement si pour tout x2I, on a ’(x) = sup h2A (I) h ’ h(x): 2 Application : Inégalité de Jensen Soit ’: IR une fonction convexe et une mesure de
Optimisation et projection sur un convexe
Optimisation et projection sur un convexe Soit m un entier naturel et IRm l’espace euclidien usuel muni du produit scalaire not e ( ; ): On d esigne par jj jj la norme associ ee Soit K ˆ IRm un convexe ferm e non vide et P : IRm K la projection sur K : pour x appartenant a IRm; Px est l’unique point de K tel que jj x Pxjj jj x zjj
Continuité et convexité Exercices
Continuité et convexité – Exercices – Terminale ES/L – G AURIOL, Lycée Paul Sabatier c d 13 Pour chacune des fonctions suivantes, à l’aide de la calculatrice, indiquer les intervalles où la fonction proposée est concave ou convexe et donner les éventuels points d’inflexion a b variations c d
Exercices d’Analyse (deuxi`eme s´erie)
2 Une boule ouverte (resp ferm´ee) est convexe 3 Un segment est convexe 4 Une fonction est convexe si et seulement si son ´epigraphe G = {(x,f(x)),x ∈ C} est un ensemble convexe de E ×R 5 La somme, le sup de fonctions convexes (sur C) est convexe 6 Une application convexe sur C ouvert est continue (on pourra travailler en
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