Polynômes - Université Paris-Saclay

Déterminer le PGCD de et et en déduire les racines communes de et ainsi que leur multiplicité Allez à : Correction exercice 34 Exercice 35 Quels sont les polynômes de ℂ[ ] tels que ′ divise Allez à : Correction exercice 35 Exercice 36 Soit ( )=2 4+3 3− 2+3 +2 On pose = +1 ???? 1

Les polynômes - AlloSchool

Exercices d’application PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS Avec solutions Exercice1 : Déterminer parmi les expressions suivantes ceux qui sont des polynômes et déterminer si c’est possible leurs degrés : a 2 12 323 42 P x x x ; Q x x x x 2 R x x x 5 2 5 4 5; 2427 3 M x x x x

Corrigé exercices : les polynômes

Corrigé exercices : les polynômes Exercice 1 : Développer, réduire et ordonner chacun des polynômes suivants selon les termes de degrés décroissants :

1 Opérations sur les polynômes - Cours et exercices de

2 Factoriser les polynômes suivants : a) X2 +(3i 1)X 2 i b) X3 +(4+i)X2 +(5 2i)X +2 3i Correction H Vidéo [006959] Exercice 7 Pour quelles valeurs de a le polynôme (X +1)7 X7 a admet-il une racine multiple réelle? Correction H Vidéo [000410] Exercice 8 Chercher tous les polynômes P tels que P+1 soit divisible par (X 1)4 et P 1 par (X +1)4

Chapitre n°5 : Les polynômes - Corrigé

Exercices complémentaires : Les polynômes (Première partie) - Corrigé – Page 2 - Compétence exercée : appliquer une procédure Exercice n°4 Ecris en notation scientifique les nombres suivants, en arrondissant la mantisse au centième près : a) -457,1254000 -4,57 102 b) 7 102 (-3,1 10-3) -2,17

Planche no 26 Polynômes : corrigé

où λ est un réel non nul, k et l sont des entiers naturels, les ai sont des réels deux à deux distincts, les αi et les βi des entiers naturels et les (x −zj)(x −zj)des polynômes deux à deux premiers entre eux à racines non réelles Tout d’abord, pour tout réel x, Yl j=1

Polynômes du deuxième degré - delezename

Polynômes du deuxième degré, exercices avec corrigés Author: Marcel Délèze Subject: Mathématiques, polynômes du deuxième degré, niveau secondaire II (lycée), exercices avec corrigés Keywords: mathématiques, polynôme, deuxième degré, secondaire, lycée, exercices, corrigés Created Date: 7/9/2018 10:00:39 AM

Polynômes - Université Paris-Saclay

Trouver tous les polynômes P tels que P(X)+1soit divisible par (X−1)3 et P(X)−1 soit divisible par (X +1)3 par les deux méthodes suivantes : a En utilisant la relation de Bezout, b En considérant le polynôme dérivé 2 2 4 SOURCE Déterminer les entiers naturels n tels que P(X) = (X −1)n −Xn +1 ait une racine double dans C 2 2

Exercices de révisions : Polynômes

Exercices de révisions : Polynômes Attention, seuls les correctifs des 3 premières questions sont disponibles sur le site internet Exercice 1 Soit ( ) ( ) ( ) 1 Réduis, si nécessaire, les termes semblables et ordonne les polynômes par rapport aux puissances décroissantes de la variable 2 Les polynômes précédents sont-ils complets

Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange

Correction : Ici on procède de la même manière que précédemment en remar- quant que 1 et 2 sont racines de P c On obtient par le même raisonnement que précédemment P c(X) = −(X−2)(X−1)

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AccueilPage de TitreSommaire??????Page1de23RetourPlein écranFermerQuitterPolynômesMarie-Claude DAVID, Myriam DÉCHAMPSMarie-Claude.David@math.u-psud.fr7 mars 2003Ce document, destiné à nos collègues enseignants, réunit

des exercices sur les polynômes et sur les polynômes et l"algèbre linéaire. Ils ont été utilisés par les auteurs en

M1MIAS décalé de 1992 à 1995.

Les sources latex sont disponibles.

AccueilPage de TitreSommaire??????Page2de23RetourPlein écranFermerQuitterTable des matières1 Divisibilité31.1 Degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.2 Division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.3 Calcul de PGCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.4 Relation de Bezout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Décomposition en facteurs irréductibles, racines72.1 Décomposition en facteurs irréductibles. . . . . . . . . . .72.2 Racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 Extraits de partiels114 Polynômes et algèbre linéaire134.1 Sous-espaces vectoriels deK[X].. . . . . . . . . . . . . .134.2 Bases deKn[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154.3 Polynômes d"interpolation de Lagrange. . . . . . . . . . .164.4 Applications linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184.5 Matrices d"applications linéaires. . . . . . . . . . . . . . .214.6 Systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22LesmacrosutiliséesdanslefichierLatexdecesexercicessontdisponibles

audébut du fichier source.

AccueilPage de TitreSommaire??????Page3de23RetourPlein écranFermerQuitter1.Divisibilité1.1.Degré1.1.1.SOURCEQuel est le degré des polynômesP,Q,P+QetPQsi :a.P(X) = 2aX2+a2X+betQ(X) =cX2+c2X+ 4b.P(X) =aX3-bX2+cX+detQ(X) =bX2+c2X?1.1.2.SOURCESoitP?le polynôme dérivé du polynômePà coefficients réels. Pourαun

réel fixé, on appellefα(P)le polynôme(2X-α)P(X) + (1-X2)P?(X).

Quel est le degré defα(P)?1.2.Division euclidienne1.2.1.SOURCEDans chacun des cas suivants, divisez le polynômeApar le polynômeB,

trouvez le resteRet le quotientQet vérifiez l"égalitéA=BQ+R:a.A=X4-X3+ 2X2+X-1etB=X2+X-1. (corrigé :Q(X) =X2+X+ 1etR(X) = 0)b.A=X5+X+ 1etB=X3-X2+ 1.

AccueilPage de TitreSommaire??????Page4de23RetourPlein écranFermerQuitterc.A=X3+ 5X2-3X+ 1etB=X4+X.

(corrigé :Q(X) = 0etR=A)d.A=X2-jX+ 7etB=jX+ 1avecj=-12+i⎷32.

(corrigé :Q(X) = ¯?X+ ¯?R(X) = 7-¯?)e.A=iX2-3jX-ietB=X3+jX+⎷2-i.1.3.Calcul de PGCD1.3.1.SOURCECalculer lePGCDdes polynômesPetQsi :a.P(X) =X6-2X5+X4-X2+ 2X-1etQ(X) =X5-3X3+

2+ 2X-1.b.P(X) =X6-7X4+8X3-7X+7etQ(X) = 3X5-7X3+3X2-7.c.P(X) =X6+X5-X4-2X3-X2+X+1etQ(X) =X5+X3-

2-1.d.P(X) =X4+X3-3X2-4X-1etQ(X) =X3+X2-X-1.

(corrigé :PGCD(P,Q) =X+ 1)e.P(X) =X5+X4+2X3-2X+3etQ(X) =X4+3X3+7X2+8X+6. (corrigé :PGCD(P,Q) =X2+X+ 3)

AccueilPage de TitreSommaire??????Page5de23RetourPlein écranFermerQuitter1.3.2.SOURCEDonner une condition nécessaire et suffisante suraetbpour que les po-

lynômesX7-aetX5-bsoient premiers entre eux.1.4.Relation de Bezout1.4.1.SOURCEEtant donné deux polynômesAetBdeR[X], le théorème de Bezout

affirme queAetBsont premiers entre eux dansR[X]si et seulement si il existe un couple(U,V)de polynômes deR[X]tel queAU+BV= 1. On

suppose queAetBsont premiers entre eux.a.Montrer que, si les couples(U1,V1)et(U2,V2)vérifient le théorème de

Bezout pourAetB, le polynômeV1-V2(resp. le polynômeU1-U2)

est divisible parA(resp.B).b.Montrer qu"il existe un unique couple(U0,V0)vérifiant :(i)AU0+BV0= 1(ii)deg(U0) deR[X]tels queAU+BV= 1.d.Que pensez-vous de cet exercice si l"équation à résoudre estAU+

BV=PoùPest un polynôme quelconque deR[X].

AccueilPage de TitreSommaire??????Page6de23RetourPlein écranFermerQuitter1.4.2.SOURCESoientA(X) =X7-X-1etB(X) =X5+ 1deux polynômes de

R[X]. Montrer que les polynômesAetBsont premiers entre eux et trouver des polynômesUetVtels queUA+V B= 1. (corrigé : Grâce à l"algorithme d"Euclide, on peut écrireUA+V B= 1 avec :

U(X) =X4-X2+XetV(X) =-X6+X4-X3+X+ 1)1.4.3.Exercice du premier test 1992-1993SOURCEOn considère les polynômes deR[X]suivants :

A(X) =X3etB(X) =X2+ 3a.Montrer queAetBsont premiers entre eux sans calculer leurPGCD.b.Trouver tous les couples(U,V)de polynômes deR[X]tels queAU+

BV= 1.c.On cherche les polynômesPdeR[X]tels queP(X) + 1soit divisible parX2+ 3etP(X) + 2soit divisible parX3. Trouver les polynômes Pde degré minimum vérifiant ces conditions puis tous les polynômes

P.1.4.4.Autre version en2.2.3SOURCE

AccueilPage de TitreSommaire??????Page7de23RetourPlein écranFermerQuittera.Existe-il des polynômesAetBvérifiant

A(X)(X-1)3-B(X)(X+ 1)3= 2 ?

Si oui, déterminer tous les couples(A,B)possibles.b.Trouver tous les polynômesPtels queP(X) + 1soit divisible par

(X-1)3etP(X)-1soit divisible par(X+ 1)3.2.Décompositionenfacteursirréductibles,racines2.1.Décomposition en facteurs irréductibles2.1.1.SOURCEEcrire la décomposition en polynômes irréductibles deX6+1dansC[X]

puisR[X].2.1.2.SOURCEDécomposer en polynômes irréductibles le polynômeX5+ 1dansC[X] et dansR[X].2.1.3.SOURCEMontrer que les polynômesXmet(1-X)nsont premiers entre eux.

AccueilPage de TitreSommaire??????Page8de23RetourPlein écranFermerQuitter2.1.4.SOURCEMontrer que le polynômeX3+ 5est irréductible dansQ[X]. Factoriser

ce polynôme dansR[X]et dansC[X].2.1.5.SOURCEConsidérons les polynômes deR[X]:

A(X) = (X+ 3)(X+ 2)(X2+ 1)2

B(X) = (X+ 3)2(X+ 2)2(X2+ 1)

C(X) = (X+ 3)3(X+ 1)(X2+ 1)3a.CombienApossède-t-il de diviseurs unitaires? etB? etC?b.Ecrire lePGCDet lePPCMdeAetB.c.Ecrire lePGCDet lePPCMdes trois polynômesA,BetC. (On

généralise facilement les définitions et résultats donnés pour deux po-

lynômes au cas de plusieurs polynômes).2.2.Racines2.2.1.SOURCEChercher les racines multiples du polynômePsi :a.P(X) =X3-5X2+ 3X+ 9.b.P(X) =X4+ 3X3+ 4X2+ 3X+ 1.

AccueilPage de TitreSommaire??????Page9de23RetourPlein écranFermerQuitterc.P(X) =X5-X3-4X2-3X-2.

En déduire la décomposition dePen facteurs irréductibles dansR[X].2.2.2.SOURCEa.Quelles sont les racines du polynômeX2+X+ 1dansC? Ecrire

quelques relations simples faisant intervenir ses racines, leurs puis- sances ou leurs conjugués.b.Pour quelles valeurs den, le polynômeX2n+Xn+ 1est-il divisible

par le polynômeX2+X+ 1?2.2.3.Autre version en1.4.4SOURCETrouvertouslespolynômesPtelsqueP(X)+1soitdivisiblepar(X-1)3

etP(X)-1soit divisible par(X+ 1)3par les deux méthodes suivantes :a.En utilisant la relation de Bezout,b.En considérant le polynôme dérivé.2.2.4.SOURCEDéterminer les entiers naturelsntels queP(X) = (X-1)n-Xn+1ait

une racine double dansC.2.2.5.SOURCEPourP(X) = (X+ 1)7-X7-λ, déterminerλde façon quePait (au

moins) une racine multiple et calculer cette racine.

AccueilPage de TitreSommaire??????Page10de23RetourPlein écranFermerQuitter2.2.6.SOURCESoientP(X)le polynômeX8+ 2X6+ 3X4+ 2X2+ 1etjle complexe

exp(

2iπ3).a.Montrer quejest racine de ce polynôme. Déterminer son ordre de mul-

tiplicité.b.Quelle conséquence quant à ses racines peut-on tirer de la parité deP?c.DécomposerPen facteurs irréductibles dansC[X]et dansR[X].2.2.7.SOURCESoitP(X) =anXn+...+a0un polynôme de degrénà coefficients

entiers.a.Montrer que si le nombre rationnelpq(p?Z,q?Z?,(p,q) = 1) est

racine dePalorspdivisea0etqdivisean.b.Application:Chercherlesracinesrationnellesdespolynômessuivants:

A(X) =X3-X2-X-2B(X) = 6X3+ 7X2-9X+ 22.2.8.SOURCESoienta?C,b?CetPa(X)le polynômeX3+2aX2+a2X+b. Déter-

miner les valeurs deb(s"il en existe) pour lesquellesPaa une racine multiple. Quelle est, dans chacun des cas, la valeur de cette racine et sa multiplicité exacte?

AccueilPage de TitreSommaire??????Page11de23RetourPlein écranFermerQuitter2.2.9.SOURCESoitP(X) = 2X6-13X5+ 15X4+ 80X3-280X2+ 336X-144.a.Quelle est la multiplicité de la racine2?b.Déduire d"une formule de Taylor pourPsa factorisation dansR[X].2.2.10.SOURCESoit un polynômePdeR[X]tel queP(x)soit positif ou nul pour tout

réelx.a.Montrer qu"il existe deux polynômesAetBdeR[X]tels queP= A

2+B2.b.Montrer que si un polynômePdeR[X]a tous ses coefficients positifs,

il existe des polynômesA,B,CetDdansR[X]tels queP=A2+ B

2+X(C2+D2).3.Extraits de partiels3.0.11.Exercice du premier partiel M1AL 1992-1993SOURCEa.Déterminer les racines entières du polynômeP(X) =X4-6X3+

10X2-6X+ 9.b.FactoriserPdansR[X].

AccueilPage de TitreSommaire??????Page12de23RetourPlein écranFermerQuitterc.En déduire une factorisation dansR[X]etC[X]du polynôme :

Q(X) =X8-6X6+ 10X4-6X2+ 9.3.0.12.IV. du partiel de M1A 1989-1990SOURCESoitPun polynôme deC[X]de degré au moins1etretsdeux entiers

strictement positifs.a.Trouver le reste et le quotient de la division euclidienne du polynôme X

2r-1parX+ 1(réfléchir ou calculer, il faut choisir).b.SoitQ=P+ 1. Montrer quePetQsont premiers entre eux.c.SoitR=P2r+Qs-1. Montrer queRest divisible parPetQ.d.Montrer queRest divisible parPQ.e.Application(i)Montrer que le polynômeS=X4-2X3+52X2+12X-1116peut

s"écrire(X+a)4+(X+b)2+coùa,b,csont des constantes que

l"on déterminera.(ii)Calculer toutes les racines deS.(iii)SoitT=X4+12X3-54X2+398X+114; calculer lePGCDde

SetT.3.0.13.Exercice du premier partiel M1A 1991-1992SOURCE AccueilPage de TitreSommaire??????Page13de23RetourPlein écranFermerQuitterDansR[X], on pose :

A(X) =X4+X3-5X2+X-6etB(X) = 4X4+ 2X3+ 2X-4.a.Calculer lePGCDdeAetB.b.EcrireAcomme un produit de polynômes irréductibles surR, puis sur

C.c.Montrer qu"il existe exactement deux valeurs du nombre réelatels que le polynôme :

Q(X) =X55+X44-5X33+X22-6X+a

admette une racine double dansR(on ne demande pas de calculera).4.Polynômes et algèbre linéaireCette partie rassemble des exercices d"illustration des notions d"algèbre

linéaire qui utilisent les espaces vectoriels de polynômes, ils sont traités au

fur et à mesure de l"avancement du cours d"algèbre linéaire.4.1.Sous-espaces vectoriels deK[X].4.1.1.SOURCE

AccueilPage de TitreSommaire??????Page14de23RetourPlein écranFermerQuitterDans l"espace vectorielC[X]surC, déterminer ceux des sous-ensembles

à5, on définit les sous-espaces vectoriels suivants : F

1={P?E5/P(0) = 0}

2={P?E5/P?(1) = 0}

3={P?E5/X2+ 1diviseP}

4={P?E5,;?x?R;P(x) =P(-x)}

5={P?E5/P(X) =XP?(X)}a.Déterminer des bases deF1,F2,F3,F4,F5,F1∩F2,F1∩F3,F1∩F2∩

3,F1∩F2∩F3∩F4.b.Déterminer dansE5des sous-espaces supplémentaires deE4et deE1∩

3.4.1.3.SOURCE

AccueilPage de TitreSommaire??????Page15de23RetourPlein écranFermerQuitterSoitF={P?R[X],P(X) =λ+ (2λ-3μ)X+μX2,(λ,μ)?R2}.

Montrer queFest un sous-espace vectoriel deR[X]et donner une base de F(suggestion : surtout, ne pas vérifier les 2 ou 3 conditions des sous-espaces vectoriels).4.2.Bases deKn[X]On noteEnle sous-espace vectorielKn[X]deK[X]des polynômes de degré au plusn. Le cas échéant, on précisera siKestRouC. Lavaluation d"un polynôme non nulPdeK[X],P(X) =apXp+...+a0est leplus On suppose que leurs degrés (resp. valuations) sont deux à deux entier(e)s et distinct(e)s.a.Montrer quePest libre. Que peut-on en déduire sur la dimension de K[X]?b.SiPest contenue dansEn, montrer quePest une base du sous-espace E n.4.2.2.ApplicationsSOURCEa.Formule de Taylor pour les polynômes. Soita?Kfixé. Montrer que

AccueilPage de TitreSommaire??????Page16de23RetourPlein écranFermerQuitterpour tout polynômePdeEn, il existe des scalaires uniquesλ0,....,λn

que l"on déterminera, tels que :

P(X) =λ0+λ1(X-a) +λ2(X-a)2+....+λn(X-a)nb.SoitPun polynôme de degré n deC[X]. Montrer quePet sesnpoly-

P elle libre? Est-ce une base deEn? Si cela est possible et nécessaire,

compléterPen une base deEn.4.3.Polynômes d"interpolation de LagrangeIciK=R.4.3.1.SOURCESiP?E1, on noted(P)la droite affine d"équationy=P(x). Soient

1eta2deux réels distincts. On appelleD1(resp.D2) la droite d"équation :

x=a1(resp.x=a2).a.En remarquant qu"une droited(P)est entièrement déterminée par ses points d"intersection avecD1etD2, justifier le fait qu"un polynômeP est entièrement déterminé par les réelsP(a1)etP(a2).

AccueilPage de TitreSommaire??????Page17de23RetourPlein écranFermerQuitterb.SoientP1etP2les polynômes définis par :

1(X) =(X-a2)(a1-a2)etP2(X) =(X-a1)(a2-a1)

Montrer que siP(x)est le polynômeb1P1(X) +b2P2(X), on a :

P(a1) =b1P(a2) =b2

etd(P)est la droite passant par les points(a1,b1)et(a2,b2).c.Conclure : Que pouvez-vous dire du système(P1,P2)dans l"espace

1?d.Application : Soientaetbdeux réels distincts etQun polynôme de

degré quelconque. Calculer le reste de la division deQpar le polynôme

(X-a)(X-b)en fonction deQ(a)etQ(b).4.3.2.SOURCESoienta1,a2,a3trois réels distincts. Les polynômesP1,P2,P3sont défi-

nis par : P

1(X) =(X-a2)(X-a3)(a1-a2)(a1-a3)

2(X) =(X-a3)(X-a1)(a2-a3)(a2-a1)

3(X) =(X-a1)(X-a2)(a3-a1)(a3-a2)

AccueilPage de TitreSommaire??????Page18de23RetourPlein écranFermerQuittera.Montrer que siP(X)est le polynômeb1P1(X)+b2P2(X)+b3P3(X),

alors on a : P(a1) =b1P(a2) =b2P(a3) =b3.b.Montrer que siQappartient àE2avecQ(a1) =Q(a2) =Q(a3) = 0, alorsQest le polynôme nul.c.En déduire queb1P1(X)+b2P2(X)+b3P3(X)est l"unique polynôme de degré au plus deux vérifiantP(a1) =b1,P(a2) =b2,P(a3) =b3.

Le résultat est-il encore vrai si on ne fait plus d"hypothèse sur le degré?d.Conclure : Que pouvez-vous dire du système(P1,P2,P3)dans l"espace

2?e.SiP?E2, on notep(P)la parabole (qui peut dégénérer en une droite)

d"équation :y=P(x). Interpréter géomètriquement les résultats pré-

cédents.f.voir une autre interpétation en4.4.14.4.Applications linéaires4.4.1.(peut être vu comme une application de4.3)SOURCESoienta,b,ctrois réels. On définit l"applicationUdeE2dansR3par :

U(P) = (P(a),P(b),P(c)).

AccueilPage de TitreSommaire??????Page19de23RetourPlein écranFermerQuittera.Montrer queUest une application linéaire.b.Déterminer le noyau deUet son image. Dans quel casUest-elle bijec-

parU.4.4.2.SOURCESiP?R[X], on notef(P)le polynôme défini par :

f(P)(X) = (2X+ 1)P(X)-(X2-1)P?(X)a.Montrer quefest une application linéaire.b.Déterminer le degré def(P)en fonction du degré deP. En déduire le

noyau defet son image.c.Peut-on trouver des valeurs dentelles quefsoit un endomorphisme deEn? Sin0est une telle valeur, que peut-on dire de la restriction de P E n? Si cela est possible et nécessaire, compléterPen une base deEn (cf.4.2.2).

AccueilPage de TitreSommaire??????Page20de23RetourPlein écranFermerQuitterb.Soit?la forme linéaire surEndéfinie par :

n? k=0a kXk? =n?

k=0(-1)kakc.Montrer que le noyau de?est le sous-espace vectoriel engendré parP.d.Trouver un supplémentaire deker?.4.4.4.SOURCESoitfl"endomorphisme deEndéfini par :

lynômes qui admettentacomme racine d"ordre au moins.d.Donner une base du noyau def.4.4.5.Extrait du partiel M1A du 25 avril 1988SOURCEOn considère l"application linéairefdeC[X]dansC3qui à un polynôme

Passocie le triplet(P(1),P?(1),P(2)).a.Déterminerkerf.

f(S) = (a,b,c). Un tel polynôme est-il unique?c.Donner le reste de la division euclidienne d"un polynômePdeC[X]

{1,X,X2,...Xn}, de l"endomorphismeDdeEnqui à un polynôme associe

son polynôme dérivé.4.5.2.SOURCESoitE3lesous-espacevectorieldeR[X]despolynômesdedegréinférieur

ou égal à3. SoitTl"application définie pour toutPdeE3par :

T(P)(X) = (X2-1)P??(X)-2XP?(X) + 2P(X)a.Montrer queTest un endomorphisme deE3.b.Ecrire la matrice deTdans la base canonique{1,X,X2,X3}deE3.c.Déterminer le rang deT, une base de son image et une base de son

noyau.

AccueilPage de TitreSommaire??????Page22de23RetourPlein écranFermerQuitterd.SoitQ(X) =X3-3X+1. Trouver l"ensemble des solutions de l"équa-

tionT(P) =Q. Montrer que l"ensemble des solutions divisibles par X-1est une droite affine deE3que l"on déterminera.4.5.3.SOURCEOn poseB={P0,P1,P2}avec P

0(X) = 1, P1(X) =X-12, P2(X) =X2-X+12a.Best-elle une base deE2(cf4.2.2)?b.Montrer que l"application?définie surE2par :

?(P)(X) = (X-12)P?(X) +14P??(X) (P?E2)

est un endomorphisme deE2.c.Préciser le noyau et l"image de?.d.Ecrire la matrice de?par rapport à la base canonique deE2, puis par

rapport àB.e.Déterminer l"ensemble des solutions de l"équation?(P) =X2.4.6.Systèmes linéaires4.6.1.SOURCE

AccueilPage de TitreSommaire??????Page23de23RetourPlein écranFermerQuitterSoitE3lesous-espacevectorieldeC[X]despolynômesdedegréinférieur

ou égal à3.

Posons :

1(X) =X3+iX2-X+ 2P2(X) =X3+ (1 +i)X2-X+ 2 +i.a.Peut-on compléter{P1,P2}en une base(P1,P2,P3,P4)deE3telle que

deg(P3) = deg(P4)?4.6.2.SOURCEa.Résoudre, dansR[X], l"équation : P(X)-P?(X) =X5+ 2X3-X2+ 4.b.SoitEnle sous-espace deR[X]des polynômes de degré inférieur ou égal àn. Soient les endomorphismes deEndéfinis par : u(P) =P-P?etv(P) =P?. Montrer queuest un isomorphisme et calculeru-1en fonction dev (indication : on pourra développer(1-v)(1 +v+v2+...+vn)).

Résoudre à nouveau l"équation de la question (a).c.Quelle méthode choisir pour résoudre l"équation :

P(X)-P?(X) =X7?

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[PDF] Polynômes - Université Paris-Saclay