N d™ordre : /2007-M/MT

Bessel’s equation Frobenius’ method Γ(x) Bessel functions For 0 < p < 1, the graph of J p has a vertical tangent line at x = 0 For 1 < p, the graph of J p has a horizontal tangent line at x = 0, and the graph is initially “ﬂat ” For some values of p, the Bessel functions of the ﬁrst kind can be expressed in terms of familiar

N d™ordre : /2007-M/MT

1 1 2 Fonction de Bessel d™ordre entier On considŁre la fonction gØnØratrice suivante dØ–nie comme suit [4] G(z;t) = ez2 (t 1 t) (1 1 3) on a ez 2 t = X j 0 z

1 Etude de la fonction Beta - WordPresscom

4 Néanmoins, il est possible d'établir le résultat çi-dessus via une autre expression classique (1 5) de B(u;v) Master Theorem (Ramanujan) Si f: C C est une fonction développable sous forme d'une série entière : f(t) = +X1 n=0 ( 1)n (n) n tn, alors, sous ertaicnes hypothèses sur la fonction n7 (n), la transformée de Mellin de

X ការបកស្រាយ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្សែល លីផេស្ ៊ែ ស្ែល

(fonction de Bessel d’indice 0 ) កត់ណោ K B កា L Fកស្រា Kណោ Kំណស្រ Fើ Fប្ Fែងឡាប្លែស Fប្ំ Fែង ឡាប្លែស - អា E តា្យគី J - ANN Tay Kim – site : www btkhmer com Page 5

Electrodynamique II S´erie 1 - Boston University: Physics

0 est la fonction de Bessel d’ordre z´ero L’int´egrale suivante, qu’on trouve par exemple dans Abramowitz, Eq (11 4 38) est utile pour la suite : Z

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Les fonctions de BESSEL modifiées de la première et de la seconde espèce d’ordre sont des solutions de l’équation différentielle suivante : (62)

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6 6 Fonctions de Bessel 275 6 7 Série et polynômes de Legendre 283 6 8 Fonction de Weber-Hermite 285 6 9 Polynômes de Tchebycheff 288 6 10 Polynômes de Laguerre 291 7 Algèbre des transformations 293 7 1 Transformation de Laplace 293 7 2 Transformation de Fourier 313 7 3 Transformation de Mellin 315 8 Probabilités et statistiques 319

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Remerciements

Nous tenons à remercier tout d"abord ,seigneur le tout puissant de l"univers ,qui a permis que ce travail voit la lumière.

A lui toute louange

d"exprimer notre gratitude et reconnaissance à notre encadreur AZEB A.AZIZE pour son suivi et ses judicieux conseils qui nous ont permis de mener à bien notre mémoire . Nous exprimons notre sympathie et nous vifs remerciements à tous ceux qui ont contribué de prés ou de loin l"élaboration de cet ouvrage, qu"ils soit tous assurés de notre profonde reconnaissance et trouvent dans ces mots

L"expression de nos sincères remerciements

En ...n, nous remercions vivement notre famille pour l"aide matérielle et morale durant la période préparation .i

Table des matières

Notation1

Introduction générale 1

1 Les fonctions de Bessel : types et dé...nitions 3

1.1 Fonctions de Bessel de première espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.1.1 Fonction de Bessel d"ordre N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.1.2 Fonction de Bessel d"ordre entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2 Fonctions de Bessel d"ordre quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2.1 Fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.3 Fonctions de Bessel de deuxième espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.3.1 Fonctions de Neumann d"ordre quelconque . . . . . . . . . . . . . . .8

1.3.2 Fonctions de Neumann d"ordre entier . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.4 Fonctions de Bessel de troisième espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

2 Représentation de quelques fonction de Bessel 13

2.1 Représentation intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.2 Développements des fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.2.1 Séries in...nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.3 Représentations asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.3.1 Relations de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.4 Transformation de Fourier-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Table des matières

3 Applications 24

3.1 Pendule de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.1.1 Equation du pendule de longueur variable . . . . . . . . . . . . . . .25

3.1.2 Equation de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

3.1.3 Résolution avec les conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . .26

3.2 modulation de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

Bibliographie 29

iii

Notation

La fonction Gamma

Fonction Digamma

B(x;w)La fonction Beta

lnlogarithme Nibire J mLa fonction Bessel N mLa fonction de Neumann H (1;2)mLa fonction de Hankel I m(x)La fonction de Besselmodifiee K m(x)La fonction de Besselmodifiee j i(x)La fonction de Bessel spherique n i(x)La fonction de Bessel spherique h (1;2) i(x)La fonction de Bessel spherique

La constanted0Euler

(;x)La fonction normalisee C

1Espace des fonctions de classe C1

5Gradient

4Laplacien

G(r;r0;0;)La fonction de Green

Introduction générale

Les fonctions de Bessel sont connues depuis le 18 ème siècle, quand les mathématiciens et les

partielles. Ces équations ont été nommés Laplace, d"Alembert (vague), Poisson Helmholtz

équations. Le plus puissant est la séparation de la méthode de variables, qui en coordonnées

00(z)z2+w0(z)z+ (z2v2)w(z) = 0

Cette équation avec des valeurs concrètes du paramètre apparu dans les articles de FW

Bessel (1816, 1824) qui a construit deux solutions partielles et de l"équation précédente sous

la forme de la série: w(z) =zv1X j=0a jzj+zv1X j=0b jzj=zv 1X k=0a

2kz2k+1X

k=0a

2k+1z2k+1!

+zv 1X k=0b

2kz2k+1X

k=0b

2k+1z2k+1!

1(z) =zv1X

k=0A jz2k= A0=2v(v+ 1)^A1=2v2(v+ 2)^Ak=a2k=(1)k2v2k(k+v+ 1)k! w

2(z) =zv1X

k=0B jz2k= B0=2v(v+ 1)^B1=2v2(v+ 2)^Bk=b2k=(1)k2v2k(kv+ 1)k!1

Introduction générale

(1868) a examinévcomme un paramètre réel arbitraire, et H. Hankel (1869) considérées comme des valeurs complexes pourv. précédente a été introduite par CG Neumann (1867) comme le cas limite de la combinaison linéaire spéciale suivante des fonctionsJv(z)etJv(z) : Y v(z) = lim!vcos()J(z)J(z)sin()= v2Z J. Watson (1867) a introduit la notation pour cette fonction. D"autres auteurs (H. Hankel peut être présentée par la formule: w

00(z)z2+w0(z)z+ (z2v2)w(z) = 0 ;w(z) =c1Jv(z) +c2Yv(z)

oùc1etc2sont des constantes complexes arbitraires. De la même manière, AB Basset (1888) et HM Mac Donald (1899) a introduit les fonc- modi...ée w

00(z)z2+w0(z)z(z2+v2)w(z) = 0 ;w(z) =c1Iv(z) +c2Kv(z)

indépendantezàiz. Dans le premier chapitre, nous présentons les fonctions de base de Bessel et leurs pro- Dans le deuxième chapitre, nous discutons également sur le représentation intégrable de quelques fonctions de Bessel, les développementes (séries in...ni, forme asymptotique), relation de récurrence, transformation de Fourier-Bessel. En ...n, dans le troisième chapitre, nous présentons une sélection de problèmes (avec solutions) portant sur les applications des fonctions de Bessel.2

Chapitre 1

Les fonctions de Bessel : types et

dé...nitions

Introduction

En mathématiques, et plus précisément en analyse, les fonctions de Bessel découvertes par le mathématicien suisse DANIEL Bernouli, portent le nom du mathématicien allemand Friedrich Bessel, qui développa l"analyse de ces fonctions en 1817 dans le cadre de ses

études du mouvement des planètes induit par l"interaction gravitationnelle, généralisant les

découvertes antérieures de Bernouli. Ces fonctions sont des solutions canoniquesY(x)de

1.1 Fonctions de Bessel de première espèce

1.1.1 Fonction de Bessel d"ordre N

La fonctionJn(z);connue sous le nom de "fonction de Bessel d"ordrende première espèce",

est dé...nie, lorsquenest un entier positif, par la série de puissance[voir le paragraphe2.2.1]

[4] J n(z) =zn2 nn!

1z22:(2n+ 2)+z42:4(2n+ 2)(2n+ 4):::

=X i>0(1)ii!(n+i)! z2 n+2i (1.1.1) qui converge pour toutes valeurs dezréelle on complexes, et pourn= 0on a3

1.1. Fonctions de Bessel de première espèce

0(z) = 1z22

2+z42

2:42z62

2:42:62+:::(1.1.2)

qui connue sous le nom de fonction de Bessel d"ordre zéro. Nous dé...nissons les séries de Bessel comme étant J n(x) =zn2 nn!

1z22(2n+ 2)+z42:4(2n+ 2)(2n+ 4):::

fréquemment en physique, Posons y=Jn(z)2xn! =znzn+22(2n+ 2)+zn+42:4(2n+ 2)(2n+ 4)::: et on dérive ainsi z ddz zdydz =n2zn(n+ 2)2zn+22:(2n+ 2)+(n+ 4)2zn+42:4(2n+ 2)(2n+ 4)::: mais nous avons aussi n

2y=n2z2n2zn+22(2n+ 2)+n2zn+42:4(2n+ 2)(2n+ 4):::

par soustraction z ddz zdydz n2y=zn+2+zn+42(2n+ 2):::=z2y

Ce qui donne ...nalement

z ddz zdydz z2n2y= 0 ce qui s"écrit également z

2d2ydz

2+zdydz

+z2n2y= 0

Bessel.4

1.1. Fonctions de Bessel de première espèce

1.1.2 Fonction de Bessel d"ordre entier

On considère la fonction génératrice suivante dé...nie comme suit [4]

G(z;t) =ez2

(t1t )(1.1.3) on a e z2 t=X j0 z2 jtjj!etez2 1t =ez2 t1=X i>0 z2 itii!

On écrit

G(z;t) =X

j>0 z2 jtjj!X i>0 z2 itii!=X j>0X i>0(1)izi+jtji2 i+ji!j!

Maintenant, on posantj=i+net1 n+1on trouve

G(z;t) =1X

n=1( 1X i=0(1)iz2i+n2

2i+ni!(i+n)!)

t n en comparant les con...cients de la serie précédente avec l"expression(1:1:1)on obtient

G(z;t) =ez2

(t1t )=1X n=1J n(z)tn;(1.1.4) de(1:1:3)et(1:1:4)on trouve

G(z;t) =G(z;t) =G(z;t1)

donc 1X n=1J n(z)tn=1X n=1J n(z)1t n =1X n=1J n(z)(1)ntn:(1.1.5)

Maintenant, en mettantm=n, on écrit

1 X n=1J n(z)tn=1X m=1J m(z)(1)mtm Maintenant, on posem=nde la série sur le côté droit, ce qui donne 1 X n=1J n(z)tn=1X n=1J n(z)(1)ntn

donc, de ce qui précede on peut dé...nir une fonction de Bessel d"ordrende première espèce

J n(z);lorsquenest un entier négatif comme suit J n(z) = (1)nJn(z)5

1.2. Fonctions de Bessel d"ordre quelconque

Relations de récurrence

En utilisant(1:1:1);on a, après des calculs élémentaires et pourn0[4] (znJn(z))0=znJn1(z)etznJn(z)0=znJn+1(z) J

0n(z) +nz

Jn(z) =Jn1(z); J0n(z)nz

Jn(z) =Jn+1(z)

d"oú les relations de récurrence J n1(z) +Jn+1(z) =2nz

Jn(z)etJn1(z)Jn+1(z) = 2J0n(z)(1.1.6)

la première relation de(1:1:6)permet d"exprimerJnen fonction deJ0etJ1.

1.2 Fonctions de Bessel d"ordre quelconque

1.2.1 Fonction Gamma

La fonction Gamma est généralement dé...nie par l"intégrale suivante [6] (x) =+1Z 0 t x1etdt quand la partie réelle dexest strictement positive,Re(x)>0: La formule d"Euler donne une expression de la fonctionpour toute valeur dexcomplexe hormis les valeurs dexentières négatives où la fonction possède des pôles (x) = limn!1n!nxx(x+ 1):::(x+n)(1.2.1) En intégrant par parties l"équation(??), on peut facilement montrer que (x+ 1) =x(x)(1.2.2) en véri...ant que(1) = 1;on obtient par récurrence que (n+ 1) =n!(1.2.3)6

1.2. Fonctions de Bessel d"ordre quelconque

avec cette dé...nition, la fonctionapparaît comme un prolongement analytique de la fonc- tion factorielle dé...nie surN. D"après l"équation(1.2.1), la fonctiona un pôle en0et pour toutes les valeurs entières négatives. La formule suivante permet de relier la fonction entre les valeurs situées dans le demi-plan complexe oùRe(x)>1et celui oùRe(x)<1 (1x) =(x)sin(x)(1.2.4) pour calculer numériquement la fonctionpour une valeur dexen dehors des pôles, il est nécessaire de développer cette fonction sur la base des polynômes et des exponentielles. La

formule la plus précise est celle de Lanczós. Ce développement est spéci...que à la fonction

. La formule qui s"inspire de la formule stirling bien connue pour la fonction factorielle n"est valable que pourRe(x)>0et est donnée par (x+ 1) = x+ +12 x+12 e(x+ +12 )p2 c

0+c1x+ 1+c2x+ 2::::::cNx+N+

(1.2.5) Oú"est la paramètre estimant l"erreur. Pour le choix particulier = 5;N= 6etc0très voisin de1, on aj"j<2:1010. Il est di¢ cile de calculer la fonctionpour des valeurs dexun peu importantes. Cela résulte de la croissance très rapide de la fonction. On peut montrer que la fonctioncroit plus vite que toute exponentielle, comme de manière Analogue on montre que l"exponentielle croit plus vite que tout polynôme. On dit parfois que la fonctiona une croissance super exponentielle Dans de nombreuses formules, la fonctionapparaît à la fois au numérateur et au dénominateur d"une expression. Chacun des termes peut être très important, mais le rapport est souvent un nombre relativement modeste. Pour calculer Numériquement ce type

d"expression, il est préférable de calculerln((x)). Ainsi la fraction est alors l"exponentielle

sont exponentiellement plus petits que ceux qui apparaissent dans un calcul direct, on évite ainsi le dépassement de capacité de l"ordinateur.7

1.3. Fonctions de Bessel de deuxième espèce

Lorsquenest remplacé dans(1:1:1)par un nombre complexevquelconque ouRev >0, on introduit la fonction de Bessel de première espèce d"ordre quelconque on obtient [4] J

V(z) =X

0(1)!(v++ 1)

z2 v+2;jargzj< On véri...e facilement que, pour chaquev =2Z,JvetJvsont deux solutions linéairement indépendantes de l"équation z

2u00+zu0+z2v2u= 0(1.2.6)

car le wronskien de deux solutionsu1;u2de(1:2:6)s"écritw(u1;u2)(z) =C z1oú C"est une constante. Ici :

W(Jv; Jv)(z) =2sinvz

Les relations(1:1:6)sont valables pourJvoùu,v2C. Le saut deJvsur la coupure]1;0] est donné par J v(x+i0)Jv(xi0) = 2isin(v)Jv(x); x >0

1.3 Fonctions de Bessel de deuxième espèce

1.3.1 Fonctions de Neumann d"ordre quelconque

Introduisons les fonctions de Bessel de deuxième espèce notéesNv(z)et dé...nies dansC ]1;0]par [4] N v(z) =Jv(z)cosvJv(z)sinv(1.3.1) La fonctionNvest bien solution de(1:2:6)pourv =2Z, pour de telles valeurs dev, les fonctionsJvetNvsont linéairement indépendantes, car

W(Jv; Nv)(z) =2z

1.3. Fonctions de Bessel de deuxième espèce

1.3.2 Fonctions de Neumann d"ordre entier

Lorsquevest un entier, le second membre de(1:3:1)devient indéterminé. On dé...nit alors N n(z)comme limite [4] N n(z) = limv!nNv(z);n>0 =1 @Jv(z)@vquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

[PDF] N d™ordre : /2007-M/MT

Remerciements

A lui toute louange

L"expression de nos sincères remerciements

Table des matières

Notation1

Introduction générale 1

1 Les fonctions de Bessel : types et dé...nitions 3

1.1 Fonctions de Bessel de première espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.1.1 Fonction de Bessel d"ordre N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.1.2 Fonction de Bessel d"ordre entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2 Fonctions de Bessel d"ordre quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2.1 Fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.3 Fonctions de Bessel de deuxième espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.3.1 Fonctions de Neumann d"ordre quelconque . . . . . . . . . . . . . . .8

1.3.2 Fonctions de Neumann d"ordre entier . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.4 Fonctions de Bessel de troisième espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

2 Représentation de quelques fonction de Bessel 13

2.1 Représentation intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.2 Développements des fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.2.1 Séries in...nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.3 Représentations asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.3.1 Relations de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.4 Transformation de Fourier-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Table des matières

3 Applications 24

3.1 Pendule de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.1.1 Equation du pendule de longueur variable . . . . . . . . . . . . . . .25

3.1.2 Equation de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

3.1.3 Résolution avec les conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . .26

3.2 modulation de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

Bibliographie 29

Notation

La fonction Gamma

Fonction Digamma

B(x;w)La fonction Beta

La constanted0Euler

1Espace des fonctions de classe C1

5Gradient

4Laplacien

G(r;r0;0;)La fonction de Green

Introduction générale

00(z)z2+w0(z)z+ (z2v2)w(z) = 0

2kz2k+1X

2k+1z2k+1!

2kz2k+1X

2k+1z2k+1!

1(z) =zv1X

2(z) =zv1X

Introduction générale

00(z)z2+w0(z)z+ (z2v2)w(z) = 0 ;w(z) =c1Jv(z) +c2Yv(z)

00(z)z2+w0(z)z(z2+v2)w(z) = 0 ;w(z) =c1Iv(z) +c2Kv(z)

Chapitre 1

Les fonctions de Bessel : types et

Introduction

1.1 Fonctions de Bessel de première espèce

1.1.1 Fonction de Bessel d"ordre N

1z22:(2n+ 2)+z42:4(2n+ 2)(2n+ 4):::

1.1. Fonctions de Bessel de première espèce

0(z) = 1z22

2:42z62

2:42:62+:::(1.1.2)

1z22(2n+ 2)+z42:4(2n+ 2)(2n+ 4):::

2y=n2z2n2zn+22(2n+ 2)+n2zn+42:4(2n+ 2)(2n+ 4):::

Ce qui donne ...nalement

2d2ydz

2+zdydz

Bessel.4

1.1. Fonctions de Bessel de première espèce

1.1.2 Fonction de Bessel d"ordre entier

G(z;t) =ez2

On écrit

G(z;t) =X

Maintenant, on posantj=i+net1 n+1on trouve

G(z;t) =1X

2i+ni!(i+n)!)

G(z;t) =ez2

G(z;t) =G(z;t) =G(z;t1)

Maintenant, en mettantm=n, on écrit

1.2. Fonctions de Bessel d"ordre quelconque