Lec¸on 223: Suites numeriques Convergence, valeurs´ d

4/12 14 Convergence des suites numériques 14 2 Comportement asymptotique d'une suite 14 2 1 Suites convergentes Dé nition8 Une suite (u n) converge vers une limite réelle nie ‘si u n peut être aussi proche que l'on veut de ‘, du moment que nest pris su samment grand, c'est-à-dire supérieur à un certain rang Autrement dit : (u

223 – Suites numériques Convergence, valeurs d’adhérence

Dans une deuxième partie nous étudierons la convergence et les propriétés de certaines suites particulières, notamment les suites récurrentes et homographiques, et nous ferons le lien entre les suites homographiques et la réduction des matrices de PGL 2(C) Ensuite nous verrons des applications des suites, d’abord pour caractériser

Suites numériques Convergence, valeurs d’adhérence Exemples

Suites numériques Convergence, valeurs d’adhérence Exemples et applications Mohamed NASSIRI Très vite, avec les suites, la notion de limite et de convergence est importante Cependant, il existe des suites assez particulières Par exemple, (( 1)n) ne converge pas (elle vaut constamment 1 et 1)

Sens de variations et convergence d’une suite numérique

Sens de variations et convergence d’une suite numérique I Sens de variation d'une suite Définition - Sens de variation d'une suite Soit (un) une suite et k un entier • La suite : ???? ;est croissante à partir du rang si, pour tout entier ???? R , ????+1 R ????

Suitesnumériques - imag

MathsenLigne Suitesnumériques UJFGrenoble 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 u n Convergence de 1+sin(n)/n ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ Figure 1–Convergencedelasuite1+sin(n)/n

Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions

Convergence simple On a vu qu’une suite num erique peut converger (ou non) vers une limite nie ‘ De la m^eme mani ere, on peut etudier la converge d’une suite de fonctions et voir si elle peut s’approcher (converger) (ou non) d’une fonction "limite" Soit x 0 2D x e Alors la suite (f n(x 0)) n2N est une suite num erique dont

Lec¸on 223: Suites numeriques Convergence, valeurs´ d

Soient (E;d) un espace métrique et hun entier naturel non nul Une suite (u n) n à valeurs dans Eest dite récurrented’ordrehsionpeutécrire: 8n h; u n= f(u n 1;u n 2;:::;u n h); oùfestuneapplicationdeEhdansE L’objet de cette partie est d’étudier la convergence des suites récurrentes selon les propriétés de la fonction f

II est une suite son premier terme est - Dyrassa

les termes de la suite à partir d’un certain rang , on note n n lim u b Propriété : Si une suite a une limite alors cette limite est unique 2 i * n n n n lim n et lim n et ; lim n i et lim n C Convergence d’une suite numérique: a Définition : est une suite numérique Si la limite de la suite u n

Séries numériques - MATHEMATIQUES

1 Généralités sur les séries 1 1 Etude d’un exemple Un des paradoxes de Zénon d’élée (≈ 450 av J -C ) était le suivant : pour parcourir une certaine distance, il faut d’abord en parcourir la moitié, puis il faut parcourir la moitié de la moitié restante, puis il faut parcourir la moitié de la

Lec¸on 223: Suites num

´eriques. Convergence, valeurs

d"adh ´erence. Exemples et applications.GRELA Fabrice

Rapport de Master 2

Présentation orale effectuée le 14/09/2016

Université de Rennes 1

ENS Rennes

Professeur encadrant: Isabelle GRUAIS

Table des matières

I Plan détaillé de la leçon. 4

1 Convergence de suites.4

1.1 Limite de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Valeurs d"adhérence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Convergence au sens de Cesàro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Comparaisons de suites.9

2.1 Comparaison terme à terme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Comportement asymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Comparaison des vitesses de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Suites récurrentes.13

3.1 Itération d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Récurrences linéaires à coefficients constants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Application à la résolution d"équations numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Développements. 19

4 Processus de Galton-Watson. 19

5 Méthode de Newton.24

III Entretien et questions. 26

Introduction.

Les suites numériques sont utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques.Tout d"abord, les suites apparaissent naturellement en topologie. Dans le cas d"un espace métrique, on peut caracté-

riser de nombreuses propriétés comme la continuité, la compacité, la complétude... en utilisant des caractérisations

séquentielles, généralement plus simples à manipuler que les définitions théoriques. A partir de certaines propriétés

de densité, les suites permettent de construire certains objets mathématiques comme l"intégrale de Riemann par

exemple.

En analyse numérique, on utilise les suites afin d"utiliser des méthodes d"approximation de réels ou de complexes

inconnus comme par exemple les zéros d"une fonction. Les suites sont un outil pertinent en informatique car elles

permettent de discrétiser des problèmes qui peuvent ainsi être gérer par l"outil informatique : par exemple, le calcul

numérique de l"intégrale d"une fonction continue utilise une méthode d"approximation de la fonction par une suite

ou par "le découpage" de l"espace en subdivisions. La notion principale sous-jacente à ces applications est l"étude de la convergence des suites.

Dans une première partie, nous allons donc définir la convergence des suites et la limite d"une suite. Nous chercherons

à étendre cette notion de limite via les valeurs d"adhérence et nous présenterons une notion de convergence des suites

moins usuelle, la convergence au sens de Cesàro.

La comparaison des suites est également importante et fera l"objet de la seconde partie. La comparaison des suites

terme à terme permet ainsi d"obtenir des critères de convergence pour les suites. Nous chercherons ensuite à obtenir

des informations sur le comportement asymptotique des suites en les comparant à des suites plus simples dont on

connait des propriétés. Parmis ces propriétés, nous allons notamment nous interesser à la vitesse de convergence,

fondamentale en analyse numérique (on souhaite que la convergence vers l"inconnue recherchée soit la plus rapide

possible).

Enfin, nous nous interesserons à un type de suite particulier, les suites récurrentes. Nous établirons des critères

de convergence selon les propriétés de continuité ou de monotonie de la fonction itérée puis nous parlerons des

récurrences linéaires à coefficients constants et de leur résolution. Nous présenterons aussi une méthode de résolution

numérique d"une équation qui utilise la théorie sur les suites récurrentes.

A travers cette leçon, nous donnerons des exemples de suites particulières (les suites de Cauchy, les suites ad-

jacentes, les récurrences homographiques...) et nous illustrerons les résultats principaux de ce plan par des exemples,

des contres-exemples et des applications à d"autres notions des mathématiques (les séries numériques, les probabilités,

la topologie, l"analyse numérique...). 3

Première partie

Plan détaillé de la leçon.

1 Convergence de suites.

1.1 Limite de suites.Nous allons commencer par définir la notion de suite convergente et définir la limite d"une suite. Nous verrons

aussi que si la limite existe alors elle est unique.Définition 1.1 :Suite convergente et divergente.On dit qu"une suite(un)n2Nconverge versl2CouRsi :

8 >0;9N2Ntel que8nN;junlj :

On dit qu"une suite diverge si elle ne converge pas.Théorème 1.2 Si(un)nconverge verslalorslest unique et est appelée limite de la suite(un)n.Exemple :

La suite(un)n1définie parun=1n

converge vers 0 et la suite(vn)n0définie parvn=ndiverge.

Une première utilité de la convergence des suites est la caractérisation séquentielle de certaines propriétés to-

pologiques (comme la continuité). On caractérise ainsi des propriétés topologiques, souvent abstraite, par des

propriétés métriques, plus simples à manipuler en pratique. Application : Caractérisation séquentielle de la limite. Une applicationf:R!Rdéfinie surRest continue ena2Rssi pour toute suite(xn)ndeRqui converge versa, la suite(f(xn))nconverge versf(a).

Exemple :

La fonctionx7!sin(1x

)n"est pas prolongeable par continuité en0.Proposition 1.3 Toute suite numérique convergente est bornée.

Contre-exemple :

La réciproque est fausse :(1)nest bornée mais ne converge pas. 4

Il convient à présent de donner une première proposition élémentaire qui permet de déterminer si une suite

converge.Proposition 1.4 :Convergence monotone.Une suite réelle(un)nmonotone et bornée est convergente.

Voici un premier exemple de suite particulière, les suites de Cauchy, qui jouent un rôle fondamental dans la description

topologique des espaces de suites, de fonctions etc... En effet, la définition de la complétude repose sur la convergence

des suites de Cauchy.Définition 1.5 On dit qu"une suite(un)est une suite de Cauchy si :

8 >0;9N2Ntel que8n;mN;junumj :Proposition 1.6

T outesuite con vergenteest de Cauc hy.

2. T outesuite de Cauc hye stb ornée.Théorème 1.7 DansRouC, toute suite de Cauchy est convergente.Exemple :La suite de terme généralun=nX k=11k n"est pas convergente car elle n"est pas de Cauchy. En effet, ju2nunj=2nX k=n+11k n12n=12

Terminons cette partie en soulignant que les suites de Cauchy sont à la base d"une des constructions de l"ensemble

des nombres réelsR. Application : Construction des nombres réels par les suites de Cauchy.

Nous allons généraliser la notion de limite de suites en définissant les valeurs d"adhérence.

1.2 Valeurs d"adhérence.

Définition 1.8Soit(un)une suite. On appelle sous-suite ou suite extraite de la suite(un), toute suite(u(n))oùest une

application strictement croissante deNdansN.Exemple :

La suite des termes pairs(u2n)et celle des termes impairs(u2n+1)sont des sous-suites de la suite(un)n.

Voyons à présent un résultat qui relie une suite à ses sous-suites.Proposition 1.9

Si une suite(un)converge verslalors toute suite extraite de(un)est convergente et converge versl.Nous pouvons maintenant définir les valeurs d"adhérence d"une suite.

Définition 1.10

On appelle valeur d"adhérence d"une suite(un)tout élément deR(ouC) limite d"une suite extraite convergente

de(un).Exemples : u n= (1)nà deux valeurs d"adhérence :1et1. v n= cos(n)a pour valeurs d"adhérence tout[1;1].

Comme la notion de valeur d"adhérence généralise le concept de limite de suites, nous allons énoncer quelques

propositions illustrant les liens entre ces deux notions.Proposition 1.11 Toute suite convergente admet une unique valeur d"adhérence qui est sa limite. Remarque :Une suite qui possède au moins deux valeurs d"adhérence diverge.

Exemple :

La suite définie parvn= sin(n)diverge car elle a pour valeurs d"adhérences tout[1;1].

Contre-exemple :

La réciproque es fausse : la suite définie parun= (1(1)n)nne possède que 0 comme valeur d"adhérence mais

diverge.

Le prochain théorème énonce un résultat très utile lorsque l"on cherche à montrer qu"une partie d"un ensemble est

compacte. Ce théorème permet aussi de démontrer un résultat de régularité pour des fonctions définies et continues

sur un segment (ou plus généralement sur un compact).Théorème 1.12 :Bolzano-Weierstrass.DansRouC, toute suite bornée possède au moins une sous-suite qui converge.6

Théorème 1.12 :Bolzano-Weierstrass.DansRouC, toute suite bornée possède au moins une sous-suite qui converge.Application : Théorème de Heine.

Toute fonctionf:I!Rcontinue, avecIun segment deR, est uniformément continue surI.Terminons cette sous-partie en définissant la limite inférieure et la limite supérieure d"une suite. Ces concepts

traduisent aussi une volonté de généraliser le concept de limite de suites. On verra aussi que les limites inférieures et

supérieures ont un rapport avec les valeurs d"adhérence d"une suite.Définition 1.13

Soit(un)une suite réelle. On définitlimsup

nunetliminfnunpar limsup nun= limn!+1(sup knuk)2Retliminfnun= limn!+1(infknuk)2R:Exemple :

Soit(un)la suite définie parun= 2 + cos(n2

). Alorslimsupun= 3etliminfun= 1.Proposition 1.14

On aliminfun=sup

n(infknuk)limsupun=infn(sup knuk)avec égalité ssi(un)converge vers cette valeur commune.Application : Lemme de Fatou. Soit(fn)nune suite de fonctions réelles positives. Alors on a : Z R liminfn(fn(t))dtliminfnZ R f n(t)dt:Proposition 1.15

Soit(un)une suite réelle etadh(un)l"ensemble de ses valeurs d"adhérence. Alorsliminfnun=inf(adh(un))et

limsup nun= sup(adh(un)).

Lorsque l"on parle de "suites convergentes", on sous-entend généralement la convergence au sens usuel, définie

en début de section. Mais il existe d"autres modes de convergence comme par exemple la convergence au sens de Cesàro.

1.3 Convergence au sens de Cesàro.

Proposition 1.16 :Moyenne de CesàroSoit(un)une suite numérique qui converge versl2Calors(vn)définie parvn=u1+:::+unnconverge aussi

versl. On dit que(un)converge en moyenne de Cesàro versl.Contre-exemple :

La réciproque est fausse :un= (1)nconvergence au sens de Cesàro mais ne converge pas "au sens usuel" définie

dans la première section.

Exemple :

Soit(un)une suite telle que la sous-suite des termes pairs converge versa2Ret telle que la sous-suite des termes

impaires converge versb2Ralors la moyenne de Cesàro de(un)converge versa+b2 8

2 Comparaisons de suites.Dans cette partie, nous allons présenter les principaux résultats permettant de comparer des suites et expliquer

l"interêt des comparaisons. Par exemple, la comparaison terme à terme des suites permet d"énoncer des théorèmes

de convergence. Par suite, il est naturel de s"interroger sur le comportement d"une suite "quandnest grand" : on

parlera de comparaison asymptotique des suites. L"idée sous jacente aux comparaisons de suites est celle de la vitesse

de convergence qui est fondamentale en analyse numérique : on va chercher à adopter les méthodes numériques qui

convergent le plus rapidement vers la solution recherchée.

2.1 Comparaison terme à terme.Théorème 2.1 :Théorème des gendarmes.

Soient(un);(an)et(bn)trois suites réelles telles qu"à partir d"un certain rang, on aitanunbn. Si(an)et

(bn)sont convergentes et de même limitelalors(un)est convergente et sa limite estl.Exemple :

La suiteun=cos(n)n

converge vers0.

Voici à présent un second exemple de suite particulière, les suites adjacentes qui établissent un nouveau cri-

tère de convergence. Les suites adjacentes permettent aussi de démontrer un théorème sur les séries alternées très

utile pour prouver la convergence de certaines séries ou justifier des permutations de limites et d"intégrales pour les

séries.Définition 2.2

Deux suites(un)et(vn)sont dites adjancentes si :

1.(un)est croissante et(vn)est décroissante;

2.limn!+1(unvn) = 0.Théorème 2.3

Si(un)et(vn)sont adjacentes alors elles sont convergentes et ont la même limite.Exemple : u n= 11n etvn= 1 +1n

2sont adjecentes et convergent vers 1.

Application : Le critère des séries alternées.

Soit(an)une suite à termes positifs, décroissante, qui converge vers 0. Alors la série alternéeP(1)nanconverge et

les restesjP+1 k=n+1(1)kakjsont majorés paran+1pour toutn2N. 9

2.2 Comportement asymptotique.

Définition 2.4

On dit que(un)est négligeable devant une suite réelle positive(vn)et on noteun=o(vn), si :

8 >09n02Ntel que8nn0;junj vn:Exemple :

Si(un)converge vers 0 alors on aun=o(1).Définition 2.5On dit que(un)est équivalente à une suite(vn)telle quevn6= 0pour toutnn0pour unn0assez grand et on

noteunvnsi la suite(unvn)est négligeable devant(junj).

Le théorème suivant fait le lien entre l"étude de certaines suites, celle des restes et des sommes partielles d"une

série, et l"étude des séries numériques. Plus précisément, ce théorème de sommation des équivalents pour les séries

numériques permet d"obtenir un développement asymptotique de suites et donc de connaître asymptotiquement le

comportement d"une suite.Théorème 2.6

Soient

PunetPvndeux séries à termes positifs telles queunvn. 1.

Si Punconverge alorsPvnconverge etP1

k=nukP1 k=nvkpourn!+1. 2. Si

Pundiverge alorsPvndiverge etPn

k=0ukPn k=0vkpourn!+1.Application : Développement asymptotique de la série harmonique.

On poseHn= 1 +12

+:::+1n . Alors on a : H n= log(n) + +o(12n); avec la constante d"Euler.Proposition 2.7

SoitPunune série téléscopique associée à une suite(an)c"est-à-dire queun=anan1pour toutn1. Alors

la sériePunet la suite(an)sont de même nature et en cas de convergence, on a : 1 X k=1u k= limn!+1ana0:Application : Formule de Stirling.

On a :

n!(ne )np2nquandntend vers+1: 10

2.3 Comparaison des vitesses de convergence.Dans cette section, nous allons formaliser la notion de vitesse de convergence et nous ferons le lien entre l"ordre

d"une convergence et sa vitesse. Ces différentes définitions serons illustrées par des exemples et des contre-exemples.Définition 2.8

Si la suite

jxn+1jjxnj n2N est convergente de limite, on dit alors que la convergence de la suite(xn)nvers est : - lente pour= 1; - géométrique de rapportpour2]0;1[; - rapide pour= 0.Exemple : Le nombreepeut être défini comme la limite de la suite(xn)ndéfinie par :

8n1; xn= (1 +1n

)n:

On a le développement asymptotique suivant :

8n1; xn= exp(112n+o(1n

d"ouen=:exn+1e2netlimn!+1e n+1e n= 1. La convergence de cette suite verseest donc lente.

Si on considère la suite(yn)n= (x2n)nalors la convergence est géométrique de rapport0;5.Remarque 2.9

Plus généralement, si l"on a un développement asymptotique de la forme : x n=+n+o(n)

avecnon nul etdans]1;1[la convergence de la suite(xn)versest géométrique de rapportjj.Contre-exemple :

En considérant les suites(nn)nounn

n , on constate que la réciproque est fausse.Définition 2.10 On dit que la convergence de la suite(xn)nversest d"ordrer1s"il existe une constante >0telle que jxn+1j jxnjrà l"infini.Remarque 2.11

Le casr= 1correspond à une convergence lente (= 1) ou géométrique (0< <1). Si la convergence est

d"ordrer >1alorsjen+1jjenjest équivalent àjenjr1qui converge vers 0, c"est-à-dire que la convergence est rapide.11

Remarque 2.11Le casr= 1correspond à une convergence lente (= 1) ou géométrique (0< <1). Si la convergence est

d"ordrer >1alorsjen+1jjenjest équivalent àjenjr1qui converge vers 0, c"est-à-dire que la convergence est rapide.Contre-exemple :

Une convergence rapide n"est pas obligatoirement d"un ordrer1. La suite définie(xn)ndéfinie par

x n=nX k=01k! a une convergence rapide. Cependant, si on poseen=exn, on a pour toutr >1: lim n!+1e n+1e rn= +1: 12

3 Suites récurrentes.

Définition 3.1Soient(E;d)un espace métrique ethun entier naturel non nul. Une suite(un)nà valeurs dansEest dite

récurrente d"ordrehsi on peut écrire :

8nh; un=f(un1;un2;:::;unh);

oùfest une application deEhdansE.

L"objet de cette partie est d"étudier la convergence des suites récurrentes selon les propriétés de la fonctionf

(monontonie, continuité...). Nous nous interresserons au cas particulier des récurrences linéaires que nous résolverons

explicitement pour l"ordre 2. Enfin, nous mettrons en pratique la théorie sur les suites récurrentes afin de présenter

une méthode numérique.

3.1 Itération d"une fonction.

Cadre de cette leçon :

Ici,Idésigne un intervalle réel fermé etfune fonction définie surIà valeurs dansI. On dit queIest stable parf.Lemme 3.2

Si la suite(xn)nconverge, alors sa limiteest dansIet si de plus, la fonction est continue surIalorsf() =.

On dit alors queest un point fixe def.Exemples :

nalors(un)converge vers 1.

Contre-exemple :

La seule hypothèse de continuité defn"assure pas la convergence de la suite(xn)n: pourf(x) =xsur

[1;1]on axn= (1)nx0pour toutnet cette suite est divergente pourx06= 0. 2.

Une fonction discontinue en tout point deRpour laquelle la suite(xn)nconverge vers l"unique point fixe def

est la fonction caractéristique deQ. En effet, pourx02Q, on axn= 1pour toutn1et pourx0=2Q, on a x1= 0etxn= 1pour toutn2; donc dans tous les caslimn!+1xn= 1est point fixe def.Théorème 3.3 Sifest une fonction croissante deI= [a;b]dansI, alors elle admet au moins un point fixe2I.Exemple : La suite définie paran=p2 +an1aveca0= 7converge vers2.

Contre-exemple :

Ce théorème n"est plus valable pourfdécroissante en considérant, par exemple,fdéfinie parf(x) = 1six2[0;1=2]

etf(x) = 0six2]1=2;1].

Il n"est pas valable non plus sur un intervalle fermé non borné si l"on considèref(x) =x+ 1sur[0;+1[.Théorème 3.4

Si la fonctionfest croissante alors la suite(xn)nest croissante sif(x0)x0et décroissante sif(x0)x0. Si

l"intervalleIest borné alors cette suite est convergente et si de plusfest continue alors sa limite est un point

fixe def.13

Théorème 3.4Si la fonctionfest croissante alors la suite(xn)nest croissante sif(x0)x0et décroissante sif(x0)x0. Si

l"intervalleIest borné alors cette suite est convergente et si de plusfest continue alors sa limite est un point

fixe def.Contre-exemple :

Sans l"hypothèse de continuité sur le compact[a;b]la suite(xn)nne converge pas nécessairement vers un point fixe

def. On peut par exemple considérerfdéfinie sur[0;1]parf(x) =x2+14sur[0;1=2[,f(x) = 1sur[1=2;1]. La

suite définie parx0= 0et parxn=12 (112 n)converge vers12 qui n"est pas un point fixe def.Théorème 3.5

Si la fonctionfest décroissante alors elle admet au plus un point fixe dansI. Si de plus, l"intervalleIest borné

et la fonctionfcontinue, alors les suites extraites(x2n)net(x2n+1)nconvergent vers des points fixes defof.

Dans la cas oùfofadmet un unique point fixe, la suite(xn)nconverge et sa limite est ce point fixe qui est

également l"unique point fixe def.Contre-exemple :

Avec les hypothèses précédentes, si la fonctionfofadmet plusieurs points fixes, la suite(xn)npeut être divergente.

Par exemple, la fonctionfdéfinie sur[0;1]parf(x) = 1x2admet un unique point fixe2[0;1]alors quefof

admet trois points fixes : 0,1 et. On peut alors vérifier que pourx06=, la suite récurrente(xn)ndiverge.

Application : Suites homographiques.

On dit qu"une suite(un)vérifie une récurrence homographique si elle vérifieun+1=h(un)avech(x) =ax+bcx+det

adbc6= 0et est bien définie siun6=dc pour toutn2N. Soit(un)vérifiant une suite homographique. On considère l"équation (E) :h(x) =x,cx2(ad)xb= 0:

On a alors :

1. Si (E)a deux racines disitinctes;2Ralors pour toutn2N, on a : u nu n= (acac)nu0u 0: 2. Si (E)admet une racine doublealors pour toutn2N, on a : 1u n=1u

0+cacn:

Exemple :

On considère la suite définie parun+1=un1 +unavecu0= 1. On a alors(E) :x2= 0, donc 1u n= 1 +n)un=11 +n:Lemme 3.6 Une fonction continue de[a;b]dans[a;b]admet au moins un point fixe.14

Lemme 3.6

Une fonction continue de[a;b]dans[a;b]admet au moins un point fixe.Remarque 3.7Pour cette leçon, nous avons restreint l"étude des suites sur des intervalles deR. Il existe des théorèmes de points

fixes plus généraux sur des espaces de Banach ou pour des compacts inclus dans des espaces vectoriels normés.

Ces théorèmes ne seront pas rappelés ni étudiés dans le cadre de cette leçon.Voici une application en probabilité de l"étude de la convergence des suites récurrentes.

Développement 3.8 :Processus de Galton-WatsonSoitXune variable aléatoire intégrable à valeurs dansN.

On note, pourn2N,pn=P(X=n)etm=E[X] =1P

n=0np n<1.

Soit(Xi;j)i;j2Nune famille de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, suivant la loiPX.

On définit la suite(Zn)n2Nde la façon suivante : 8< :Z 0= 1

8n2N;Zn+1=Z

nP i=1X i;n

Objectif :Calculer1:=P(9n2N; Zn= 0).

On définit la fonction génératrice deXparG:s7!=E[sX] =1X k=0p ksk.Proposition 3.9

La probabilité d"extinction1est le plus petit point fixe deGsur l"intervalle[0;1].Théorème 3.10

Sim1, alors1= 1.

Sim >1, alors1est l"unique point fixe deGsur]0;1[.15

3.2 Récurrences linéaires à coefficients constants.

Définition 3.11On dit qu"une suite(un)nà valeurs complexes vérifie une récurrence linéaire homogène d"ordrehà coefficients

constants si

8nh; un=a1un1+a2un2+:::+ahunh(a1;:::;ah2C):Proposition 3.12

L"équation

x ha1xh1:::ah= 0

s"appelle équation caractéristique de la récurrence précédente. Si on noter1;:::;rqses racines et1;:::;qleur

ordre de multiplicité respectifs, alors l"ensemble des suites(un)nvérifiant la récurrence précédente est l"ensemble

des suites de la forme : u n=P1(n)rn1+:::+Pq(n)rnq;

où pour touti,Piest un polynôme vérifiantdeg(Pi)< i.Exemple : récurrence linéaire à coefficients constants d"ordre 2.

0;u12C; un=aun1+bun2:

L"équation caractéristique correspondante est : x

2axb= 0:(E)

Si (E)possède deux racines distinctesx1;x2alors les suites vérifiant la récurrence sont de la forme :

u n=xn1+xn2: Les coefficientsetsont déterminés à partir des équationsu0=+etu1=x1+x2. 2. Si (E)possède une racine doublexalors les suites vérifiant la récurrence sont de la forme : u n= (n+)xn: Les coefficientsetsont déterminés à partir des équationsu0=etu1= (+)x. 3.

Lorsqueaetbsont réels et que le discriminant =a2+ 4best strictement négatif, en notant les racines de

[PDF] Lec¸on 223: Suites numeriques Convergence, valeurs´ d

Lec¸on 223: Suites num

´eriques. Convergence, valeurs

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Professeur encadrant: Isabelle GRUAIS

Table des matières

I Plan détaillé de la leçon. 4

1 Convergence de suites.4

1.1 Limite de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Valeurs d"adhérence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Convergence au sens de Cesàro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Comparaisons de suites.9

2.1 Comparaison terme à terme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Comportement asymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Comparaison des vitesses de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Suites récurrentes.13

3.1 Itération d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Récurrences linéaires à coefficients constants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Application à la résolution d"équations numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Développements. 19

4 Processus de Galton-Watson. 19

5 Méthode de Newton.24

III Entretien et questions. 26

Introduction.

Première partie

Plan détaillé de la leçon.

1 Convergence de suites.

1.1 Limite de suites.Nous allons commencer par définir la notion de suite convergente et définir la limite d"une suite. Nous verrons

8 >0;9N2Ntel que8nN;junlj :

La suite(un)n1définie parun=1n

Exemple :

La fonctionx7!sin(1x

Contre-exemple :

8 >0;9N2Ntel que8n;mN;junumj :Proposition 1.6

T outesuite con vergenteest de Cauc hy.

1.2 Valeurs d"adhérence.

Définition 1.10

Exemple :

Contre-exemple :

Soit(un)une suite réelle. On définitlimsup

Soit(un)la suite définie parun= 2 + cos(n2

On aliminfun=sup

1.3 Convergence au sens de Cesàro.

Exemple :

2 Comparaisons de suites.Dans cette partie, nous allons présenter les principaux résultats permettant de comparer des suites et expliquer

2.1 Comparaison terme à terme.Théorème 2.1 :Théorème des gendarmes.

La suiteun=cos(n)n

Deux suites(un)et(vn)sont dites adjancentes si :

1.(un)est croissante et(vn)est décroissante;

2.limn!+1(unvn) = 0.Théorème 2.3

2sont adjecentes et convergent vers 1.

2.2 Comportement asymptotique.

Définition 2.4

8 >09n02Ntel que8nn0;junj vn:Exemple :

Soient

Si Punconverge alorsPvnconverge etP1

Pundiverge alorsPvndiverge etPn

On poseHn= 1 +12

On a :

2.3 Comparaison des vitesses de convergence.Dans cette section, nous allons formaliser la notion de vitesse de convergence et nous ferons le lien entre l"ordre

Si la suite

8n1; xn= (1 +1n

On a le développement asymptotique suivant :

8n1; xn= exp(112n+o(1n

En considérant les suites(nn)nounn

3 Suites récurrentes.

8nh; un=f(un1;un2;:::;unh);

3.1 Itération d"une fonction.

Cadre de cette leçon :

On dit alors queest un point fixe def.Exemples :

Contre-exemple :

Contre-exemple :

Application : Suites homographiques.

On a alors :

0+cacn:

Exemple :

Lemme 3.6