Chapitre 1 Suites numériques - WordPresscom
Chapitre 7 - Suites numériques 4 2 Les suites arithmétiques 2 1 Expression par récurrence et expression explicite en fonction de n De nition 5 Une suite est dite arithmétique s'il existe r 2R tel que pour tout n 2N, u n+1 = u n +r Le nombre r est appelé raison de la suite Méthode pour montrer qu'une suite est arithmétique Calculer la
Cours sur les suites numériques - lewebpedagogiquecom
Suites numériques Cours sur les suites numériques M HARCHY TS2-Lycée Agora-2015/2016 1 Raisonnement par récurrence Théorème 1 : Axiome de récurrence Soit Pune propriété portant sur les entiers naturels Si elle vérifie les deux conditions suivantes : 1 P(0) est vraie, 2 pour tout entier naturel p, P(p) implique P(p+1),
I GENERALITES SUR LES SUITES - Dyrassa
NIVEAU : 1 Sc expérimentale Suites numériques page - 3 - دمحم ىسومنب :ذاتسلأا La suite v n s’appelle suite arithmétique de raison r2 03 Définition : n n n 0 (u ) est une suite numérique r est un nombre réel non nul La suite u n
SUITES NUMERIQUES
Suites numériques www plusdebonnesnotes com Page 3 Remarque Si les inégalités sont strictes, cela veut dire que la suite est strictement croissante respectivement décroissante Méthode 2 Pour un certain entier naturel non déterminé, si la suite est définie de manière explicite, c’est-à-dire que "
I GENERALITES SUR LES SUITES - AlloSchool
page - 3 - NIVEAU : 1 SM Les suites numériques دمحم ىسومنب :ذاتسلأا La suite v n s’appelle suite arithmétique de raison r2 03 Définition : n n n 0 (u ) est une suite numérique r est un nombre réel non nul La suite u n
Suites numériques première
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Suites numériques, modèle discret
Suites numériques, modèle discret I Suites numériques Problématique, ou le besoin d’une modélisation discrète Une coccinelle à l’état larvaire ou adulte se nourrit de pucerons Les coccinelles sont donc parfois utilisées dans la lutte biologique contre les pucerons
TD : Exercices Sur LES SUITES NUMERIQUES
4 Déterminer les limites des suites et Exercice39: Soit les suites numériques et définies par: 3 1 n 1 n k u k ¦ et 1 vu nn n n 1) Montrer que la suite est croissante n et que la suite est décroissante 2) Montrer que les suites et sont convergentes et ont la même limite Exercice40: Soit les suites numériques et définies par : 1 1 21
III - Quelques suites célèbres
Notions sur les suites numériques I – Vocabulaire Les suites de nombres sont apparues très tôt dans l'histoire des maths Dés que l'on répète un procédé de calcul on obtient une suite Archimède (-287 à -212 AJC) est connu pour avoir trouvé une valeur approchée de π en s'intéressant aux longueurs de
SUITES NUMERIQUES - Plus De Bonnes Notes
Suites numériques www plusdebonnesnotes com Page 4 Ensuite, sur l’axe des abscisses, on place le premier terme 0 (en général) : Puis grâce à la courbe représentative de la fonction on trouve 1 en construisant l’image de 0: Là, on remarque que 0 et 1 ne se trouvent pas sur le même axe, on ne peut donc les comparer dans la
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www.plusdebonnesnotes.com SUITES NUMERIQUES Chapitre 1 Suites numériques Ce cours contient à la fois tous les rappels de première et TOUT ce qu'il y a à savoir en terminale sur les suites.
Suites numériques www.plusdebonnesnotes.com Page 1 I. DEFINITION 1. Définition d'une suite Définition Une suite est une application mathématique qui transforme un entier naturel noté en un unique réel noté . Cette transformation peut se schématiser ainsi : → Vocabulaire est appelé indice de la suite. Attention à toujours veiller qu'il s'agisse bien d'un entier naturel. est le (+1)è,- terme de la suite si =0 a un sens. La suite est notée : (). Remarquez bien l'utilisation des parenthèses pour parler de la suite. Si les parenthèses sont absentes, on parle tu terme, si les parenthèses sont présentes, alors on parle de la suite. Nous venons de voir qu'une suite opère une transformation, voyons maintenant, comment cette transformation est opérée. 2. Définition explicite d'une suite Définition Soit n un entier naturel. Soit () une suite. On dit que est définie de manière explicite si et seulement si dépend directement et seulement de l'indice n. Ainsi la seule donnée dont on a besoin pour calculer est . Cela signifie qu'il existe une fonction telle que : =() Exemple Soit un entier naturel. On pose =+2+2. Dès lors on a : 4=0+2×0+2=2 6=1+2×1+2=5 =2+2×2+2=10 On peut sans problème calculer le è terme : 64=10+2×10+2=122
Suites numériques www.plusdebonnesnotes.com Page 3 Remarque Si les inégalités sont strictes, cela veut dire que la suite est strictement croissante respectivement décroissante. Méthode 2 Pour un certain entier naturel non déterminé, si la suite est définie de manière explicite, c'est-à-dire que =, alors on pose la fonction ↦() puis on étudie les variations de sur 0;+∞. Alors les variations de seront les mêmes que celles de la suite (). Exemple Soit ∈ℕ∗, on pose la suite =6. On construit la fonction →=6K . est définie et dérivable sur 0:+∞ donc on a : M=-1² Or, ∀∈ℝ∗M<0 On en déduit que la fonction est strictement décroissante sur ℝ∗. On conclut ainsi que la suite est également strictement décroissante. Méthode 3 On utilise cette méthode lorsque les deux précédentes n'ont pas fonctionné a priori. Pour un certain entier naturel n, supposons que >0. Alors si : • RSTURS>1 alors () est croissante. • RSTURS<1 alors () est décroissante. Remarque La méthode 3 a pour conséquence directe la définition d'une suite croissante ou décroissante. III. REPRESENTATION GRAPHIQUE D'UNE SUITE 1. Suite définie explicitement Soit ∈ℕ, on pose =() une suite explicite. Pour représenter la suite graphiquement dans un repère, on construit seulement les points de coordonnées ; sans les relier. On obtient ainsi un nuage de points représentant la suite. Exemple Soit la suite définie sur ℕ par : =. Alors sa représentation graphique est :
Suites numériques www.plusdebonnesnotes.com Page 4 2. Suite définie par récurrence Soit ∈ℕ, on pose 6=() une suite récursive. Pour tracer la représentation graphique d'une telle suite, il faut d'abord tracer la droite d'équation = (appelée couramment la première bissectrice d'un repère) ainsi que la courbe représentative de la fonction qui permet de passer de à 6 ; on obtient alors : Ensuite, sur l'axe des abscisses, on place le premier terme 4 (en général) : Puis grâce à la courbe représentative de la fonction on trouve 6 en construisant l'image de 4 : Là, on remarque que 4 et 6 ne se trouvent pas sur le même axe, on ne peut donc les comparer dans la situation actuelle. C'est la raison pour laquelle on va reporter 6 sur l'axe des abscisses grâce à la droite d'équation = : Pour trouver ,... etc, on reproduit les mêmes opérations que nous venons d'effectuer, alors on obtient :
Suites numériques www.plusdebonnesnotes.com Page 5 IV. LIMITES Remarque Il faut savoir que la limite d'une suite se calcule uniquement en +∞, c'est-à-dire lorsque →+∞. 1. Limite égale à +∞ Définition Soit ∈, on dit que lim→^=+∞ si et seulement si : ∀∈ℝ,∃∈, tel que ∀>,> Cela signifie que vous pouvez choisir un nombre réel M aussi grand que vous voulez, la suite finira toujours par dépasser M et rester supérieure à M. Exemple Soit ∈ℕ,on pose =². Soit ∈ℝ,on résout alors l'inéquation > : > > est positif donc on a : > Il faut ici remarquer que M est forcément positif en vertu de la définition. Ainsi nous venons de voir que pour M aussi grand que l'on veut, à partir de , devient plus grand que en d'autres termes : lim→^=+∞
Suites numériques www.plusdebonnesnotes.com Page 6 2. Limite égale à -∞ Définition Soit ∈, on dit que lim→^=-∞ si et seulement si : ∀∈,∃∈ℕ tel que ∀>,< On peut donc choisir un réel m aussi petit que l'on veut, au bout d'un certain rang 4, la suite () sera et restera plus petite que . Exemple Soit ∈, on pose la suite suivante : =-2+3. On veut démontrer que lim→^=-∞. Pour cela on résout l'inéquation suivante : soit ∈ℝ < -2+3< -2<-3 >-3-2 En effet, nous voyons bien que même si on choisit une valeur extrêmement petite pour m, au bout d'un certain rang, <. En d'autres termes, lim→^=-∞. 3. Limite finie Définition Soit ∈, on dit que lim→^=, où ∈ si et seulement si : ∀∈ℝ∗,∃∈ℕ tel que ∀>,∈-;+ Exemple Démontrons à l'aide de cette définition que la suite =6 tend vers 0 en +∞. Pour cela il va falloir vérifier qu'à partir d'un certain rang, toute la suite est comprise dans l'intervalle -;+. Soit >0 • Vérifions d'abord que >-=0-= : Ici, =0 car on veut démontrer que la suite tend vers 0. Donc - = -. Or -<0 car >0 par définition. De plus 6>0 : trivial. Donc 6>0>-.
Suites numériques www.plusdebonnesnotes.com Page 10 Théorème 2 (admis) • Toute suite croissante et majorée est convergente • Toute suite décroissante et minorée est convergente. V. RAISONNEMENT PAR RECURRENCE (TRES IMPORTANT) 1. L'effet domino Soit une file de dominos disposés les uns après les autres : § Imaginez qu'on arrive à faire tomber le premier domino : c'est l'initialisation. § Imaginez encore que si on arrive à faire tomber un è,- domino quelconque alors, le (+1)è,- domino tombe impérativement : c'est l'hérédité. On peut alors conclure légitimement que tous les dominos vont tomber. 2. La démonstration par récurrence La démonstration par récurrence consiste à transposer parfaitement l'effet domino à une propriété mathématique. Définition-théorème Soit une propriété mathématique notée définie sur ℕ. n Si la propriété est initialisée au rang 0 ou à un autre premier rang 4. n Et si la propriété est héréditaire, c'est-à-dire que pour un certain entier naturel ≥0 ou ≥4 on a 6. ALORS LA PROPRIETE P{ est vraie à partir du rang 0 ou bien à partir du rang n4. Exemple :
Suites numériques www.plusdebonnesnotes.com Page 11 VI. SUITES ARITHMETIQUES 1. Définition explicite Soit () une suite définie sur l'ensemble des entiers naturels. On dit que () est une suite arithmétique si et seulement si : ∀∈,=+ Remarque Si au lieu d'avoir 4, on a où p est un entier naturel, alors : la formule devient : ∀∈,=+(-) 2. Définition par récurrence On remarque qu'une suite est arithmétique si et seulement si ses termes successifs sont toujours séparés par la même raison . Ceci se traduit par la formule suivante : =+éé Vocabulaire 4 est le premier terme de la suite est la raison de la suite. 3. Variations Une suite () arithmétique est strictement croissante si et seulement si > Une suite () arithmétique est strictement décroissante si et seulement si < Une suite () arithmétique est strictement constante si et seulement si = et cette constante vaut 4. Limites Soit () une suite arithmétique définie sur l'ensemble des entiers naturels →^=+∞>
Suites numériques www.plusdebonnesnotes.com Page 12 →^=-∞< →^== 5. Somme des termes d'une suite arithmétique Soit ∈ℕ, soit () une suite arithmétique. Alors il existe une formule pour calculer la somme de ses termes consécutifs. =+++⋯+=×(+) VII. SUITES GEOMETRIQUES Pour l'ensemble de cette partie, on désigne par ()∈ une suite géométrique définie sur l'ensemble des entiers naturels dont le premier terme est 4 et la raison est 1. Définition explicite () est géométrique si et seulement si : ∀∈,=× Remarque Si au lieu d'avoir 4, on a , alors on a : ∀∈,=× 2. Définition de récurrence () est géométrique si et seulement si : ∀∈,=×éé
Suites numériques www.plusdebonnesnotes.com Page 13 3. Variations • 4>0>1 strictement croissante. • 4<00<<1 strictement croissante. • 4>00<<1 strictement décroissante. • 4<0>1 strictement décroissante. • 4=0 strictement constante et égale à 0. • =1 strictement constante et égale à 4. 4. Limites • 4>0>1lim→^=+∞ • 4<0>1lim→^=-∞ • -1<<1lim→^=0 • <-1lim→^ n'existe pas. En d'autres termes la suite n'a pas de limite. 5. Sommes des termes d'une suite géométrique =+++⋯+=×--
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