Théorie sur la racine cubique
Théorie sur la racine cubique www sylvainlacroix ca 7 343 Donc la racine cubique de 343 est 7, car 7 x 7 x 7 = 343 /*****/ Différentes notations de la racine cubique Différentes notations de la racine carrée Si on émet une conjecture Sur la calculatrice , pour faire 3 343 , il suffit de taper les touches suivantes : 3 x y 343
Première ES - Fonction cube - Parfenoff org
IV) Les problèmes que posent la fonction cube La fonction cube est présente au programme de la classe de première économique et sociale A l’instar de la fonction racine carrée, elle présente deux difficultés spécifiques : • Un problème lié à la recherche d’antécédents ;
TS Exercices sur les limites de suites (2) N 2
La fonction « racine cubique » est la bijection réc 2°) On ne peut rien dire 3°) lim n n u 3 n u n nn lim n n u Déterminons un entier naturel N tel que si n N , alors 10 ;6 un 1ère façon : en utilisant la racine cubique d’un réel 10 6 un 6⇔ n n 10 6 2 6⇔ 2
FICHES 41 - MANIPULATION DE FONCTIONS
fonction cubique x3, la fonction racine carrée (notée souvent ), la fonction racine cubique , la fonction inverse (1/x) et la fonction valeur absolue x ainsi que les trois fonctions trigonométriques sin x, cos x et tan x Appelons cette fonction de départ f (Dans les exemples ci-dessous, on prendra comme
Complément fonctions de référence : Fonction racine carrée et
Complément fonctions de référence : Fonction racine carrée et Fonction cube 3 2- Variation Préambule : montrer que pour tous réels et 5, −5 = −5 3 +5 +5 3 Théorème : La fonction cube est strictement croissante sur ℝ Démonstration : Tableau de variation −∞ +∞ Fonction cube 3- Courbe représentative
Chapitre 4 : Manipulations graphiques
1 1 La fonction identité = Il s’agit de l’équation d’une droite passant par l’origine et de pente 1 ( =+ 1 6 La fonction racine cubique =
Domaine et racines d’une fonction
2ème cas : la fonction contient une racine paire Il faut que le radicant (l’intérieur de la racine) soit nul ou positif Dans la plupart des cas, on aura donc une inéquation que l’on résoudra avec un tableau de signes après factorisation Exemple : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 : 1 0 1 1 022 1 1 11: , 1 1, 00 x f x x CE R x x R x x x x x dom
LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE - Maths & tiques
III Fonction racine carrée 1 Définition Définition : La fonction racine carrée [est la fonction f définie sur 0 ; +∞[ par "($)=√$ 2 Représentation graphique Remarque : La fonction racine carrée n’est pas définie pour des valeurs négatives Résoudre une inéquation avec la fonction racine carrée : Vidéo https://youtu be
9 Les dérivées - uliegebe
La fonction f peut d’ailleurs avoir une multitude de comportements différents entre les points x 0 etuetdonnerlemêmetauxd’accroissemententrex 0 etu On s’intéresse au taux de croissance “instantané” de la fonction f en x 0: la fonction A x 0 n’est pas définie en x 0, donc il ne s’agit pas de calculer sa valeur en x
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9. Les dérivées
Dans ce chapitre nous allons revoir la notion de dérivée. C"est un outil fondamental en mathématique
qui permet de mesurer les variations locales (c"est-à-dire au voisinage d"un point donné) des valeurs
d"une fonction donnéef. Elle permet aussi de déterminer, par son signe, si une fonction est croissante ou
décroissante. Elle a évidemment de nombreuses applications en sciences quand on calcule des vitesses,
en physique ou en chimie. Il est aussi important de remarquer que de nombreux problèmes peuventêtre modélisés par des équations mettant en jeu une fonction et sa ou ses dérivées. C"est notamment
le cas lois de Newton, mais c"est aussi le cas quand on veut modéliser des évolutions de populations,
par exemple en biologie. Malheureusement, la théorie des équations différentielles, puisque c"est d"elles
qu"il s"agit, sort du cadre de ce cours préparatoire.Comme dans le module précédent, je poserai d"abord les définitions, puis il y aura quelques exemples
de dérivées de fonctions simples, et ensuite quelques théorèmes de calcul qui s"exprimeront encore en
termes des constructions habituelles de fonctions. Cela nous permettra de faire une liste des dérivées
des fonctions que nous avons rencontrées jusqu"à présent. Nous reverrons également les théorèmes
fondamentaux qui lient dérivées et variations des fonctions.1 Nombre dérivé et fonction dérivée : définitions
Rappelons d"abord ce qu"est le taux de croissance moyen d"une fonction en un pointx0.1.1 Taux de croissance moyen
Soitfune fonction deRdansRetx0?domf. Nous nous intéressons à la variation moyenne (encore appelée taux d"accroissement moyen) des valeurs def(on dit defpour faire court) entrex0 et un pointu?=x0. La définition est naturelle : Définition 1.1.Pouru?=x0, letaux de variationdefentrex0etuest A x0(u) =f(u)-f(x0)u-x0.Géométriquement, le taux de croissance est lapentede la droite passant par les points(x0,f(x0))
et(u,f(u)), ou la pente de la fonction du premier degré correspondante.Voici ce que cela donne sur la représentation graphique. A gauche, le casu > x0et à droite le cas
u < x0:-2-111
x0uf(x0)f(u)1
-21x0f(x0)u
f(u)11 Nombre dérivé et fonction dérivée : définitions
Vous avez certainement vu des applications de ce taux de croissance moyen. En physique par exemple, si on notef(t)la distance parcourue par un mobile entre le temps 0 et le tempst, alorsf(u)-f(x0) est la distance parcourue entre le tempsx0et le tempsupouruplus grand quex0. Si on la divise parle temps qu"il a fallu pour effectuer le déplacement, cela donne la vitesse moyenne. Ce nombre n"est
rien d"autre que f(u)-f(x0)u-x0,pouru > x0. De plus, siu < x0, alors la distance parcourue entre les deux instants considérés est
f(x0)-f(u), tandis que la différence de temps estx0-u. On arrive donc au même résultat.1.2 Le nombre dérivé
Sur la représentation graphique précédente, on constate que si le taux de croissance entrex0etu
donne une information surf, cette information surfn"est pas liée au pointx0: elle dépend évidement
deu. La fonctionfpeut d"ailleurs avoir une multitude de comportements différents entre les points x0etuet donner le même taux d"accroissement entrex0etu.
On s"intéresse au taux de croissance "instantané" de la fonctionfenx0: la fonctionAx0n"est pas définie enx0, donc il ne s"agit pas de calculer sa valeur enx0, mais on peut s"interroger sur son comportement pour des valeurs deu"arbitrairement proches" dex0. Nous avons déjà un moyend"analyser un tel comportement : nous définissons naturellement le taux de croissance instantané
comme la limite de la fonctionAx0enx0, du moins quand cette limite existe. Remarque 1.2.Puisque la fonctionAx0est un quotient, on adomAx0= domf\ {x0}. Pour qu"on puisse envisager la limite en question, il faut donc que toutx0soit adhérent àdomf\ {x0}.Cette condition technique ne posera en général pas de problème pour les fonctions que vous ren-
contrerez en sciences. On peut maintenant donner la définition. Définition 1.3.Soitf:R→Rune fonction etx0un point adhérent àdomf\ {x0}. On dit quef est dérivable enx0si la limite lim u→x0f(u)-f(x0)u-x0 existe et est finie. Si tel est le cas, la valeur de cette limite est le nom bredériv éde fenx0. On le note f ?(x0), ouDf(x0)ou encoredfdx (x0).Remarque 1.4.Dans la suite, afin d"éviter des résultats contre-intuitifs, nous supposerons pour
calculer le nombre dérivéf?(x0)quefest définie sur un voisinage dex0, c"est à dire au moins sur
]x0-δ,x0+δ[pour un nombreδstrictement positif. Avant d"aller plus loin, je donne une autre notation, que vous avez certainement rencontrée. Sif est dérivable enx0, au lieu d"exprimer le taux d"accroissement en fonction deu, on écritu=x0+h (ce qui donneh=u-x0), et on obtient alorsa f ?(x0) = limh→0f(x0+h)-f(x0)hCette expression est due à Leibniz
b. Elle exprime le nombre dérivé en comme la limite d"un quotientqui dépend d"un accroissementh. Les deux expressions du nombre dérivé enx0données ci-dessus sont
parfaitement équivalentes : si une limite existe, alors l"autre aussi, et elles sont égales.On peut maintenant définir la tangente au graphe defenx0. Intuitivement, dans la représentation
graphique de la page précédente, on a dessiné des "sécantes" au graphe enx0: ces droites passent par
le point(x0,f(x0))du graphe et aussi par le point(u,f(u)). On pourrait dire, toujours intuitivement,que lorsqueutend versx0, ces droites tendent vers la tangente, qu"il n"est pas difficile de dessiner. Nous
n"avons cependant pas défini la limite d"une telle famille de droites c. L"idée pour définir la tangenteest qu"elle passe par(x0,f(x0)). On connaît alors cette droite dès que sa pente est connue. On définit
alors sa pente comme la limite des pentes des sécantes, qui est le nombre dérivé defenx0.a. Techniquement, on utilise le théorème sur les limites de fonctions composées.
b. Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646-1716, mathématicien Allemand, fondateur avec Isaac Newton du calcul infi-
nitésimal, qui nous occupe durant ce chapitre.c. Cela ne poserait aucun problème du point de vue mathématique, mais cela sort du cadre de ce cours préparatoire.P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 2
1 Nombre dérivé et fonction dérivée : définitions
Définition 1.5.On appelletangente au graphe defau point de coordonnées(x0,f(x0))la droiteTx0d"équation
y=f(x0) +f?(x0)(x-x0). Voici la tangente au graphe de la fonction que nous avons considérée plus haut.-2-101x 0T x0Vous pouvez imaginer le comportement de cette tangente quandx0varie. Vous verrez alors qu"il n"estplus question d"avoir des propriétés comme celle de la tangente au cercle, qui ne coupe le cercle qu"en
un point : la tangente au graphe enx0peut couper le graphe en des points différents de(x0,f(x0)).Passons maintenant aux nombres dérivés à gauche et à droite. L"idée qui donne la définition est la
même que dans le cas des limites ou de la continuité à gauche et à droite : on ne tient compte que
d"une partie des accroissements.Définition 1.6(Nombre dérivé à droite).Sifest définie sur[x0,x0+δ[, pour unδ >0, alorsfest
dérivable à droite enx0si lim u→x+0f(u)-f(x0)u-x0
existe et est fini. Ce nombre est alors notéf?+(x0)et est appelé nombre dérivé à droite defenx0.
Définition 1.7(Nombre dérivé à gauche).Sifest définie sur]x0-δ,x0], pour unδ >0, alorsfest
dérivable à gauche enx0si lim u→x-0f(u)-f(x0)u-x0
existe et est fini. Ce nombre est alors notéf?-(x0)et est appelé nombre dérivé à gauche defenx0.
Le théorème sur les limites à gauche et à droite donne alors directement le résultat suivant.
Proposition 1.8.La fonctionfdéfinie sur un voisinage dex0est dérivable enx0si et seulement sielle est dérivable à droite et à gauche enx0et les nombres dérivés à gauche et à droite coïncident.
Comme le nombre dérivé enx0permet de définir la tangente enx0, les nombres dérivés à droite et
à gauche permettent de définir lesdemi-tangentes à droite et à gauche. Cette définition n"est utile que
si la fonction n"est pas dérivable enx0.Définition 1.9.On appelle demi-tangente à droite au graphe defau point de coordonnées(x0,f(x0))
la demi-droiteT+x0d"équation
y=f(x0) +f?+(x0)(x-x0)x>x0. On appelle demi-tangente à gauche au graphe defau point de coordonnées(x0,f(x0))la demi-droite T -x0d"équation
y=f(x0) +f?-(x0)(x-x0)x6x0. Quand les demi-tangentes existent enx0mais sont de pentes différentes, on dit que(x0,f(x0))est unpoint anguleux.P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 3
1 Nombre dérivé et fonction dérivée : définitions
Exemple 1.10.1.Soit la f onctionmo dule,ou v aleurabsolue, | · |:R→R:x?→ |x| Si on veut calculer le nombre dérivé enx0= 0, on est amené à calculer la limite lim u→0|u| - |0|u-0= limu→0|u|uet nous savons que cette limite n"existe pas. Par contre, les limites à droite et à gauche existent.
Le nombre dérivé à droite vaut1et le nombre dérivé à gauche vaut-1. 2. Si on admet (comme nous l"a vonsfait) que les fonctions sin uset cosin usson tcon tinues,et que lim x→0sin(x)x = 1d, alors on peut montrer que la fonction sinus est dérivable en toutx0?Ret que son nombre dérivé enx0vautcos(x0). Cela demande de connaître les formules de Simpson de la trigonométrie. En effet, on a sin ?(x0) = limu→x0sin(u)-sin(x0)u-x0=2sin(u-x02 )cos(u+x02 )u-x0.On arrive alors au résultat annoncé en utilisant que la fonction cosinus est continue et la valeur
de la limite lim u→x02sin( u-x02 )u-x0= limy→0sin(y)y = 1, comme nous l"avons admis. 3.On p ourraitfaire d emême a vecla fonction cosin us,mais nous utiliserons les théorèmes de la
section suivante pour obtenir ce résultat. 4.La fonction
f:R→R:x?→ |sinx| admet un point anguleux en0, puisque pourx?[0,π]elle coïncide avec la fonctionsinet pour x?[-π,0]avec la fonction-sin. Voici la représentation graphique de cette dernière fonction.-3-2-112301T +0T -01.3 La fonction dérivéeLa définition de la fonction dérivée d"une fonctionfest évidente : elle associe à tout pointxle
nombre dérivé defau pointx. Définition 1.11.Soitfune fonction. La fonction dérivée def, notéef?ouDfest la fonction f ?:R→R:x?→f?(x) = limu→xf(u)-f(x)u-x. Le domaine de dérivabilité defest le domaine de définition def?, on le note parfoisdomdf.Voici encore quelques conventions et notations.d. On exprime les arguments en radians, sinon cela n"est pas vrai.
P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 4
1 Nombre dérivé et fonction dérivée : définitions
Définition 1.12.Une fonctionfest dérivable sur]a,b[si elle est dérivable en tout point de]a,b[. Elle
est dérivable sur[a,b]si elle est dérivable sur]a,b[, dérivable à droite enaet à gauche enb.
En utilisant la notation de Leibniz vue plus haut, on obtient : f ?(x) = limh→0f(x+h)-f(x)h Le quotient est alors le quotient de deux accroissements :Δf=f(x+h)-f(x)est la variation des valeurs defquand on passe dexàx+htandis que le dénominateur est la variationΔx= (x+h)-x. On rencontre donc dans les cours de sciences (avec des notations assez libres) : f ?(x) = limΔx→0ΔfΔx=dfdx On va même parfois un peu plus loin en "posant"y=f(x), on a alors la notation f ?(x) =dydxCette notation a l"avantage de de rappeler que la dérivée mesure une variation instantanée. Elle aura
d"autres avantages dans la mémorisation des règles de calcul des dérivées qui vont être énoncées après
les premiers exemples que voici. Exemple 1.13.1.T outefonction f1:R→R:x?→cest dérivable surR: on af?1(x) = 0, pour toutx?R. En effet, la valeur de la dérivée enx?Rest lim u→xf1(u)-f1(x)u-x.
Mais surR\ {x}la fonction dont on calcule la limite vaut 0. Donc sa limite enxest nulle. 2.La fonction iden tiquef2:R→R:x?→xest dérivable surRet sa dérivée est la fonction constante