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Exercices sur les structures algébriques : corrigé

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Structures alg´ebriques : groupes, anneaux et corps

•Les lois ∪, ∩et ∆ sur P(F) sont associatives et commutatives Elles admettent pour neutres respectifs ∅, F, et ∅ •⊕et ⊗sont associatives et commutatives sur R2 •Vue comme LCI sur N∗, + n’admet pas d’´el´ement neutre Exercice 1 Montrer que les lois ⊕et ⊕sur R2 (cf exemples 1) admettent chacune un neutre

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Exercice 1 S - u-bordeauxfr

Structures Algébriques 1 Corrigé session 2 Exercice 1 Dans S6, on considère les permutations fi˘(136)(24), et fl˘(1452) 1 Déterminer les décompositions en produits de cycles à supports disjoints de fifl et flfi fifl˘(1236)(45); flfi˘(1364)(25) 2 Déterminer l’ordre et la signature de fi, fl, fifl et flfi

TD - MAT13 - Structures Algébriques

(1) Dessiner le pentagone avec les axes de sym´etries (2) Trouver tous les sous-groupes de P (3) Montrer que tous les sous-groupes sont cycliques (4) Est-ce que P est cyclique ? Exercice 21 (Groupes de cardinal premier) Soit p un nombre premier et G un groupe de cardinal p (1) Montrer que G est cyclique

Structures algébriques - MATHEMATIQUES

Si ∗ est la composition des applications, les éléments de EE qui admettent un symétrique pour la loi sont les bijections de E sur E Le symétrique d’une bijection f pour la loi n’est autre que sa réciproque f−1 Théorème 3 Soient E un ensemble non vide puis ∗ une loi de composition interne sur E, associative et possédant un

Structures Algébriques 1 : Résumé de cours

2 2 Exemple : les sous groupes de Z Théorème et définition 1 1 (division euclidienne) Pour tout couple d’entiers relatifs (a,b) avec b 6= 0, il existe un unique couple (q,r) d’entiers relatifs tels que (a = bq +r 0 r < jbj (1 1) Les entiers q et r s’appellent respectivement le quotient et le reste de la division eucli-dienne de a par

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Calculer les puissances successives et déterminer l’ordre de et , ainsi que de , , et Allez à : Correction exercice 27 Exercice 28 On considère un pentagone régulier : pour fixer les idées, l’ensemble des points du plan complexe dont des sommets ont pour affixes les racines cinquièmes de l’unité, soit { }

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Structures Algébriques 1

Corrigé session 2

Exercice 1.DansS6, on considère les permutations

®AE(136)(24),et¯AE(1452).

1.

Déterminer les dé compositionsen produits de cyc lesà supports disjoints de ®¯et¯®.

2. Déterminer l"ordre et la signature de ®,¯,®¯et¯®. •®est d"ordre 6,¯d"ordre 4,®¯d"ordre 4 ainsi que¯®. Exercice 2.(Résolution d"équations dansZ/nZ) 1.

Soient aetbdeux entiers premiers entre eux.

(a) Rappeler pourquoi il existe un entier a0tel queaa0´a0a´1 modb.

C"est Bézout.

(b) Si cest un entier quelconque, décrire l"ensemble des entiersxtels queax´cmodb, en fonction deb,ceta0. Application: déterminer l"ensemble des entiersatels que 2a´9 mod 11.

On a les équivalences

L"ensemble cherché est donc égal àa0cÅbZ.

Application:

13a´108 mod 11,2a´9 mod 11,a´6£9´10 mod 11

puisque l"inverse de 2 modulo 11 est égal à 6. 2. Soit Pun polynôme non nul à coefficients dans un anneauA. (a)Question de cours :que peut-on dire du nombre de racines dePdansAsiAest intègre?Le nombre de racines dePdansAest majoré par le degré deP. (b) Résoudre l"équation x2AE1 dansZ/8Zet dansZ/73Z. Comme 73 est premier, l"anneauZ/73Zest intègre (c"est même un corps). Par conséquent, le polynômeX2¡1 a au plus 2 racines dansZ/73Z, et il en a en fait exactement 2, à savoir 1

et¡1. En revancheZ/8Zn"est pas intègre, et la majoration précédente ne s"applique pas. Un

examen de tous les éléments deZ/8Zmontre que l"équationx2AE1 a dans ce cas 4 racines, à savoir 1,¡1, 3 et¡3. Exercice 3.SoientGetHdeux groupes etfun morphisme deGdansH. Dans les quatre premières questions, on notera multiplicativement les lois de groupe deGetH. 1.

Soit Kun sous-groupe deG.

1 (a)Montrer que f(K) est un sous-groupe deH. f(K) est non vide car il contienteHAEf(eG). Siy1AEf(k1) ety2AEf(k2) sont deux éléments de f(K),k1etk2appartenant àK, alorsk1k¡12appartient àKpuisque celui-ci est un sous-groupe deG, ety1y¡12AEf(k1)f(k2)¡1AEf(k1k¡12) - on utilise ici le fait quefest un morphisme - est l"image parfd"un élément deKdonc appartient àf(K). Ceci permet de conclure quef(K) est un sous-groupe deH, grâce au critère vu en cours. (b) On suppose de plus que fest surjectif et queKest un sous-groupe distingué deG. Montrer qu"alors,f(K) est un sous-groupe distingué deH. SoientyAEf(k) un élément def(K), aveckélément deK, etxun élément quelconque deH. Commefest surjectif, il existeg2Gtel quexAEf(g), auquel casx¡1yxAEf(g)¡1f(k)f(g)AE f(g¡1kg) puisquefest u morphisme. CommeKCG, le produitg¡1kgappartient àKetx¡1yx appartient donc bien àf(K). 2. Soit g2Gun élément d"ordre fini. Montrer que l"ordre def(g) est fini et divise celui deg. Sigest d"ordren, alorsf(g)nAEf(gn)AEf(eG)AEeH, doncf(g) est d"ordre fini et son ordre divisen. 3. On suppose dans cette question que GetHsont finis. Montrer que pour toutg2G, l"ordre def(g) est un diviseur commun de l"ordre deGet de l"ordre deH.

D"après la question précédente, l"ordre def(g) divise celui deget divise donc l"ordre deG, grâce au

théorème de Lagrange. Par ailleurs, toujours grâce au même théorème, l"ordre def(g) divise l"ordre

H, puisque c"est un élément deH.

4.

On considère dans cette question les groupes additifsGAE(Z/6Z,Å)etHAE(Z/8Z,Å). Décrire tous les

morphismes de groupes deGdansH. On noteketekles classes d"un entierkmodulo 6 et 8 respectivement. Sifest un morphisme de

Z/6Z,Å)dans(Z/8Z,Å), alors, en vertu des résultats précédents, l"ordre de l"élémentf(1) est un

diviseur commun de 6 et de 8, c"est-à-dire un diviseur de 2. Il y a donc deux cas à envisager :

Si l"ordre de f(1) vaut 1, alorsf(1)AEe0. Il existe un unique morphisme satisfaisant cette condi- tion à savoir le morphisme "trivial"f(k)AEe0 pour toutk2Z/6Z.

Si l"ordre de f(1) vaut 2, alorsf(1)AEe4, unique élément d"ordre 2 dansZ/8Z. On vérifie immé-

diatement que l"application f:Z/6Z¡!Z/8Zk7¡!f(k)AE(e0 sikest pair e

4 sikest impair

est bien un morphisme de (Z/6Z,Å)dans(Z/8Z,Å), et c"est le seul qui satisfasse la condition f(1)AEe4.

Il y a donc deux morphismes distincts de

(Z/6Z,Å)dans(Z/8Z,Å).

Exercice 4.SoitAun anneaucommutatif, dont on note 0 l"élément neutre additif et 1 l"élément neutre

multiplicatif. On suppose en outre queAn"est pas réduit à{0}. On dit qu"un élémenta2Aest nilpotent s"il existe un entier naturel non nulntel queanAE0.

Dans la suite, on noteNl"ensemble des éléments nilpotents deAetA£l"ensemble des éléments

inversibles pour la multiplication. 1.

Déterminer NetA£dans les cas suivants :

(a)AAEZ/4Z.

NAE©0,2,ª,A£AE©1,3

2 (b)AAEZ/6Z.

NAE©0

ª,A£AE©1,5

(c)AAEZ/12Z.

NAE©0,6

ª,A£AE©1,5,7,11

2.

Les groupes

(Z/4Z)£,(Z/6Z)£et(Z/12Z)£sont-ils cycliques?

Z/4Z)£AE©1,3

ªAE3

®et(Z/6Z)£AE©1,5

ªAE5

®sont cycliques d"ordre 2. En revanche(Z/12Z)£AE©1,5,7,11 ªn"est pas cyclique car il ne contient pas d"élément d"ordre 4. 3.

Soit a2Aun élement nilpotent. Montrer que 1¡aest inversible [considérer le produit(1¡a)(1ÅaÅ

¢¢¢Åak), pour un entier naturelkbien choisi]. Soitnun entier naturel non nul tel queanAE0. Alors (1¡a)Pn¡1 kAE0akAE1¡anAE1, moyennant quoi

1¡aest inversible, d"inversePn¡1

kAE0ak. 4. Montrer que si xetysont nilpotents alorsxÅyest nilpotent. Soientnetmdeux entiers naturels non nuls tels quexnAEymAE0. L"anneauAétant commutatif, on peut appliquer la formule du binôme pour obtenir (xÅy)nÅmAEnÅmX kAE0Ã nÅm k! x kynÅm¡kAEnX kAE0Ã nÅm k! x kynÅm¡kÅnÅmX kAEnÅ1Ã nÅm k! x kynÅm¡k. Dans chacun des termes de la deuxième somme, l"exposant dexest plus grand quen, moyennant

quoi tous ces termes sont nuls; dans les termes de la première somme, c"est l"exposantnÅm¡kde

yest qui est supérieur ou égal àm, ce qui entraîne à nouveau la nullité de tous les termes. Au final,

(xÅy)nÅmAE0. 5.

Montrer que Nest un idéal deA.

Nest non vide car il contient 0. La question précédente, jointe au fait que l"opposé¡xd"un élément

nilpotentxest évidemment nilpotent, montre queNest un sous-groupe additif. Par ailleurs, sixest nilpotent, et sinest un entier naturel tel quexnAE0, on a, pour touta2A (ax)nAEanxnAE0,

moyennant quoiaxest nilpotent. Noter que, dans le calcul précédent, on a à nouveau utilisé la

commutativité deApour pouvoir écrire (ax)nAEanxn.

Exercice 5.

On considère un groupeGd"ordre 143 opérant sur un ensembleXde cardinal 108. Le but de l"exercice

est de montrer que cette action possède nécessairement des points fixes (on rappelle qu"un pointxdeX

est fixe sous l"action deGsi son orbite est réduite à un point, c"est-à-dire si8g2G,g¢xAEx)

1. Quelles sont les cardinaux possibles pour les orbites de l"action de GsurX? L" orbite d"un élémentxest en bijection avec le quotientG/GxdeGpar le stabilisateurGxdex.

Par conséquent, son cardinal est un diviseur de l"ordre deGAE143AE11£13, qui doit en outre être

inférieur ou égal à 108AEjXj. Les valeurs possibles sont donc 1, 11 et 13. 2. Supposons ,par l"absurde ,que cette action ne possède pas de point fixe et notons aetble nombre d"orbites de cardinal 13 et 11 respectivement. 3 (a)Appliquer la formule des c lassespour obtenir une équation liant aetb. S"il n"y a pas de points fixes, les orbites sont toutes de longueur 11 ou 13, et la formule des classes fournit l"équation

13aÅ11bAE108.(1)

(b) Conc lureen mont rantque cette équation n"a pas de solution dans N2.

Commeaetbsont des entiers positifs, on doit avoira·8 etb·9 pour satisfaire les inégalités

13a·108 et 11b·108 découlant de (1). Par ailleurs, cette équation entraîne que 13a´108

mod 11, soita´10 mod 11, ce qui n"est pas compatible avec la contrainte 0·a·8. L"équation

(1) n"a donc pas de solution dansN2. 4quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46