Fonctions de plusieurs variables - Exo7
Exo7 Fonctions de plusieurs variables Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur www maths-france * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exercice 1 ** I Etudier l’existence et la valeur éventuelle des limites suivantes : 1 xy x2+y2 en (0;0) 2 x 2y
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Fonctions de plusieurs variables - GitHub Pages
Attention, un autre choix de la fonction distance f pourrait conduire à une autre solution (voir l’exemple de la prochaine section) x y A B C M x0 y0 2 4 Recherche élémentaire d’un minimum Voici trois techniques pour trouver les valeurs approchées des coordonnées du point en lequel une fonction de plusieurs variables atteint son minimum
Exo7 - Exercices de mathématiques
f est paire, F n’est pas nécessairement impaire Par exemple, la fonction f : x 71 est paire, mais F : x 7x+1 est une primitive de f qui n’est pas impaire 4 On montre aisément en dérivant une ou plusieurs fois l’égalité : 8x2R; f(x+T)= f(x), que les dérivées successives d’une fonction T-périodique sont T-périodiques
Descente de gradient - GitHub Pages
indique une direction vers des plus petites valeurs de la fonction, il suffit donc de suivre d’un pas cette direction et de recommencer Cependant, afin d’être encore plus rapide, il est possible d’ajouter plusieurs paramètres qui demandent pas mal d’ingénierie pour être bien choisis 1 Descente de gradient classique
Cours d’Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Préambule Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul différentiel appliquée aux fonctions de plusieurs
Fonctions de plusieurs variables : exercices
Fonctions de plusieurs variables : exercices 2D2 18/19 Exercice 1 1) Dans cette question dest la distance associ ee a la norme in nie de R2 a) Repr esenter sur les gures ci-dessous les boules B((0;0);1) et B((1;0);1) :
Fonctions de plusieurs variables - u-bordeauxfr
Introduction Domaine de définition, représentation graphique Normes Continuité Dérivabilité Quelques opérateurs classiques Fonctions de plusieurs variables
Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables
Une fonction réelle de plusieurs variables est une application D : domaine de définition de Exemple : fontion à deux varia les qui représente le périmètre d’un rectangle de longueur x et largeur y, est définie sur , fonction à deux variables définie sur
Fonctions de deux variables - unicefr
C’est la fonction qui donne la r esistance d’un montage en parall ele de deux r esistances C’est pour ca que j’ai appel e les variables R et R0, mais j’aurais aussi bien pu ecrire la m^eme fonction (x;y) 7xy x+y Exo 1 Donnez votre exemple favori de fonction de deux variables
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Exo7
Fonctions usuelles
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le coursExercice 1**I1.Soit fune fonction dérivable surRà valeurs dansR. Montrer que sifest paire,f0est impaire et sifest
impaire,f0est paire. 2.Soient n2Netfune fonctionnfois dérivable surRà valeurs dansR.f(n)désignant la dérivéen-ième
def, montrer que sifest paire,f(n)est paire sinest pair et impaire sinest impair. 3. Soit fune fonction continue surRà valeurs dansR. A-t-on des résultats analogues concernant les primitives def? 4.Reprendre les questions précédentes en remplaçant la condition " fest paire (ou impaire)» par la condi-
tion "festT-périodique». npn,n2N. et tracer son graphe. 2. T rouvertous les couples (a;b)d"entiers naturels non nuls et distincts vérifiantab=ba. Résoudre dansRles équations ou inéquations suivantes :1.()lnjx+1jlnj2x+1j ln2,
2.()xpx
=px x,3.()2Argshx=Argch3Argth79
4.()lnx(10)+2ln10x(10)+3ln100x(10) =0,
5.()22x3x12
=3x+12 22x1.x!+¥(xx)xx (xx).
Construire le graphe des fonctions suivantes :
11.(*) f1(x) =2j2x1jjx+2j+3x.
2. (**) f2(x) =ln(chx). 3. (***) f3(x) =x+pjx21j. 4. (**) f4(x) =jtanxj+cosx. 5. (***) f5(x) =1+1x x(à étudier sur]0;+¥[). 6. (**) f6(x) =log2(1log12 (x25x+6)). 2Correction del"exer cice1 N1.Soit fune fonction dérivable surRà valeurs dansR. Sifest paire, alors, pour tout réelx,f(x) =f(x).
En dérivant cette égalité, on obtient
8x2R;f0(x) =f0(x);
et doncf0est impaire. De même, sifest impaire, pour tout réelx, on af(x) =f(x), et par dérivation
on obtient pour tout réelx,f0(x) =f0(x).f0est donc paire.(fpaire)f0impaire) et(fimpaire)f0paire.)2.Soient n2Netfune fonctionnfois dérivable surRà valeurs dansR. Supposonsfpaire. Par suite,
pour tout réelx,f(x) =f(x). Immédiatement par récurrence, on a8x2R;f(n)(x) = (1)nf(x):
Ceci montre quef(n)a la parité den, c"est-à-dire quef(n)est une fonction paire quandnest un entier
pair et est une fonction impaire quandnest un entier impair. De même, sifest impaire etnfois dérivable
surR,f(n)a la parité contraire de celle den. 3. Soit fune fonction continue surRet impaire etFune primitive def. Montrons queFest paire. Pourx réel, posonsg(x) =F(x)F(x).gest dérivable surRet pour tout réelx, g0(x) =F0(x)+F0(x) =f(x)+f(x) =0:
gest donc constante surRet par suite, pour tout réelx,g(x) =g(0) =F(0)F(0) =0. Ainsi,gestla fonction nulle et donc, pour tout réelx,F(x) =F(x). On a montré queFest paire. Par contre, si
fest paire,Fn"est pas nécessairement impaire. Par exemple, la fonctionf:x7!1 est paire, mais F:x7!x+1 est une primitive defqui n"est pas impaire. 4.On montre aisément en déri vantune ou plusieurs fois l"ég alité: 8x2R;f(x+T)=f(x), que les dérivées
successives d"une fonctionT-périodique sontT-périodiques. Par contre, il n"en est pas de même des
primitives. Par exemple, si pour tout réelx,f(x) =cos2x=12 (1+cos(2x)),festp-périodique, mais la fonctionF:x7!x2 +sin(2x)4 , qui est une primitive defsurR, n"est pasp-périodique ni même périodiquetout court.Correction del"exer cice2 NPourn2N, posonsun=npnpuis, pourxréel strictement positif,f(x) =x1=xde sorte que pour tout naturel
non nuln, on aun=f(n).fest définie sur]0;+¥[et pourx>0,f(x) =elnx=x.fest dérivable sur]0;+¥[et
pourx>0, f0(x) =1lnxx
2elnx=x:
Pourx>0,f0(x)est du signe de 1lnxet doncf0est strictement positive sur]0;e[et strictement négative sur
]e;+¥[.fest donc strictement croissante sur]0;e]et strictement décroissante sur[e;+¥[. En particulier, pour
n3, u n=f(n)f(3) =u3=3p3: Commeu2=p2>1=u1, on a donc Maxfun;n2Ng=Maxfp2;3p3g. Enfin,p2=1;41::: <1;44::=3p3 (on peut aussi constater que(p2)6=8<9= (3p3)6). Finalement, Max fnpn;n2Ng=3p3=1;44:::3 Correction del"exer cice3 N1.Pour x>0, posonsf(x) =lnxx .fest définie et dérivable sur]0;+¥[et, pourx>0,f0(x) =1lnxx2.fest
donc strictement croissante sur]0;e]et strictement décroissante sur[e;+¥[. Le graphe defs"en déduit
facilement :1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 e e2.Soient aetbdeux entiers naturels non nuls tels queaà 3, et donc àe, vérifiantf(b) =f(2). Commefest strictement décroissante sur[e;+¥[, l"équation
f(b) =f(2)a au plus une solution dans[e;+¥[. Enfin, comme 24=16=42, on a montré que : il existe
un et un seul couple(a;b)d"entiers naturels non nuls tel quea et dérivable surR, paire. Puisque la fonctionx7!chxest strictement croissante surR+à valeurs dans ]0;+¥[et que la fonctionx7!lnxest strictement croissante sur]0;+¥[,f2est strictement croissante sur +et, par parité, strictement décroissante surR.f2est paire et doncf02est impaire. Par suite,f02(0) =0 en+¥. Par symétrie par rapport à la droite(Oy), la droite(D0)d"équationy=xln2 est asymptote à dérivable en 1, mais queC3admet deux demi-tangentes parallèles à(Oy)au point deC3d"abscisse 1.2 etx+16=0
, 2x+12x+12 etx6=1,x+12x+1+20 etx+12x+120 etx6=1 5x+32x+10 et3x12x+10 etx6=1
x2 ¥;35
12 et ¥;12
13 etx6=1 ,x2]¥;1[[ 1;35 13 2. Pour x>0
x px =px x,pxlnx=xlnpx,lnx(pxx2 ) =0 ,lnxpx(2px) =0,x=1 oux=4: 4 3.Ar gch3=ln(3+p3
21) =ln(3+p8)et Argth79
=12 ln1+79 179
=lnp8. Donc, Argch3Argth79 ln 1+3p8 . Par suite, 2Argshx=Argch3Argth79
,x=sh12 ln 1+3p8 ,x=12 0 @s1+3p8 1q 1+3p8 1 A =32 p8 1q 1+3p8 =32 4p8 1p 3+2p2 ,x=34p2 4 1q (1+p2)2=34p2(p21)4 4. Pour x2]0;+¥[n1100
;110 ;1, ln x(10)+2ln10x(10)+3ln100x(10) =0,ln(10)lnx+2ln(10)ln(10x)+3ln(10)ln(100x)=0 ,6ln2x+10ln(10)lnx+2ln2(10) =0 ,lnx28 :5ln(10)+q13ln 2(10)6
;5ln(10)q13ln 2(10)6
9 ,x2n 10(5p13)=6;10(5+p13)=6o
Comme aucun de ces deux nombres n"est dans
1100
;110 ;1,S=n 10 (5p13)=6;10(5+p13)=6o 5. Soit x2R.
2 2x3x12
=3x+12 22x1,22x+22x1=3x+12
+3x12 ,22x1(2+1) =3x12 (3+1),322x1=43x12 ,22x3=3x32 ,(2x3)ln2= x32 ln3 ,x=3ln232 ln32ln2ln3,x=32 :Correction del"exer cice5 NPourx>0,(xx)x=exln(xx)=ex2lnxetx(xx)=exxlnx. Par suite, 8x>0;(xx)xx
(xx)=exp(lnx(x2xx)): Or,x2xx=xx(1x2x)=exlnx(1e(2x)lnx). Quandxtend vers+¥,(2x)lnxtend vers¥. Donc, 1 e (2x)lnxtend vers 1 puisx2xxtend vers¥. Mais alors, lnx(x2xx)tend vers¥, puis(xx)xx (xx)=exp(lnx(x2 x x))tend vers 0. lim x!+¥(xx)xx (xx)=0:5 Correction del"exer cice6 NOn noteraCile graphe defi. 1.f1est définie et continue surR, dérivable surRn2;12
. On précise dans un tableau l"expression de f 1(x)suivant les valeurs dex.x¥2 1=2+¥j2x1j2x+12x+12x1jx+2jx2x+2x+2f
1(x)42x6x4On en déduitC1.1 2 3-1-2-3-4-5
12345678
-1 y= 4 y=-2x y= 6x-4 1 22.Soit x2R. chx1 et doncf2(x)existe etf2(x)0.f2est donc définie surR. De plus,f2est continue
2(x) =ln12
(ex+ex)) =ln(ex+ex ln2=ln(ex(1+e2x))ln2=xln2+ln(1+e2x): +¥. De plus, limx!+¥(f2(x)(xln2)) =0 et la droite(D)d"équationy=xln2 est asymptote àC2 2en¥. Enfin, pour tout réelx,
f 2(x)(xln2) =ln(1+e2x)>ln1=0;
etC2est strictement au-dessus de(D)surR. De même,C2est strictement au-dessus de(D0)surR. On en déduitC2. 6 1 2 3-1-2-3-4
123
-13.f3est définie et continue surR, dérivable surRnf1;1g.Etude en¥. Soitx 1. f 3(x) =x+px
21=(x+px
21)(xpx
21)xpx
21=1xpx
21:
Or, quandxtend vers¥,xpx
21 tend vers¥et donc limx!¥f3(x) =0.Etude en+¥. Immé-
diatement, lim x!+¥f3(x) = +¥. Ensuite, pourx1, f 3(x)x =x+px 21x
=1+r11x 2; qui tend vers 2 quandxtend vers+¥. Mais alors, f 3(x)2x=x+px
21=(x+px
21)(xpx
21)xpx
21=1x+px
21:
On en déduit que lim
x!+¥(f3(x)2x) =0 et donc que la droite(D)d"équationy=2xest asymptote à C 3en+¥.Etude en1. Pourx>1,
f 3(x)f3(1)x1=(x1)+p(x1)(x+1)x1=1+rx+1x1;
et pourx2]1;1[, f Par suite, lim
x!1;x>1f3(x)f3(1)x1= +¥et limx!1;x<1f3(x)f3(1)x1=¥. On en déduit quef3n"est pas 21 et donc
f 03(x) =1+xpx
21=x+px
21px
21:
Six>1, on ax+px
21>0 et donc,f03(x)>0. Six<1, on a
px 212=jxj=x;
et donc,x+px 21<0 puisf03(x)<0. Ainsi,f3est strictement décroissante sur]¥;1[et strictement
croissante sur]1;+¥[. Pourx2]1;1[,f3(x) =x+px2+1 et donc f 03(x) =1xpx2+1=px2+1xpx2+1:
7 Six2]1;0], on a clairementf03(x)>0. Si x2[0;1[, par stricte croissance de la fonctionx7!x2surR+, on a x): Donc,f03est strictement positive surh
0;1p2 h , strictement négative suri1p2 ;1h et s"annule en1p2 . En résumé,f03est strictement négative sur]¥;1[et suri1p2 ;1h et strictement positive suri 1;1p2 h et sur]1;+¥[.f3est donc strictement croissante sur]¥;1]et surh1p2 ;1h et strictement décroissante surh 1;1p2 i et sur[1;+¥[. On en déduitC3.1 2 3-1-2-3-4 12345
-1 1p2p 2quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14