[PDF] Fonctions numériques d’une variable réelle

Les fonctions numériques d’une variable réelle

Les fonctions numériques d’une variable réelle Soit f: Df x ≠æ ‘≠æ R f (x) une fonction numérique d’une variable réelle telle que Df = {x œ R /f(x) aunsens} est le domaine de définition de f 1 1 Limite d’une fonction Définition 1 1 1 On dit qu’une fonction f, définie au voisinage1 de x 0 œ R, sauf peut être enx

Fonctions numériques d’une variable réelle

Fonction numérique d’une variable réelle Par exemple, pour y = 4, sur R on peut avoir x = 2 ou x = -2 En revanche, sur [0 ; +∞[ une seule valeur de x existe telle que f x y x( ) ² 4= = =, à savoir x=2 2 Image d’un intervalle : L’image d’un intervalle par une bijection est un intervalle

wwwmathsenlignecom OURS FONCTION NUMERIQUE D UNE VARIABLE

Soit D un ensemble de nombre (un intervalle ou une réunion d’intervalles) On appelle fonction f sur l’ensemble D le « mécanisme mathématique » qui permet d’associer à tout nombre x de D en un réel unique noté f(x) On note f : x f(x) b Vocabulaire - f(x) est l’image de x; - x est l’antécédent de f(x) ; - D est l

Généralités sur les fonctions - Lycée dAdultes

1 1 Fonction numérique Définition 1 : Une fonction numérique f d’une variable réelle x est une relation qui à un nombre réel x associe un unique nombre réel y noté f(x) On écrit alors : f : R ou D f R x 7 f(x) Attention : Il faut faire la différence entre la fonction f qui représente une

Fonction numérique dune variable réelle

On dé nit une fonction f comme une relation numérique telle qu'à chaque réel x, soit associée au plus une image notée f(x) f : R R x f(x) L'ensemble des réels admettant une image par f constitue l'ensemble de dé nition de la fonction f, noté D f THEMAMATIQUES APPLIQUEES (L1 AES) onctionF numérique d'une variable réelle 2007 - 2008

ÉTUDES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES

2 Fonction impaire : Une fonction numérique f d’ensemble de définition D f est dite impaire si, et seulement si ∀x ε Df, (–x) ε Df; f (–x) = – f (x) L’origine du repère est centre de symétrie pour la courbe (C f) de f dans un repère cartésien 3 Axe de symétrie d’une représentation graphique :

FONCTION NUMERIQUE D UNE VARIABLE REELLE F 1A

On considère l’algorithme d’une fonction f: Choisir un nombre x Le multiplier par 3 Enlever 5 au résultat obtenu Ecrire le résultat f(x) x x × 3 3x – 5 f (x) = 3x – 5 ² NOTRE DAME DE LA MERCI EXERCICE 2 On considère l’algorithme d’une fonction g: Choisir un nombre x Lui ajouter 1

FONCTIONS - Généralités

- la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine 3) Les variations d’une fonction numérique 3-1) Sens de variation d’une fonction:fonction croissante -décroissante -fonction constantes Soit f une fonction et D f son domaine de définition et soit I un intervalle inclus dans Si f est paire alors

FONCTIONS DUNE VARIABLE RÉELLE 1

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE 1 A Définitions 1- Introduction Soient A et B deux parties de \ On dit que f est une fonction de A vers B si tout nombre réel x de A a pour image par f au plus un (i e un ou zéro) nombre réel de B f ainsi définie est une fonction de la variable réelle x 2- Ensemble de définition

Principes fondamentaux des oscilloscopes

d’acquisition numérique avec une résolution de 1 bit (haute ou basse) Vitesse de rafraîchissement des signaux – Des fréquences plus élevées augmentent la probabilité de capturer des problèmes de circuits moins fréquents Qualité d’affichage – Taille, résolution, nombre de niveaux de variation d’intensité

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Fonction numérique d"une variable réelle

FFoonnccttiioonnss nnuumméérriiqquueess dd""uunnee vvaarriiaabbllee rrééeellllee

Dans la suite,

fest une fonction de R dans R et son ensemble de définition est noté Df.

On note alors :

D f = {x Î R ; f(x) existe}

On note C

f sa courbe représentative.

I. Limites :

Si x

0ÎDf, on admet que pour les fonctions rencontrées, on a lim(x→x0) f(x) = f(x0) .

 Prononcer : la limite de fde x quand x tend vers x0 est fde x0 En général, on recherche les limites aux bornes ouvertes de D f.

1. Limites usuelles :

Une fonction polynôme a la même limite en ±

¥que son terme de plus haut degré.

Exemple : lim(x

→ -¥) (2x3-x²+1) = lim(x→ -¥) 2x3 = -¥ Une fonction rationnelle a la même limite en ±

¥que le quotient de ses termes de plus

haut degré.

Exemple : lim(x

→ +¥) 3

1²2

x x = lim(x→ +¥)x x²2 = lim(x→ +¥) 2x = +¥

Remarque :

Limite en - 3 de f(x) = 3

1²2

x x lim (x → -3) (2x²-1) = 17 lim (x → -3) (x+3) = 0 Donc 3

1²2

x x tend vers +¥ ou - ¥.

Or : lim (x

→ -3+) (x+3) = 0+ donc lim(x→-3+) 3

1²2

x x = +¥ © http://www.bacdefrancais.net Page 2 sur 12

Fonction numérique d"une variable réelle

lim (x → -3+) veut dire que x se rapproche de la valeur -3, mais en lui restant supérieure (exemples : -2,95 ou -2,999...) donc la limite de x+3 se rapprochera de 0, mais sera une valeur positive (-2,999+3=0,001>0) notée 0 +. Donc la limite est + ¥. et lim (x → -3-) (x+3) = 0- donc lim(x→-3-) 3

1²2

x x = -¥

Ici, lim (x

→ -3-) veut dire que x se rapproche de la valeur -3, mais en lui restant inférieure (exemples : -3,05 ou -3,001...) donc la limite de

3x+se rapprochera de 0 mais sera une

valeur négative.

2. Théorèmes de comparaison :

Si, pour x suffisamment proche de 0, on a |( )f x| ≤ u(x) avec lim(x→ 0) u(x) = 0, alors : lim(x→ 0) f(x) = 0

Exemple d"application :

Trouver : lim(x→ 0) x.sinx

1 Si x ≠ 0, on a -1 ≤ sinx

1 ≤ 1 (cf. propriétés de la fonction sinus)

Donc si x > 0, on a alors : -x

≤ x.sinx

1 ≤ x

et si x < 0, on a alors : x ≤ x.sinx

1 ≤ -x (inversion du sens de l"inégalité lorsqu"on

multiplie par une valeur négative)

Donc, dans tous les cas : | x.sin

x

1 | ≤ |x|

Comme lim(x

→ 0) x = 0, grâce au théorème exposé ci-dessus, on peut conclure que : lim(x → 0) x.sinx

1 = 0.

Si, pour x suffisamment grand, on a |( )f x m-| ≤ u(x) avec lim(x→ +¥) u(x) = 0, alors :

lim(x→ +¥) ( )f x= m © http://www.bacdefrancais.net Page 3 sur 12

Fonction numérique d"une variable réelle

Exemple d"application :

( )f x= 1 3sin4 x xx

Trouver lim(x

→ +¥) f(x). ( )f x- 3 = 1 3sin4 x xx-3 = 1 3sin4 x xx- 1 33
x x = 1 3sin4 x x

Or : -1

≤ sin x ≤ 1 -1 ≤ 4.sin x + 3 ≤ 7

Pour x > 1, on a x-1 > 0, donc :

1 1 x≤ 1 3sin4 x xx≤ 1 7 x 1 1 x≤( ) 3f x-≤ 1 7 x Comme 1 7 x< 1 1quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2