OPTIMISATION – POINTS CRITIQUES 1
OPTIMISATION – POINTS CRITIQUES Détermination des coordonnées d’un point critique : Un point critique d’une fonction est un point ; tel que les dérivées partielles de et soient nulles Pour déterminer le point critique, on va donc résoudre le système : , =0 , =0 Détermination de la nature d’un point critique :
Fonctions de deux variables - unicefr
Points critiques On a compris qu’une fonction d´erivable d’une variable atteint ses bornes l`a ou` sa d´eriv´ee s’annule (ou au bord de son DD) A deux variables c’est pareil, sauf que la d´eriv´ee est remplac´ee par le gradient D´efinition Les points critiques d’une fonction f de deux variables sont les
Fonctions de deux variables
Points critiques On a compris qu’une fonction d erivable d’une variable atteint ses bornes l a ou sa d eriv ee s’annule (ou au bord de son DD) A deux variables c’est pareil, sauf que la d eriv ee est remplac ee par le gradient D e nition Les points critiques d’une fonction f de deux variables sont les points ou son gradient s’annule
Feuille d’exercices no 5 Fonctions de plusieurs variables III
Fonctions de plusieurs variables III : points critiques et extrema Exercice 5 1 Extrema d’une fonction d’une variable Soit la fonction d’une variable d e nie par f(x) = 3x4 2x6: 1 Trouver les points critiques de f 2 Calculer le d eveloppement limit e a l’ordre 2 de f en chacun de ces points 3
X Algorithmes d’optimisation
Pour trouver les points extrêmes (ou points critiques) d’une fonction de deux variables, par exemple : f (x, y) = x 3 +y 3 +3x 2 -3y 2 -8, on doit trouver les points qui annulent les dérivés
MATHEMATIQUES - geedhecedu
Les points critiques de f sont les couples ( x, y) qui annulent simultanément ces deux dérivées premières Les points critiques de f sont donc les solutions de x2 =y2, ce qui équivaut à x = y ou x = –y Comme x et y sont tous les deux strictement positifs, il reste : x = y
Extremums locaux, gradient, fonctions implicites
Trouver les points critiques de la fonction f suivante et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle f(x;y)=sinx+y2 2y+1 Indication H Correction H [002642] Exercice 3 1 Soit f une fonction réelle d’une variable réelle de classe C2 dans un voisinage de 02Rtelle que f(0)=0 et f0(0) 6=0 Montrer que la
des fonctions de plusieurs variables et des ´equations diff
1 2 Repr´esentation graphique d’une fonction de deux variables 1 2 1 D´efinition Avant de donner la d´efinition du graphe d’une fonction de deux variables nous allons rappeler ce qu’est le graphe d’une fonction d’une variable D´efinition 2 Soit f: D −→ R x −→ f(x)
Exercice 1 - imag
où A est une fonction quelconque de classe C2 d’une variable, et B est une fonction quelconque de classe C2 d’une variable Exercice 3 Soit D,E deux domaines de R2 et φ: D −→ E qui définit un changement de variable φ(x,y) = (X,Y) Soit f∫: D −→ R une fonction Donnez la formule de changement de variable qui permet de
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Univesit
e Paris Nord { Licence 2 mention Physique-Chimie { Annee 2014-2015 M ethodes Mathematiques pour les Sciences PhysiquesFeuille d'exercices n o5Fonctions de plusieurs variables III : points critiques et extremaExercice 5.1.| Extrema d'une fonction d'une variable
Soit la fonction d'une variable denie par
f(x) = 3x42x6:1.Trouver les points critiques def.
2.Calculer le developpement limite a l'ordre 2 defen chacun de ces points.
3.Parmi les points critiques def, lesquels sont degeneres ?
4.Pour chacun des points critiques non degeneres def, dire s'il s'agit d'un maximum ou d'un
minimum local.5.Le point critique degenere defest-il un maximum local ? un minimum local ?
6.Tracer le tableau de variation def. Est-il coherent avec vos reponses precedentes? Les extrema
locaux sont-ils des extrema absolus ?Exercice 5.2.| Recherche de points critiques de fonctions de deux variables
Trouver les points critiques des fonctions suivantes. f1(x;y) = 1 +x+y+x2xy+y2f2(x;y) =x3+ 3x2y15x12y
f3(x;y) = (1x)(1y)(x+y1)f4(x;y) =1 +y2ex2
f5(x;y) = exp(x2+xy+y2+ 3x)f6(x;y) =x2+x(ey1)
f7(x;y) =xyx+yxy
f8(x;y) =xyln(xy) f9(x;y) = cos(x) + cos(y)f10(x;y) = cos(x+y)cos(xy)Exercice 5.3.| Points critiques de la fonction presqu'^le
On considere une fois de plus la \fonction presqu'^le f(x;y) =x33 xyy2+x+32 Rechercher les points cirtiques def, puis donner la nature (degenere, maximum local, minimum local ou point selle) de chacun de ces points critiques. Verier que ce que vous trouvez est coherentavec l'allure du graphe def.Exercice 5.4.| Nature des points critiques des fonctions de deux variables
Determiner la nature (degenere, maximum local, minimum local ou point selle) des points critiques des fonctions de l'exercice 5.3.Exercice 5.5.| Surface d'une boite de volume xe
On considere la fonction denie par
f(x;y) =xy+2x +2y1.Quel est le domaine de denition def? Trouver les points critiques def.
2.On considere une bo^te en cartonsans couverclede volume 1, dont la base a pour dimensions
xy.a.Montrer que la surface des parois de la boite est donnee parf(x;y).b.Montrer qu'il existe de telles bo^tes (de volume 1 et sans couvercle) avec une surface aussi grande qu'on veut (les dessiner !).c.Pensez-vous alors que le point critique defest un minimum ou un maximum (local ou absolu ?), ou ni l'un ni l'autre?Exercice 5.6.|Etude d'un point critique degenere
On considere la fonction denie parf(x;y) = (x2y)(2x2y). On voudrait savoir si (0;0) est un extremum local.1.Montrer que (0;0) est un point critique.
2. Ecrire la formule de Taylor a l'ordre 2 au point (0;0) : quelle est la nature du point critique (0;0) ? Que peut-on en deduire pour notre probleme? 3. Etudier le signe def(x;y) en fonction dexety: faire un dessin dans le plan (Oxy) en indiquant les regions ouf >0,f= 0,f <0. Repondre a la question initiale : le point (0;0) est-ilun maximum ou un minimum local ?Exercice 5.7.| Nature des points critiques et allure des lignes de niveaux