Suites homographiques - Réponses
la fonction de dans définie par de f b) D après la représentahon graphique on peut conjecturer les de la (un)nEN La est positive Sur N majorée par 2 donc elle converge 2) Etude de la suite(un) a) Monfrons que la suite ) est définie sur N = 2) Monbons que la suite (un) est bornée prena_nt ses valeurs dam I 'intervalle [—1 2]
Cours de maths S/STI/ES - Suites et convergences
3 Suites récursives : définitions, convergence et divergence, opérations sur les limites, démonstrations ou preuves par récurrence 8 4 Etude de la convergence d’une suite : théorème de convergence monotone, théorème des gendarmes, théorème du point fixe de Banach 12 5 Suites homographiques : étude des suites homographiques 13
Planche no 18 Suites - maths-francefr
Etude des suites (un)=(cosna)et (vn)=(sinna)où a est un réel donné 1) Montrer que si a 2π est rationnel, les suites u et v sont périodiques et montrer dans ce cas que (un)et (vn)convergent si et seulement si a ∈ 2πZ http ://www maths-france 3 c Jean-Louis Rouget, 2014 Tous droits réservés
Mathematiques - Niveau L1 Tout le cours en fiches
Fiche 98 Opérations sur les limites de suites 389 Fiche 99 Convergence des suites homographiques réelles 392 Fiche 100 Suites extraites 397 Fiche 101 Suites de Cauchy 399 Fiche 102 Comparaison des suites réelles 401 Focus Suites et systèmes dynamiques – L’attracteur de Hénon 405 Intégrales 406 Fiche 103 Qu’est-ce qu’une intégrale
MEMOSUITES - MP
Soit (In)n∈IN une suite décroissante de segments de IR dont la longueur tend vers 0 On note In=[an,bn] Alors n∈IN In est un singleton et en notant n∈IN In={c}, le réel c est la limite commune des suites (an)n∈IN et (bn)n∈IN Théorème4 de Bolzano-Weierstraß De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente
LEÇON NO Suites définies par récurrence Applications
—A SAMIER & C RASSON, Suites, Leçon de Maths, S2 Master 1 Ens Math, 2010-2011 Master 1 Ens Math, 2010-2011 —S D UCHET , Étude de suites définies par différents types de récurrence
Les leçons de mathématiques à loral du CAPES
40 4Limites et comparaison de suites 452 40 5Limites des suites arithmétiques et géométriques 454 40 6Déterminer la limite d’une suite 455 40 7Suites monotones et limites 457 40 8Compléments : suites homographiques et limites 460 41Suites arithmétiques, suites géométriques ••••••••••••••••••• 463
FICHE DE RÉVISION DU BAC - Studyrama
[Titre de la fiche] 7 Fonctions homographiques : plus les valeurs de seront grandes - On peut étendre la notion de limite aux suites, en considérant qu’une suite est une fonction définie
Exo7 - Exercices de mathématiques
n) les suites définies par la donnée de u 0 et v 0 et les relations de récurrence u n+1 = 2u n +v n 3 et v n+1 = u n +2v n 3: Etudier les suites u et v puis déterminer u n et v n en fonction de n en recherchant des combinaisons linéaires intéressantes de u et v En déduire lim n+¥u n et lim n+¥v n Correction H [005229] Exercice 11
math 1er S2 et S4
Les classes de premi‘re S2 et S4 sont des classes scientifiques qui doivent permettre l’acquisition par les ”l‘ves d’un raisonnement rigoureux et d’une bonne mafltrise technique des outils math”matiques sans exc‘s de formalisme et d’abstraction
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Fiche n°2 - Suites et convergence
Suites et variations, limite et convergence, suites arithmétiques, géométriques, etc.J. Paquereau 1/14
Cours : fiche n°2 - Suites et convergences
Thème : suites et variations, limite et convergence, suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, quelques théorèmes, etc.Notions abordées Page
1. Suites et variations : définition, suites croissantes, constantes et décroissantes, sommes des
2. Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques : définitions et propriétés. 3
3. Suites récursives : définitions, convergence et divergence, opérations sur les limites,
démonstrations ou preuves par récurrence. 8 gendarmes, théorème du point fixe de Banach. 125. Suites homographiques : étude des suites homographiques. 13
1. Suites et variations
plusieurs nombres initiaux. Le nombre suivant va dépendre du ou des termes précédents, celui encore
Exemple : La succession de nombres : 0, 2, 4, 6, 8, etc. est une suite. Son terme initial est 0. Et la suite
évolue de 2 en 2.
suivants, est qualifié de terme initial. Si les termes suivants dépendent de plusieurs termes précédents,
on aura plusieurs termes initiaux. coefficients (indexes) sont les entiers naturels, i.e. : Ͳ, ͳ, ʹ, ͵, etc. de la suite !Terminale S/ES/STI
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terme quelconque ݑ (hors termes initiaux) en fonction du ou des termes initiaux de la suite.
Très logiquement, une suite est croissante si, de " terme en terme », elle augmente (ou au minimum
reste constante). Inversement, elle est dite décroissante si, de " terme en terme », elle diminue (du
moins si elle reste constante). La suite est finalement constante si, de " terme en terme », elle ne varie
pas. Dans la même veine, on parle de suite strictement croissante (resp. décroissante) si la suite est
suite de nombres réels : donc croissante si et seulement si ݊א donc décroissante si et seulement si ݊א donc constante si et seulement si ݊אOn ajoutera également que :
ݑൌͲ et ݊אԳכ
ݒൌͷ et ݊אԳכ
On constate que :
strictement croissante. même strictement décroissante.Les lignes ci-dessus, quoique le cas soit simple à traiter, donnent une méthode afin de répondre à la
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ainsi de suite.Par ailleurs, si tous les termes de la suite sont strictement positifs, un autre critère nous permet de
suite la somme suivante : ܵൌݑݑଵڮ On peut également calculer la somme des termes du ݅-ième au ݆-ième terme : ܵൌݑݑାଵڮ La somme des 5 premiers termes est égales à :2. Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques
Nous allons à présent étudier quelques suites des plus communes.2.1. Suites arithmétiques
ݑ deux réels fixés.
On a les propriétés suivantes, que nous allons tâcher de démontrer.Terminale S/ES/STI
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Si ݎͲ, la suite est strictement croissante.Si ݎൌͲ, la suite est constante.
Remarques :
du dernier terme.Afin de démontrer, les propriétés qui précédent, nous allons introduire la notion de raisonnement par
récurrence. On parle encore de preuve ou démonstration par récurrence. Principe :Etape Description
1 On montre que la proposition ܲ
݊ൌͲ. On dira que la propriété est vraie au rang Ͳ ou encore que ܲ2 On suppose la proposition ܲ
propriété ܲest vraie au rang ݊א 3 On montre que, si la proposition ܲ est vraie au rang ݊א4 On conclut que la propriété ܲ est vraie pour tout ݊א
Démonstrations : tâchons de démontrer les propriétés précédentes sur les suites arithmétiques. Soit
Supposons ܲ vraie au rang ݊א
Conclusion : ܲ vraie pour tout ݊א
Pour démontrer la relation entre les variations de la suite arithmétique et le signe de sa raison, nous
Par définition, nous savons que ݑାଵൌݑݎ. Il vient que ݑାଵെݑൌݑݎെݑൌݎ.
Soit la proposition ܲ
Supposons ܲ vraie au rang ݊א
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On remplace ݑାଵ par ݑାଵൌݑݎ, on bidouille, puis on factorise :
La proposition ܲ
Par conséquent, la propriété ܲ
6 à 12.
Le terme général de la suite est : ݊אSomme des termes à ͳʹ :
2.2. Suites géométriques
deux réels fixés. On a les propriétés suivantes, que nous allons tâcher de démontrer.Si ݍͳ :
Si ݑͲ, la suite est croissante et positive. Si ݑͲ, la suite est décroissante et négative.Si ݍൌͳ, la suite est constante.
Si ݑͲ, la suite est décroissante et positive. Si ݑͲ, la suite est décroissante et négative. décroissante). Elle est successivement positive puis négative. On parle de suite alternée.Terminale S/ES/STI
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Remarques :
ݑ est le premier terme.
݊ͳ est le nombre de termes.
Sans prouver formellement cette proposition par récurrence, on peut constater que : - Finalement, il vient que : ݑൌݑݍ pour tout entier ݊.Sens de variation de ݑ :
Une fois encore, sans apporter une preuve par récurrence, constatons que : donc bien constante.Autrement dit, les termes de la suite sont bien " rangés par ordre croissant ». La suite est bien
croissante. Au contraire, le fait que ݑͲ change le sens des inéquations et les termes sont " rangés
Soit la proposition ܲ
On peut prouver cette proposition par récurrence :Supposons ܲ au rang ݊א
Conclusion : ܲ
Calcule les termes ݑହ et ݑଵ. Calculer la somme des 10 premiers termes. Calculer la somme des termes
5 à 10.
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Le terme général de la suite est : ݊אSomme des termes ͷ à ͳͲ : il y a ͳͲെͷͳൌ termes à sommer. Le premier terme est ݑହ.
2.3. Suites arithmético-géométriques
La notion de suite arithmético-géométrique vient généraliser les notions de suites arithmétiques et
géométriques. Nous les étudions ici à titre informel.ݑ, ܽ et ܾ
On a les propriétés suivantes :
Si ܽ
range ݊ൌͳ.Si ܽ
Si ܾ
Si ܽ
ଵିͲ alors la suite est croissante.Si ܽ
ଵିͲ alors la suite est décroissante. ଵିͲ alors la suite est décroissante et tend vers ଵି quand ݊ tend vers λ. ଵିͲ alors la suite est croissante et tend vers ଵି quand ݊ tend vers λ. Important ! En terminale, il ne vous est clairement pas imposé de connaître ce type de suites,amenés à en étudier, bien guidés, sans que le terme " arithmético-géométrique » ne soit
sous la forme ݑାଵൌܽݑܾTerminale S/ES/STI
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Justification du terme général de la suite. On obtient récursivement :Justification des variations de la suite : en étudiant sereinement le signe de chacun des termes et
facteurs du terme général de la suite arithmético-géométrique, on obtient effectivement les
propriétés ci-avant présentées. ଵି, on a :3. Suites récursives, convergence et divergence
" fonction », ou plus exactement une application qui associe un nombre à un index. Formellement :
Le plus souvent ܫ
que ce début ne dépende pas des prédécesseurs. Si les termes dépendent uniquement du précédent, on
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affine, et plus exactement : ݂Թ՜Թݔհܽݔܾ Rien ne nous empêche désormais de définir des suites récursives quelconques. pour quelles valeurs de ܽ et ܾOn souhaite donc connaître le signe de ݒାଵെݒൌܽ݁௩െݒ selon les valeurs ܽǡאܾ
On pose alors la fonction ݃Թ՜Թݔհܽ dont Or, la fonction ݈݊ est strictement croissante et on a : strictement croissante pour toutܽǡאܾTerminale S/ES/STI
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3.3. Convergence et divergence
Les notions de convergence et de divergence sont aux suites ce que les limites sont aux fonctions. Une
Attention ! Une suite divergente ne tend pas forcément vers േλ pour ݊ grand.Exemple : la suite définie par ݊א
des notions de convergence et de divergence. Les deux définitions suivantes définissent justement le
pour tout ݊אԳ : ݊֜ܰȁݑെ݈ȁߝPlus succinctement : אߝԹାǡאܰԳǡ݊אԳǡ݊֜ܰȁݑെ݈ȁߝ
pour tout ݊אԳ : ݊֜ܰݑߝPlus succinctement : אߝԹାǡאܰԳǡ݊אԳǡ݊֜ܰݑߝ
Explication : cette formulation signifie que :
près, avec ߝ veut. diverge. En effet, dans le pire des cas, comme souvent, pour prouver quelque chose, on peut toujours repartir de la définition même.3.4. Opération sur les limites
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les prouver en repartant de la définition même de limite (fournie ci-dessus). λ െλ ݑݒ Forme indéterminée Ͳ λ ou െλ ݑݒ Forme indéterminéeݒ Forme indéterminée
ݒ Forme indéterminée
3.5. Convergence ou divergence des suites aritmétiques, géométriques et arithmético-géométriques
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(ii) : ݊אԳכǡݎͲǡݑൌݑ݊ݎ. Soit ߝͲ, ݑ݊ݎ֜ߝ
. On peut poser ݊ premier entier strictement supérieur à ି௨బ . Conclusion, on peut toujours trouver un rang au-delà duquel les ݑDémonstration : le principe est le même que celui utilisé au travers de la preuve précédente. On peut
4. Etude de convergence : quelques théorèmes
Théorème de convergence monotone : toute suite réelle monotone bornée est convergente.De la précédente formulation du " théorème de convergence monotone » découle les deux propositions
équivalentes suivantes :
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Toute suite réelle croissante et majorée est convergente. Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente Egalement, voici une propriété souvent bien pratique : On préfère parfois étudier la limite de la différence plutôt que la limite même. Finalement, deux autres théorèmes également très utiles en pratique :Théorème des gendarmes (convergence) :
Si ݊אԳǡ݊݊֜N.B. : ce théorème passe pour plutôt évident. Si, à un moment donné, une suite se fait écraser par deux
Théorème des gendarmes (convergence, autre version) : Si ݊אԳǡ݊݊֜ Théorème des gendarmes (divergence vers λ) : Si ݊אԳǡ݊݊֜Théorème du point fixe de Banach :
5. Suites homographiques
A titre informel, nous allons étudier une autre forme de suites commune : les suites homographiques.
traite ci-après le cas général. ௨ାௗ avec ܽǡܾǡܿǡ݀א arithmético-géométrique, cas que nous avons déjà traité. On suppose donc que ܿTerminale S/ES/STI
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Pour étudier cette suite, on utilise une astuce classique consistant à introduire une nouvelle suite