Distributions - Université Paris-Saclay
Remarque 4 Pour ceux qui veulent en savoir plus , il faut dire qu’il est possible de d´efinir une notion de proximit´e entre deux fonctions de D C’est ce qu’on d´esigne sous le nom de topologie sur D [2] Exemple 5 Soient f une fonction int´egrable sur R, nulle en dehors d’un intervalle born´e et φ une fonction de D Alors leur
Continuité et dérivabilité d’une fonction
1 Continuité d’une fonction 1 1 Limite finie en un point Définition 1 : Dire qu’une fonction f a pour limite ℓen a, signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de f(x)pour x assez proche de a - c’est à direpour les x d’un intervalle ]a −η;a +η[ On note alors : lim x→a f(x)=ℓ ℓ a-η a a
Fonctions injectives, surjectives et bijectives
Une fonction f est dite surjective si et seulement si tout réel de l’image correspond à au moins un réel du domaine de définition En notation mathématique, on a ∀ ∈ ???? ( ∃ = ) Remarque(s) En termes d’ensembles, le cardinal de X est supérieur ou égal au Cardinal de Y En notation mathématique, on a
Limitesetcontinuitépourune fonctiondeplusieursvariables
Les propositions2 13et2 15sont très utiles pour montrer qu’une fonction est ou n’est pascontinueenunpoint: Exemple 2 20
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité
Si dans un énoncé, on demande de montrer qu’une fonction est dérivable sur un intervalle, il y a juste une phrase à faire Exemple Montrer que f(x) = (x² + 3x) x +8 est dérivable sur ]−8;+∞[ La fonction f est le produit d’un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d’une racine continue
Injection, surjection, bijection - Exo7
En fait on pourrait montrer directement que h est bijective en exhibant sa bijection réciproque (X;Y)7 (X+Y 2; XY 2) Mais vous devriez vous convaincre qu’il s’agit là d’une différence de rédaction, mais pas vraiment d’un raisonnement différent 4 Montrons d’abord que k est injective : soient x;x02Rnf1gtels que k(x)=k(x0) alors
4 Fonctions analytiques
Il y a une diff´erence fondamentale entre les cas d’une variable r´eelle et d’une variable complexe Prenons par exemple une fonction a valeurs r´eelles d’une vari-able complexe dont la d´eriv´ee existe en z = a D’une part, f0(a) doit ˆetre r´eelle, car c’est la limite du rapport f(a + h) − f(a) h (5 2)
5 Fonctions différentiables
43 5 Fonctions différentiables Soient E et F des espaces normés, Ω un ouvert de E, f et g deux applications de Ω dans F Définition − On dit que f et g sont tangentes en a si pour tout ε > 0 il existe un r > 0 tel que
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DERNIÈRE IMPRESSION LE7 novembre 2014 à 10:23
Continuité et dérivabilité d"unefonction
Table des matières
1 Continuité d"une fonction2
1.1 Limite finie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Continuité en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Continuité des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Théorème du point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Continuité et dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Continuité et équation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Dérivabilité6
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Interprétations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Interprétation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Interprétation numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.3 Interprétation cinématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Signe de la dérivée, sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Dérivée et extremum local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Dérivées des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.1 Dérivée des fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.2 Règles de dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1 Continuité d"une fonction
1.1 Limite finie en un point
Définition 1 :Dire qu"une fonction
fa pour limite?ena, signifie que tout intervalle ouvert contenant?contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un intervalle]a-η;a+η[. On note alors : lim x→af(x) =? a a+ηa-ηC f O?? Remarque :Parfois la fonctionfn"admet pas une limite ena, mais admet une limite à droite et une limite à gauche. C"est le cas de la fonction partie entièreE (voir plus loin). On a par exemple : limx→2-E(x) =1 et limx→2+E(x) =21.2 Continuité en un point
Définition 2 :Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalle ouvert I. Soitaun élément de I. On dit que la fonctionfestcontinueenasi et seulement si : lim x→af(x) =f(a) La fonctionfestcontinue sur un intervalle Isi, et seulement si,fest continue en tout point de I. Remarque :Graphiquement, la continuité d"une fonctionfsur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau. 1231 2 3 4 5-1
]Cf OFonctionfdiscontinue en 2
limx→2+f(x) =3?=f(2) 1231 2 3 4 5-1
Cf OFonctionfcontinue sur[-1,5; 5,5]
La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut". C"est le cas par exemple de la fonction partie entière ou plus pratiquement de la fonction qui représente les tarifs postaux en fonction du poids (brusque changement de tarif entre les lettres en dessous de 20 g et de celles entre 20 g et 50 g).PAULMILAN2 TERMINALES
1. CONTINUITÉ D"UNE FONCTION
D"autres discontinuités existent. C"est par exemple le cas en 0 de lafonctionf définie parf(x) =sin1 xpourx?=0 etf(0) =0. ?x?R,?n?Z,n?xE(2,4) =2 ;E(5) =5 ;E(-1,3) =-2
On observe alors un "saut" de la fonction pour
chaque entier. La fonction partie entière n"est donc pas continue pourxentier. 123-1 -21 2 3 4-1-2 O
Soit la fonctionfdéfinie par :???f(x) =sin1
xpourx?=0 f(0) =0La fonctionfn"est pas continue en 0 bien qu"on
n"observe ici aucun "saut". La fonction oscille de plus en plus autour de 0 si bien qu"au voisi- nage de 0, la fonction tend vers une oscillation infinie qui explique la non continuité. 1 -11-1O1.3 Continuité des fonctions usuelles
Propriété 1 :Admis
Les fonctions polynômes sont continues surR. La fonction inversex?→1xest continue sur]-∞;0[et sur]0;+∞[ La fonction valeur absoluex?→ |x|est continue surR. La fonction racine carréex?→⎷xest continue sur[0;+∞[ Les fonctionsx?→sinxetx?→cosxsont continues surR D"une façon générale, toutes fonctions construites par opération ou par com- position à partir des fonctions ci-dessus sont continues sur leur ensemble de définition, en particulier les fonctions rationnelles.1.4 Théorème du point fixe
Théorème 1 :Théorème du point fixe
Soit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?. Si la fonction associéefest continue en?, alors la limite de la suite?est solution de l"équationf(x) =x.PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Démonstration :
On sait que la suite(un)est convergente vers?donc : limn→+∞un=? De plus, la fonctionfest continue en?donc : limx→?f(x) =f(?)Par composition, on en déduit que : lim
n→+∞f(un) =f(?)?limn→+∞un+1=f(?) or lim Exemple :Reprénons l"exemple du chapitre 2, soit la suite(un) ?u0=0 u n+1=? 3un+4 On a montré que la suite(un)était positive, croissante et majorée par 4, elle est donc convergente vers?. La fonctionx?→⎷3x+4 est continue sur[0;4], donc?
est solution de l"équationf(x) =x.3x+4=xon élève au carré
3x+4=x2
x2-3x-4=0
Cette équation a-1 et 4 comme solution. Or on sait queun?0. On en déduit que la seule solution acceptable est 4. La suite(un)converge vers 4.1.5 Continuité et dérivabilité
Théorème 2 :Admis
Sifest dérivable enaalors la fonctionfest continue ena. Sifest dérivable sur un intervalle I alors la fonctionfest continue sur I. ?La réciproque de ce théorème est fausse Remarque :Laréciproquedecethéorèmeestfausse.Pours"enrendrecompte,on peut s"appuyer surunereprésentation graphique.Siunefonction est continuesur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau. Sila fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points. Un petit exemple :La fonction dont la représentation est
ci-contre, est bien continue ena, car la courbe est en un seul morceau.Par contre, la fonction n"est pas déri-
vable ena, car la représentation admet au point A deux demi-tangentes.Onditquelacourbeadmetunpointan-
guleux A O a?PAULMILAN4 TERMINALES
1. CONTINUITÉ D"UNE FONCTION
La fonction valeur absoluex?→ |x|est continue mais pas dérivable en 0.1.6 Continuité et équation
Théorème 3 :Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonctioncontinuesur un intervalle I= [a,b]. Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), il existe un réelc?I tel quef(c) =k.Remarque :Ce théorème est admis.
Ce théorème résulte du fait que l"image
d"un intervalle deRpar une fonction continue est un intervalle deRVoici une illustration graphique. Icik
est bien compris entref(a)etf(b).L"équationf(x) =kadmet donc des so-
lutions.Le fait quecexiste ne veut pas dire
qu"il soit unique. Dans notre exemple, il existe ainsi trois valeurs pourc. abf(a) f(b)k c1c2c3O
Théorème 4 :Théorème des valeurs intermédiaires bis Soit une fonctionfcontinue et strictement monotonesurI= [a,b]. Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), l"équationf(x) =ka une unique solution dans I= [a,b] Démonstration :L"existence découle du théorème précédent, et l"unicité de la monotonie de la fonction.Remarque :
On généralise ce théorème à l"intervalle ouvertI=]a,b[.kdoit alors être com- pris entre limx→af(x)et limx→bf(x) Lorsquek=0, on pourra montrer quef(a)×f(b)<0.Ce théorème est parfois appelé le théorème de la bijection car lafonction réalise
une bijection de I surf(I). Un tableau de variation pourra être suffisant pour montrer la continuitéet la monotonie de la fonction. Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x3+x-1. Montrer que l"équationf(x) =0 n"admet qu"une solution surR. On donnera un enca- drement à l"unité de cette solution. Trouver ensuite, à l"aide d"un algorithme un encadrement à 10 -6de cette solution.PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
123-1 -20.5 1.0 1.5 Oα
La fonctionfest une fonctioncontinuesurRcarf
est un polynôme.La fonctionfest la somme de deux fonctions crois-
santesx?→x3etx?→x-1, doncfeststrictement croissantesurR.On af(0)=-1 etf(1)=1?f(0)×f(1)<0
donc d"après le théorème des valeurs intermé- diaires, la fonctionfadmet un uniqueα?[0,1] tel quef(α) =0.Algorithme :Un algorithme utilisant le
principe dedichotomie(on divise l"intervalle en deux et on réitère l"opération) permet de trouver une approximation deαà la précision demandée. On pose :AetBles bornes de l"intervalle.
Pla précision (entier positif).
Nle nombre d"itérations.
On rentre alors :A=0,B=1,P=6 et
f(x) =x3+x-1On obtient alors :A=0,682 327,B=0,682 328
etN=20. Il faut donc 20 itérations pour obtenir la préci- sion demandéeVariables:A,B,Créels
P,Nentiersffonction
Entrées et initialisation
LireA,B,P
0→N
Traitement
tant queB-A>10-Pfaire A+B2→C
sif(A)×f(C)>0(*)alorsC→A
sinonC→B
finN+1→N
finSorties: Afficher :A,B,N
?Cette algorithme ne fonctionne que sik=0, si l"on veut généraliser cet algorithme à un réel
kquelconque, on peut : demander à lireKet changer la ligne étoilée par : f(A)-K)×(f(C)-K)>0 au lieu de rentrer la fonctionf, on rentre la fonctiongtelle que : g(x) =f(x)-k