1 Probabilités conditionnelles

Dans une entreprise de 450 salariés, il y a 270 femmes et 180 hommes Par ailleurs, les salariés se répartissent en deux catégories : les cadres et les ouvriers On sait plus précisément qu'il y a 80 cadres et que le nombre de femmes cadres est de 45 Quel est le pourcentage d'ouvriers parmi les hommes de l'entreprise?

Probabilités

On range ensuite les trois boules par ordre de tirage dans une boîte Pour connaître les probabilités d'obtenir tel ou tel ordonnancement de couleur, on peut utiliser un arbre pondéré 4 sac 1 2 vertes, 1 rouge, 1 bleue sac 2 1 verte, 1 bleue, 1 rouge sac 3 2 rouges, 2 bleues propriété : la probabilité d'un évènement est

1 Probabilités conditionnelles

On considère les événements V1: « le premier feu est vert » et V2: « le deuxième feu est vert » Pourquoi peut-on dire que les événements V1 et V2 sont indépendants? Représenter la situation par un arbre, puis par un tableau à double entrée www maths-lycee net Chapitre 4 : Probabilités conditionnelles et indépendance 3/3

GENERALITES SUR LES PROBABILITES - LeWebPédagogique

Sophie Touzet -Généralités sur les probabilités- Page 1 GENERALITES SUR LES PROBABILITES I Probabilités sur un ensemble fini 1- Vocabulaire des événements Définition 1 : L'ensemble de toutes les issues possibles, ou éventualités , d'une expérience aléatoire (soumise au hasard) est appelé ensemble fondamental ou univers

Probabilités conditionnelles et indépendance

probabilités, il permet de regrouper les données de manière plus lisible Un arbre de probabilité répond à deux règles : • La règle de la somme: la somme des probabilités inscrites sur toutes les branches issues d’un même nœud est égale à 1 • La règle du produit: le produit des probabilités inscrites sur les branches d’un

PLANIFICATION D’UNE LEÇON EN MATHÉQMATIQUES Les probabilités

Les activités traitent les élèves ayant le classement « Adaptations seulement » pour certaines matières Dans le cadre de ce travail, ce classement s’applique dans la planification d’une seule leçon Les autres classements, soit « Attentes modifiés » et « Attentes différentes », sont

wwwmathsenlignecom PROBABILITES EXERCICES 2A

www mathsenligne com PROBABILITES EXERCICES 2A EXERCICE 2A 1 Une expérience aléatoire conduit à l'observation de trois événements A, B et C On sait que : P(A) = 0,15 P(B) = 0,3 P(C) = 0,4

BTS-CPI1, C-Probabilité 1 Pour manier le vocabulaire

parmi les ménages qui pratiquent le tri sélectif, 3360 consomment des produits bio, parmi les ménages qui ne pratiquent pas le tri sélectif, 360 consomment des produits bio On choisit un ménage au hasard (tous les ménages ayant la même probabilité d’être choisis) et on note,

Concours - les Classiques de Probabilités à Connaître par Coeur

Concours - les Classiques de Probabilités à Connaître par Coeur Frédéric BROSSARD - Année 2019-2020 1 Fiche 1 : VA Discrètes - Lois du Min, Lois du Max

1. Probabilités conditionnelles

La notion de probabilité conditionnelle intervient quand pendant le déroulement d"une expérience aléatoire,

une information est fournie modifiant ainsi la probabilité d"un évènement.

On considère une expérience aléatoire d"univers finiΩetA?Ω,B?Ωdeux évènements.

1.1. définition et propriétés

Définition 1.SoitAetBdeux événements avecP(A)?= 0. Laprobabilité que l"événementBse

réalise sachant que l"événementAest réaliséest le nombre notéPA(B), et est défini par :

A(B) =P(A∩B)

P(A)

Remarque 1.

PA(B)se lit : " probabilité deBsachantA». SiP(B)?= 0, on définit de mêmePB(A) =P(A∩B) P(B).

Exemple 1.

Un service après-vente a constaté que les retours d"un appareil sont dus dans30%des cas à une panne A,

dans40%des cas à une panne B, et dans3%des cas à la simultanéité des deux pannes. Notons :

Al"événement : " l"appareil présente la panne A » Bl"événement : " l"appareil présente la panne B » Un appareil choisi au hasard présente la panne B. Quelle est la probabilité que cet appareil présente également la panne A?

Formules des probabilités composées

SiAetBsont deux événements non vides deΩ, on a :

P(A∩B) =PA(B)×P(A) =PB(A)×P(B)

Propriété 1.

Exemple 2.

85%d"une population est vaccinée contre une maladie. On a constaté que2%des individus vaccinés n"ont

pas été immunisés contre cette maladie.

SoitVl"événement : " Un individu est vacciné » etMl"événement : " Un individu est malade ».

Quelle est la probabilité qu"un individu soit vacciné et malade? 1/3

1.2. Arbre pondéré et calculs de probabilitéRègles :

?La somme des probabilités inscrites sur les branches issuesd"un même noeud est égale à1.

?La probabilité d"un chemin est le produit des probabilités figurant sur ses branches. (probabilités

composées)

?La probabilité d"un événement est la somme des probabilitésde tous les chemins menant à un

sommet où apparaît cet événement. (probabilités totales) A B B A B B P(A) PA(B)

PA(B) = 1-P

A(B)

P(A) = 1-P(A)PA(B)

PA(B) = 1-P

A(B) probabilités conditionnellesprobabilités composées

P(A∩B) =PA(B)×P(A)

P ?A∩

B?=PA(B)×P(A)

A∩B?=PA(B)×P(A)

probabilités totales

P(B) =P(A∩B) +P?

A∩B?

B) =P?A∩B?+P?A∩B?

Exemple 3.Lorsqu"il tire durant un match de basketball, Sylvain a67%de chance que ce soit un tir à

2points et33%que ce soit un tir à3points.

De plus, quand il tire à2points, le pourcentage de réussite de Sylvain est de59%contre45%lorsqu"il tire

à3points. On considère les événementsD: " il tire à2points » etM: " il marque ».

Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Probabilités totales

2.1. Partition de l"univers

Définition 2.Soitnun entier supérieur ou égal à 2 et{A1, A2, ..., An}un ensemble d"événements de

probabilités non nulles d"un même universΩ. A

1,A2, ...,Anforment unepartition de l"universΩsi, et seulement si, tout événement élémentaire

deΩappartient à l"un des événementsAiet à un seul. C"est-à-dire si, et seulement si,

1A1,A2, ...,Ansont deux à deux disjoints, c"est-à-direAi∩Aj=∅sii?=j.

2A1?A2?...?An= Ω.

Exemple 4.

A1A 3

Pourn= 4

A4A 2

Remarque 2.Un événementAde probabilité non nulle et son événement contraireAforment une

partition deΩ. 2/3

2.2. Formule des probabilités totales

Formules des probabilités totales

Soitnun entier supérieur ou égal à 2 si{A1, A2, ..., An}est une partition deΩalors pour tout

événementBdeΩ,

P(B) =P(A1∩B) +P(A2∩B) +...+P(An∩B)

Propriété 2.

Exemple 5.

A1A 3

Pourn= 4

A4 A 2B Exemple 6.On reprend l"énoncé de l"exemple3.

Calculer la probabilité que Sylvain marque.

3. Événements indépendants

3.1. Indépendance de deux événements

Intuitivement, deux événements sont indépendants si la donnée de la réalisation de l"un des deux événe-

ments n"a pas d"incidence sur la probabilité de la réalisation de l"autre.

Définition 3.

SoitAetBsont deux événements de probabilités non nulles

Les évènementsAetBsontindépendantssi et seulement si on a l"égalitéP(A∩B) =P(A)×P(B).

?Ne pas confondre "AetBindépendants » et "AetBincompatibles ». Dire queAetBsont incompatibles signifie queA∩B=∅.

SiAetBsont deux événements indépendants de probabilités non nulles, il y a équivalence d"écrire :

P(A∩B) =P(A)×P(B);PA(B) =P(B);PB(A) =P(A)

Propriété 3.

SiAetBsont deux événements indépendants alors les événements¯AetBle sont aussi.

Propriété 4.

3.2. Succession de deux épreuves indépendantes

Définition 4.

En réalisant successivement deux expériences aléatoires telles que les événements associés à la première

soient indépendants des événements associés à la seconde, on dit que l"on réalise unesuccession de

deux épreuves indépendantes.

3.3. Représentation par un arbre et par un tableau

Exemple 7.Pour se rendre à son travail, un automobiliste rencontre deux feux tricolores qui ne sont pas

synchronisés.

Lorsqu"il se présente, la probabilité que le premier feu soit vert est de0,45et la probabilité que le deuxième

feu soit vert est de0,4

On considère les événementsV1: " le premier feu est vert » etV2: " le deuxième feu est vert ».

Pourquoi peut-on dire que les événementsV1etV2sont indépendants? Représenter la situation par un

arbre, puis par un tableau à double entrée. www.maths-lycee.netChapitre 4 : Probabilités conditionnelles et indépendance3/3quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

[PDF] 1 Probabilités conditionnelles

1. Probabilités conditionnelles

1.1. définition et propriétés

A(B) =P(A∩B)

Remarque 1.

Exemple 1.

Formules des probabilités composées

P(A∩B) =PA(B)×P(A) =PB(A)×P(B)

Propriété 1.

Exemple 2.

85%d"une population est vaccinée contre une maladie. On a constaté que2%des individus vaccinés n"ont

1.2. Arbre pondéré et calculs de probabilitéRègles :

PA(B) = 1-P

P(A) = 1-P(A)PA(B)

PA(B) = 1-P

P(A∩B) =PA(B)×P(A)

B?=PA(B)×P(A)

A∩B?=PA(B)×P(A)

A∩B?=PA(B)×P(A)

P(B) =P(A∩B) +P?

A∩B?

B) =P?A∩B?+P?A∩B?

2points et33%que ce soit un tir à3points.

2. Probabilités totales

2.1. Partition de l"univers

1,A2, ...,Anforment unepartition de l"universΩsi, et seulement si, tout événement élémentaire

1A1,A2, ...,Ansont deux à deux disjoints, c"est-à-direAi∩Aj=∅sii?=j.

2A1?A2?...?An= Ω.

Exemple 4.

Pourn= 4

2.2. Formule des probabilités totales

Formules des probabilités totales

événementBdeΩ,

Propriété 2.

Exemple 5.

Pourn= 4

Calculer la probabilité que Sylvain marque.

3. Événements indépendants

3.1. Indépendance de deux événements

Définition 3.

P(A∩B) =P(A)×P(B);PA(B) =P(B);PB(A) =P(A)

Propriété 3.

Propriété 4.

3.2. Succession de deux épreuves indépendantes

Définition 4.

3.3. Représentation par un arbre et par un tableau