Exercices dérivation
EXERCICE 15 Soient n et 1) Calculer la dérivée ne de la fonction 1 fx: x 2) En déduire la dérivée des fonctions suivantes : a) 1: 1 fx x b) 1: 1 fx x c) 2 1: 1 fx x Pour ce dernier cas, on montrera qu’il existe des réels a et b tel que ^ ` 2 1 \ 1,1 , 1 11 ab x x xx EXERCICE 16 Soit 1) Déterminer de deux manières différentes la
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 8 On considère la fonction fdéfinie sur R par f(x) = x3 4x2 + 4x 1) Calculer la dérivée f0de f 2) Etudier le signe de la dérivée f0 3) En déduire le tableau de variations de la fonction f On précisera les éventuels extremums 4) Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonction fsur l’intervalle [ 1 ; 3]
Chapitre 9 : Fonctions dérivées
Connaissant la dérivée de f, déterminer celle de f(ax+b) Exercice 1 : encore le feu d’artifice La hauteur dans le ciel, en mètre (m), d’une fusée de feu d’artifice depuis son lancement est donnée par : f(t)=−0,6t2+21t; où t représente le temps écoulé, en seconde (s)
Fiche exercices (avec corrig´es) - D´eriv´ees
Exercice 1 Pour chacune des fonctions f d´efinies ci-dessous : 1 Donner une expression explicite du taux d’accroissement de f en un point a quelconque du domaine de d´efinition 2 Calculer la limite en a de ce taux d’accroissement et retrouver l’expression de la d´eriv´ee de f en a a) f(x) = x2 b) f(x) = √ x c) f(x) = x √ x
351es - ChingAtome
Exercice 6061 Voici le tableau de variations d’un fonction[f définie sur 4;4 [ 4 2 1 4 2 4 3 1 Variation de f x Déterminer le signe du nombre dérivée de la fonction f en 1 Exercice 6062 On considère une fonction f dont on donne ci-dessous le tableau de signe de sa fonction dérivée: x 5 2 1 4 f′(x) 0 + 0 On considère la tangente
Fonction dérivée dune fonction Corrigé exercices
Fonction dérivée d'une fonction Corrigé exercices fon_deri_c_ex1 Recherche des extremums de la fonction h définie sur [ 4 ; 1] par h(x) = 0,2 x3 + x² + 2 h'(x) = 0,6 x² + 2 x = 2 x ( 0,3 x + 1) La dérivée s'annule pour les valeurs x1 = 0 et x2 = 3 10 − x 4 3 10
La fonction dérivée
La dérivée de la somme est la somme des dérivées car (u +v)(x)=u(x)+v(x) La dérivée de la somme : (u +v)′ =u′ +v′ Exemple : Soit la fonction f telle que : f(x)=x2 + 1 x en appliquant la dérivée de la somme : f′(x)=2x + − 1 x2 =2x − 1 x2 3 3 2 Produit par un scalaire La dérivée du produit par un scalaire est le produit du
Exercices BTS 2 : rappels d’analyse - fonctions usuelles
L Exercice 13 Calculs de dérivées - Études de signes Pour chacune des fonctions f suivantes, déterminer la fonction dérivée f ′ et étudier lesigne de f ′ surR(ousur l’intervalle précisé le caséchéant) 1 f (x)= x3 3 +4x2 −5x+1 2 f (x)= 2 3x−1 pour x =− 1 3 3 f (x)= 2x−6 x+1 pour x =−1 4 f (x)=x p x pour x ≥0 5
Terminale S - Fonction logarithme - Exercices
Exercice 1 1 Donner la définition, l’ensemble de définition et la dérivée de ln(x) 2 a Quelle est la qualification de la fonction ln(x) pour la fonction exp(x) ? b Comment cela se traduit-il au niveau de leur représentation graphique ? c Représenter exp(x) et ln(x) dans un même repère en indiquant les valeurs particulières 3
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Exercices BTS 2 : rappelsd"analyse - fonctions usuelles ?Exercice 1 Échelon de Heaviside
1.Occupons-nous de fonctions utilisées couramment en électricité et aussi en info-
graphie, en musique, etc.On considère le cicuit très simple
ci-contre. On ferme l"interrupteurà l"instantt=0 et on mesure la
tensionU(t) . Elle peut être défi- nie par t?→U(t)=?????E sit?00 sit<0
E u(t)Représentez graphiquement la fonctionU.
2.On notefla fonctionf:t?→U(t-2) etg:t?→U(t+2).
En électricité, on appelle l"uneéchelonretardéet l"autreéchelonavancé: pourriez- vous dire qui est qui? ?Exercice 2 Fonction porte Représentez la fonctionΠ:x?→?????E si|x|?1/2 -E si|x|>1/2 Donnez une interprétation physique de cette fonction sixreprésente la fréquence d"un signal émis par un émeteur radio.?Exercice 3 Signal carréPour s"amuser, on fait varier le sens du courant. Représentez la fonction?qui est depériode 1 et vérifie
t?→?(t)=?????E si 0T(x)=E-2Ex
Représentez graphiquement cette fonction et déterminez l"expression de cette fonction pourx?]-1/2; 0]2.On considère la fonctionΛdéfinie surRpar
oùUest la fonction de Heavyside étudée précédemment. Représentez graphiquement cette fonction en distingant les intervalles ]-∞; 0[, [0; 1[, [1; 2[ et [2;+∞[.3.Donnez un nom à la fonction suivanted, de période 1, telle qued(x)=Expour
toutx?[0; 1[.?Exercice 5 Fonctions causales Les fonctions causales sont très utilisées en électricité.Il s"agit tout simplement de fonctions nulles sur ]-∞; 0]. Pour les exprimez, on utilise la fonction de Heaviside qu"onmultiplie par des fonc- tions usuelles. Représentez graphiquement les fonctions suivantes1.f1:x?→U(x)sinx
4.f4:x?→U(x-π)sin(x-π)
?Exercice 6 Limite en l"infini d"une fonction rationnelle Chacune desfonctionsfci-dessous estdéfiniesur ]1;+∞[. Pourchacuned"entre elle, déterminer limx→+∞f(x).1.f(x)=-4x
x-12.f(x)=1-2x1-x23.f(x)=-2x
(x-1)2 ?Exercice 7 Limites d"une fonction rationnelle, asymptotes On considère la fonctionfdéfinie pour tout réelxde l"intervalle ]1,+∞[ par f(x)=2x+1 1-x.1.Déterminer la limite def(x) lorsquextend vers+∞.
2.Déterminer la limite def(x) lorsquextend vers 1.
3.Déduire des questions précédentes que la courbe représentative defadmet deux
asymptotes. Donner une équation de chacune de ces asymptotes. ?Exercice 8 Asymptote et fonction rationnelle On considère la fonctionfdéfinie sur ]-1,+∞[ par f(x)=x+3+2 x+1.1.Déterminer limx→-1f(x).
2.Que peut-on en déduire comme asymptote pour la courbe représentative C def?
3.Déterminer limx→+∞f(x).
4.Déterminer limx→+∞?f(x)-(x+3)?.
5.Que peut-on en déduire comme asymptote pour la courbe représentative C def?
?Exercice 9 Asymptotes et fonction rationnelle bis On considère la fonctionfdéfinie sur ]1,+∞[ par f(x)=x2+3x+1 x-1.1.Déterminer trois nombres réelsa,betctels que, pour tout nombrex?]1,+∞[, on
ait f(x)=ax+b+c x-12.En déduire que la courbe représentative C defadmet une asymptote obliqueΔ
dont on donnera une équation.3.Étudier la position de C par rapport àΔsur l"intervalle ]1,+∞[.
4.Montrer que la courbe C admet une autre asymptote dont on donnera une équa-
tion. ?Exercice 10 Lecture de graphique La courbe C représentée ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d"un repère orthogonal (O, ?ı,??) de la fonctionfdéfinie sur ]-1,+∞[ par f(x)=ax+b+c x+d, oùa,b,cetdsont quatre nombres réels que l"on se propose de déterminer. 1 -1 -2 1-12 AO C D 1D 2 21.On admet que les droites D1et D2sont les asymptotes de la courbe C. Déduire du
graphique une équation de chacune de ces asymptotes.2.En utilisant la question précédente, et en remarquant que lacourbe C passe par le
point A(-1,-1), déterminer les nombres réelsa,b,cetd.?Exercice 11 Lecture de graphique, tangente
La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique d"une fonctionfdé- finie et dérivable sur [-1;4], dans un repère orthogonal d"unités graphiques 2 cm sur l"axe des abscisses et 1 cm sur l"axe des ordonnées. -2 -1 1 2 3 4 -4-3-2-1123456 AC1.Résoudre graphiqement les équations suivantes :
2.f(x)=0;
3.f(x)=3,5;
4.f?(x)=0.
5.Utiliser la courbe C pour donner le tableau de variations def.
6.En déduire le signe def?(x).
7.La droite T tangente à la courbe C au point B d"abscissex=0 passe par le point A
de coordonnées (-5/4;1).8.Déterminer une équation de T par le calcul.
9.En déduiref?(0).?Exercice 12 Calculs de dérivées
Calculer la fonction dérivée pour chacune des fonctions suivantes :1.unpolynôme :fdéfinie surRpar ·f(x)=-3x4+6x2+1
2.unproduit de polynômes:fdéfinie surRpar :f(x)=(-x+2)(3x+7)2
3.uninverse :fdéfinie surR?par :f(x)=1
x2.4.une somme d"inverses:fdéfinie surR?par :f(x)=2
x2-4 x3.5.une fraction:fdéfinie sur ]3;+∞[ par :f(x)=3x-7
-x+3.6.une puissance de fonctiontrigo :fdéfinie surRpar :f(x)=sin2x.
?Exercice 13 Calculs de dérivées - Études de signes Pour chacune des fonctionsfsuivantes, déterminer la fonction dérivéef?et étudier le signe def?surR(ou sur l"intervalle précisé le cas échéant).1.f(x)=x3
3+4x2-5x+1
2.f(x)=23x-1pourx?=-1
33.f(x)=2x-6
x+1pourx?=-14.f(x)=x?
xpourx≥05.f(x)=-2
(x+1)2pourx?=-16.f(x)=2-1
1+xpourx?=-17.f(x)=?
2x-1 pourx≥1
28.f(x)=x+1
2-2 x+19.f(x)=x
2+1-1 x10.f(x)=x2-6x+8
x2+111.f(x)=sin?
x+π 3? ,x?[0,π]12.f(x)=cos?
2x+π3?
,x?[0,π] ?Exercice 14 Problème d"optimisation Les molécules d"un gaz enfermé dans un récipient à la température T sont animées d"une vitesse devcm.s-1. Cet état d"équilibre est caractérisé par la fonction de distri- 3 bution de vitesse de MAXWELL-BOLTZMANNF(v)=cv2e-mv2/(2kT)
où T est la température (en K),mla masse d"une molécule etcetkdes constantes positives.Montrez que la valeur maximale de F a lieu env=?
2kT/m.
Quelques rappels sur la dérivationSoit f une fonction définie sur un intervalleIdeR, et soit a un élémentI.
Ondit quef estdérivableen alorsque le taux d"accroissementf(x)-f(a) x-aadmetune limite finie quand x tend vers a. Cette limite est alors appeléedérivée de f en a, et est notée f ?(a): f ?(a)=limx→a,x?=af(x)-f(a) x-a. ou encore f ?(a)=limh→0f(a+h)-f(a)h xy 0 Pa f(a) Aha+h f(a+h) Δy ΔxApproximationlocaled"une courbe par sa tangente
Au voisinage de d"un nombre a où f est dérivable, c"est à dire f(x)=f(a)+(x-a)f?(a)+o(x-a) ou encore f(x)≂af(a)+(x-a)f?(a) 0 T Pa e(x) x Dérivée de fonctions composéesSi g est dérivable en x0et f dérivable en g(x0)alors la fonction composée f◦g est dérivable en x0et (f◦g)?(x0)=f??g(x0)?×g?(x0)?Exercice 15 Calculs de dérivées a(x)=?cos(x)6?b(x)=1 lnxc(x)=?1+e-2xd(x)=esinx?x2+x+3?3/2e(x)=ln(lnx)
f(x)=ln(ln(ln(lnx)))g(x)=2? x1+xh(x)=ln?1+x
1-x? i(x)=jωx (jωx)2+3jωx+1 ?Exercice 16 Tracer le graphe d"après la dérivée Une question surgit dans votre esprit en ébullition. On connaît des fonctions dont lesdérivées sontx?→x2,x?→x1,x?→x0,x?→x-2,x?→x-3, etc. mais on ne connaît pas
de fonction du même type dont la dérivée estx?→1 x. En existe-t-il une? Pour le savoir, nous allons utiliser notre fameuse approximation affine. f ?(x)≈f(x+h)-f(x) h pourh"suffisamment petit» Nous en déduisons quef(x+h)≈h×f?(x)+f(x).Commentez alors le programme suivant
4 der2fonc(d,a,b,yo,h): x: ?a; y: ?yo; P: (x,y); j a b h y: ?h*d(x)+y; x: ?x+h; P: ?P, (x,y); (P, Observons maintenant le graphe de la fonctionfqui a pour dérivéex?→1 xsur [0,1; 15] avecf(0,1)=-2,3 et un pas de 0,05 : der2fonc(x >1/x,0.1,15,2.3,0.05) y0 2 4 6 8 10 12 140.511.522.53
Cette fonction semble donc exister! Vous l"avez étudié l"anpassé...?Exercice 17 Que fait ce programme?
gericault(f,a,p): d: ?0; h: ?0.1; (Dd) >p D: ?d; d: ?(f(a+h)f(a))/(h); h: ?h/2; (d)Un indice de plus :gericault(x
(x),2,0.0001)0.499902
Différentielle - Calculs d"erreurC"est ici que les torchons brûlent entre physiciens et mathématiciens! La vision phy-
sicienne va apparaître aux yeux des mathématiciens comme une suite d"approxima- tions naïves qui le rend incapable de comprendre le calcul différentiel dans son en- semble, sa cohérence quelque soit la dimension de l"ensemble de départ et d"arrivée, sa nature linéaire, sa simplicité, sa beauté... Pour le physicien, tout ceci n"est que pédantisme des matheux qui voient peut-être de la simplicité et de la beauté dans le calcul différentiel,mais ils sont bien les seuls! point de vue du physicien, mais, pour le plaisir, nous toucherons un mot plus mathé- matique. Différentielle d"une fonction d"une variableSoitfune fonction dérivable ena. On appelledifférentielledefenal"application LINÉAIRE h?→h×f?(a)On (le physicien...) note
df=h×f?(a) . Or, si fest la fonction identité, c"est à dire si f(x)=x pour tout réel x, alors f?(a)=1 et donc d x=1×h , et donc d f=f?(a) dxC"est un peu tiré par les cheveux...
Reprenons un dessin connu pour mieux voir la situation : xy 0 Aa f(a)M?a+dx
f(a+dx) df dxTG ΔfSachant que le point
M a pour coordonnées (a,f(a)) et que la tangente (MT) a pour coefficient directeur f?(a) , on a yT-yG=f?(a) dx= dfContinuons à "magouiller ». Appelons d
x(qui pour le mathématicien est une fonc- tion) une petite variation autour de a,Δf=f(a+dx)-f(a) et d f=f?(a) dx(qui était une fonction et devient une longueur...) 5 AlorsΔf-
df=e(x) , l"écart évoqué au début du chapitre et qui est négligeable devant d x. DoncΔf≂0
df Ainsi, en physique, pour de "petites » variations, on assimilera d fet Δf . Cela revientà ce que nous avons fait au paragraphe A-6
En pratiquePourquoi tout ce pataquès? Eh bien, vous savez par expérience qu"une formule phy- sique est souvent donnée en fonction d"un produit, d"un quotient, d"une somme de grandeurs. Pour calculer l"erruer commises, il suffira d"utiliser les règles dedérivation Opérationssur lesdifférentielleset applicationaux calculsd"erreurΔ(f+g)≂0 d(f+g)= df+ dgΔ(f g)≂0
d(f g)=f dg+g dfΔ?f
g? ≂0 d?fg? =g df-f dg g2Un exemple
: vous verrez bientôt en physique les oscillations d"un pendule simple dont la période estT=2π?
?gavec ?=1m la longueur du pendule et g=9,80m·s-2 l"accélération de la pesanteur. On veut calculer la variation deTsi?varie de 1
cm Oncalcule d"abordl"erreur absolue,àsavoir approximativement ladifférentielle deT. dT=2π
?gd??=2π ?g12? ?d?=π ?g d?On obtient d
T≈10-2s
Erreur relativeLe physicien sera plutôt intéressé par l"erreur relative d"un résultat : en effet, l"eereur
absolue ne veut pas dire grand chose en elle-même. Une erreurd"un kilo sur un pé- trolier c"est peu, sur une maquette de planeur en balsa c"estbeaucoup.