Sujets brevet Calcul avec des racines carrées élèves
SUJET des racines carrées Fiche 11 Calculer une somme de racines carrées DURÉE 10 MIN SUJETS 20 1 Écrire des nombres SOUS SUJET la formeo b Fiche 12 Conduire un calcul avec des racines carrées DURÉE 20 MIN On donne C = 5— etD= 3 +245 Calculer C+ D et C— D On donnera les résultats sous la forme a + , c étant le plus petit possible
C:UsersPacalDesktopSujets brevet Calcul avec des racines carrées
CALCULS SUR DES RACINES 16 1 Calculer une racine carrée SUJET Fiche 10 Calculer avec des racines carrées Fiche 44 Utiliser le théorème de Pythagore et sa réciproque DURÉE 15 MIN SUJETS CORRIGÉS' La valeur exacte de l'aire du triangle est égaleà 3 135 cm2 DURÉE 15 MIN MÉTHODE Simplifie les quotients avant d'effectuer les multiplications
Fiche brevet : les racines carrés
Fiche brevet : les racines carrés On sait qu'il n'y a pas de règle de calcul entre racine carrée et différence, la réponse n'est Sujet Madagascar juin 2008
Fiche brevet : les racines carrés a ² a
Fiche brevet : les racines carrés Objectif : L'objectif de ce type d'exercice est de montrer que l'on connait les règles de calculs et de simplification des racines carrées et que l'ont sait les appliquer Résumé du cours : • Définition :Si a 0 alors : a ²=a • Carrés parfaits :Si a 0 alors : a²=a
x 8 x (3) (4) x x
3ème E DS4 racines carrées 2013-2014 sujet 1 1 Exercice 1 : (4 points) Les figures ci-dessous ont toutes une aire de 8 cm² Donner la valeur exacte de x en cm, dans chacun des cas (1) (2) 8 (3) (4) Exercice 2 : au brevet (4 points) On donne x = 72 et y = 98
ème E DS3 racines carrées et équations 2014-2015 sujet 1
3ème E DS3 racines carrées et équations 2014-2015 sujet 2 2 Exercice 1 : (3 points) Les figures ci-dessous ont toutes une aire de 27 cm² Donner la valeur exacte de x en cm, dans chacun des cas (1) (2) Exercice 2 : au brevet (4 points) On donne x = 75 et y = 108
PARTIE B : EXERCICES d’application
32 Racines carrées 42 33 Systèmes de deux équations à deux inconnues 43 Sur les 131 élèves de 3: Calcule le taux de réussite au brevet Arrondis au
Classe de Troisième Mathématiques - MatheMalins
• Acheter des annales de brevet et faire au moins un exercice par jour Si tu as besoin de retourner dans ton cahier de leçons à ce moment-là, écris en rouge dans ton exercice ce que tu ne dois pas oublier • Poser des questions sur les notions qu’on ne comprend pas encore tout à fait Début des épreuves
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Collège Gaspard des Montagnes
Brevet blanc février 2011
(Epreuve de mathématiques)CORRECTION
NOTATION
Activités numériques : 12 points
Activités géométriques : 12 points
Problème : 12 points
Rédaction et présentation : 4 points
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4 .L'usage de la calculatrice est autorisĠ.
I. Activités numériques (Centres étrangers (Bordeaux), juin 2009)Exercice 1
On pose : ܣ
15െ2
15×9
2 × 102 ; ܥ
1. Calculer A et donner le rĠsultat sous forme d'une fraction irrĠductible.
2. Calculer B et donner une écriture scientifique du résultat, puis une écriture décimale de ce
résultat.3. a. Donner la valeur décimale arrondie au millième de C.
b. Ecrire C sous la forme ܽ1. A=7
15െ2
15×9
4 On recopie l'ĠnoncĠ du calcul
A=715െ2×3×3
5×3×2×2 PRIORITÉS DE CALCUL : la multiplication est prioritaire sur la soustraction.
A=7×2
15×2െ3×3
5×3×2 On pense à SIMPLIFIER AVANT de multiplier.
30െ9
30 Il faut réduire les fractions au même dénominateur pour additionner ou soustraire.
A=530 Cette fraction n'est pas irrĠductible : elle est simplifiable.
A=5×1
5×6 On précise par quel nombre on simplifie.
Cette fraction est irréductible : on encadre le résultat.2 × 102 On recopie l'ĠnoncĠ du calcul.
2× 106 × 10െ2
calcule indépendamment.2× 104
102 On applique les règles sur les puissances : 106 × 10െ2=106+(െ2)=104.
On applique les règles sur les puissances : 104102=104െ2=102
Écriture scientifique : ܽ×10݊ avec a nombre décimal tel que 1ܽDURÉE DE L'EPREUVE : 2 H
autre. = ૠ Écriture décimale3. a. ܥ
prendre la calculatrice.quatrième chiffre après la virgule ͗ ici il est ш 5, il faut donc prendre la ǀaleur approchĠe
par excès. b. ܥ ܥ=3ξ36×ξ2െ5ξ2 Règle : ξܽ×ܾ=ξܽ×ξܾ ܥ=3×6×ξ2െ5ξ2 Règle : ܲݑݎ ܽ0,ξܽ2=ܽExercice 2
1. Développer (x - 1)².
Justifier que 99² = 9 801 en utilisant le développement précédent.2. Développer (x - 1)(x + 1).
Justifier que 99 × 101 = 9 999 en utilisant le développement précédent. Donc, d'aprğs le dĠǀeloppement prĠcĠdent :992=10 000െ200+1
Donc, d'aprğs le dĠǀeloppement prĠcĠdent :99×101=10 000െ1
Exercice 3
Durant une compĠtition d'athlĠtisme, les 7 concurrents ont couru les 200 m aǀec les temps suiǀants
(en secondes) :20,25 ; 20,12 ; 20,48 ; 20,09 ; 20,69 ; 20,19 et 20,38.
1. Yuelle est l'Ġtendue de cette sĠrie ?
2. Quelle est la moyenne de cette série (arrondie au centième) ?
3. Quelle est la médiane de cette série ?
Yuelle est la ǀitesse moyenne de l'athlğte classĠ premier, en mètres par seconde (m.s-1), (arrondie au
millième) ? On commence par ranger les donnĠes dans l'ordre croissant, car c'est nécessaire pourtrouver la médiane de la série : 20,09 ; 20,12 ; 20,19 ; 20,25 ; 20,38 ; 20,48 ; 20,69.
1. Etendue = 20,69s - 20,09s = 0,6 s
2. ܯ
7 73. Pour trouǀer la mĠdiane, on a dĠjă classĠ les ǀaleurs dans l'ordre croissant.
Cette série a sept valeurs, et sept est un nombre impair. La médiane est la valeur centrale, c'est-à-dire la quatrième :Médiane = 20,25 s.
4. L'athlğte le plus rapide a parcouru les 200 m en 20,09 s.
On cherche le nombre de mètres parcourus, en moyenne, en une seconde : on est dans une situation de proportionnalité.ݒ=200 ݉
La ǀitesse moyenne de l'athlğte classĠ premier est d'enǀiron 9,955 m.s-1. II. Activités géométriques (France métropolitaine, juin 2009)Exercice 1
L'unitĠ de longueur est le centimğtre.
ABC est un triangle tel que AB = 16 cm, AC = 14 cm et BC = 8 cm.1. a. Tracer en vraie grandeur le triangle ABC.
b. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.2. Le mathĠmaticien HĠron d'Aledžandrie (1er siècle), a trouvé une formule permettant
de calculer l'aire d'un triangle. En notant a, b, c les longueurs des trois côtés et p son pĠrimğtre, l'aire est donnĠe par la formule :2ቀ
2െܽ
2െܾ
2െܿ
Calculer ă l'aide de cette formule l'aire du triangle ABC.Donner le résultat arrondi au cm² près.
le plus grand) avec la règle graduée. Pour placer le 3e sommet, pour être rapide et précis, il faut utiliser
le compas et laisser les traits de construction !conjecture suffit à répondre à la question. Il faut absolument JUSTIFIER toutes les réponses en utilisant le
schéma classique de rédaction en géométrie qui comprend les TROIS ETAPES :Données-Propriété-Conclusion.
Le plus grand côté du triangle ABC est [AB].D'une part : AB² = 16²
AB² = 256
D'autre part : AC² + BC² = 14² + 8²
AC² + BC² = 196 + 64
AC² + BC² = 260
On constate que ͗ ABϸ т ACϸ н BCϸ Donc, par conséquence du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.Ce n'est pas la rĠciproque du théorème de Pythagore qui permet de conclure dans ce cas : on utilise
Au niveau de la rédaction, il faut absolument calculer séparément et on ne peut pas écrire " d'aprğs
la réciproque du théorème de Pythagore ͩ aǀant de saǀoir si l'ĠgalitĠ est ǀĠrifiĠe ou pas.
2. a = 16 cm ; b = 14 cm ; c = 8 cm ;
p = 16 cm + 14 cm + 8 cm = 38 cmDonc ܣ
2ቀ38
2െ16ቁቀ38
2െ14ቁቀ38
2െ8ቁ
Exercice 2
Dans cet exercice, on étudie la figure ci-contre où :9 ABC est un triangle isocèle tel que :
AB = AC = 4 cm.
9 E est le symétrique de B par rapport à A.
1. Construire la figure en vraie grandeur.
2. Quelle est la nature du triangle BCE ? Justifier.
donnée. Sébastien a-t-il raison ? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.Partie 1 :
1. On commence par tracer un angle de sommet B qui mesure 43°.
On place ensuite le point E de sorte que A soit le milieu du segment [AE] car E est le symétrique de B par
rapport à A.Pour placer le point C, il faut utiliser le compas avec un écartement de 4 cm en pointant en A : le point C
2. On sait que le point E est le symétrique de B par rapport à A
Donc le point A est le milieu du segment [BE].
Donc [AC] est la médiane du triangle BCE relative au côté [BE].On sait également que : AB = AC = AE
Or, si dans un triangle, la médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de la
longueur de ce côté, alors le triangle est rectangle et admet ce côté pour hypoténuse.
Donc le triangle BCE est rectangle en C.
3. On sait que ABC est un triangle isocèle en A
Or, si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure. Or la somme des mesures des angles d'un triangle est Ġgale ă 180Σ. On sait également que les points B, A et E sont alignés dans cet ordre.Donc ܥܣܧ
Donc ࡱ=ૡ°
Autre méthode (avec la relation entre angle inscrit et angle au centre)On sait que AB = AC = AE
Donc les points B, C et E appartiennent au même cercle de centre A.L'angle ܥܣܧ
Or, dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle au centre est égale au double de la mesure de l'angle inscrit. raison !).Donc ܥܣܧ
Donc ࡱ=ૡ°
En utilisant le même raisonnement que dans la partie 1, on en déduit que :Donc ܥܣܧ
Donc ࡱ= III. Problème (France métropolitaine, juin 2009) On considère un triangle ABC tel que : AB = 17,5 cm ; BC = 14 cm ; AC = 10,5 cm.Partie 1
1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
2. Soit P un point du segment [BC].
La parallèle à la droite (AC) passant par P coupe le segment [AB] en R. La parallèle à la droite (BC) passant par R coupe le segment [AC] en S. Montrer que le quadrilatère PRSC est un rectangle.La figure n'est pas en
vraie grandeur.3. Dans cette question, on suppose que le point P est situé à 5 cm du point B.
a. Calculer la longueur PR. b. Calculer l'aire du rectangle PRSC.Partie 1
1. Le côté le plus long de ABC est [AB]
D'une part : AB² = 17,5²
AB² = 306,25
D'autre part : AC² + BC² = 14² + 10,5²AC² + BC² = 196 + 110,25
AC² + BC² = 306,25
On constate que : AB² = AC² + BC²
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.
2. On sait que : (RP) // (SC) et (RS) // (PC)
Donc le quadrilatère PRSC a ses côtés opposés deux à deux parallèles (Or si un quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux parallèles, alors c'est un parallélogramme.)Donc PRSC est un parallélogramme.
De plus, d'après 1., PRSC a un angle droit en C. Or, si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.Donc PRSC est un rectangle.
3. a. On sait que : les droites (PC) et (AR) sont sécantes en B.
les droites (PR) et (AC) sont parallèles.Un triangle et des droites parallèles : il faut absolument penser au théorème de Thalès !
égalités de rapport correspondent nécessairement à des côtés de triangles ! ici les triangles sont BPR et ABC.
17,5=ܴܲ
10,5Donc 5
14=ܴܲ
10,5 On sélectionne les deux rapports qui vont nous permettre de trouver la longueur
cherchée.Donc 14×ܴܲ
Donc ܴܲ
14 On résout l'équation à une inconnue PR.
Donc ࡼࡾ=,ૠ ࢉ b. Soit A l'aire du rectangle PRSC. A = longueur × largeur c'est-à-dire, A = PR × PC. Or PR = 3,75 cm et PC = BC - BP = 14 cm - 5 cm = 9 cm car P ̿ [BC].Donc A = 3,75 cm × 9 cm
Donc A = 33,75 cm².
Partie 2
On déplace le point P sur le segment [BC] et on souhaite savoir quelle est la position du point1. L'utilisation d'un tableur a conduit au tableau de ǀaleurs suiǀant :
Longueur BP en cm 0 1 3 5 8 10 12 14
Aire de PRSC en cm² 0 9,75 24,75 36 18 0
Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau. Justifier par un calcul la valeur trouvée pour BP = 10 cm. Aire du rectangle PRSC en fonction de la longueur BPA l'aide d'une lecture graphique, donner :
a. Les valeurs de BP pour lesquelles le rectangle PRSC a une aire de 18 cm². c. un encadrement ă 1 cmϸ prğs de l'aire madžimale du rectangle PRSC.Partie 2
1. On vient de calculer l'aire de PRSC lorsque BP est égale à 5 : 33,75 cm².
En utilisant le même raisonnement, on obtient : ܴܲ14=7,5 ܿ
et ܥܲ=14 ܿ݉െ10 ܿ݉=4 ܿ Donc, pour BP = 10 cm : ܣ=7,5 ܿ݉ ×4 ܿ Ce qui est rassurant, c'est que c'est la valeur qu'on lit sur la courbe de la question suivante !Un calcul était demandé pour cette question : il ne fallait pas seulement écrire un nombre dans une case !
Donc :
Longueur BP en cm 5 10
Aire de PRSC en cm² 33,75 30
2. Dans cette question, on demande juste de lire graphiquement et aucune autre justification n'est demandée. Il
n'y a même pas besoin de tracer les pointillés habituels car la courbe n'est pas à rendre avec la copie.
Sur ce graphique, on lit les valeurs de BP sur l'axe des abscisses (horizontal) : on voit que les valeurs de BP varient
de 0 cm à 14 cm. Rappel : le point P se déplace sur le segment [BC] qui a une longueur de 14 cm !
On lit les valeurs de l'aire du rectangle PRSC sur l'axe des ordonnées (vertical).a. Pour cette question, on cherche les points de la courbe qui ont une ordonnée égale à 18 .
Il y a deux points de la courbe qui ont pour ordonnée 18. Leurs abscisses sont 2 et 12. Donc, le rectangle PRSC a une aire de 18 cm² lorsque la longueur BP est égale à2 cm ou à 12 cm .
b. Dans cette question, on cherche lǯabscisse du point " le plus haut de la courbe » ! L'aire de PRSC semble maximale lorsque la longueur BP est égale à 7 cm.c. Dans cette question, on cherche l'ordonnée du point " le plus haut de la courbe » ! On ne peut pas lire
précisément cette valeur, c'est pour cette raison qu'on nous demande un encadrement de cette valeur.
Par lecture graphique, on voit que l'aire maximale de PRSC est comprise entre 36 cm² et 37On demande un encadrement à 1 cm² près, donc la différence entre la valeur approchée par excès et la valeur
approchée par défaut doit être égale à 1 cm².