S Antilles-Guyane juin 2017

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Les vecteurs ⃗n(2 −1 −1) et m⃗ (1 0 − 2) normaux respectiveent aux plans p 1 et p 2 ne sont pas colinéaires donc les plans p 1 et p 2 ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants 3 c Les plans p 1 et p 2 sont sécants, leur intersection est une droite

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LE VIRUS DE SCHMALLENBERG - OIE

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LE CODE DE CONDUITE SUR LES PLANTES INVASIVES POUR LE

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Le semis du maïs est soit manuel ou mécanique La date optimale de semis se situe entre le 15 juin et le 15 juillet après une pluie d'au moins 20 mn suffisante pour permettre une bonne germination des graines La période de semis pour les deux saisons au Bénin se pré-sente comme suit g 'Au nord du Bénin : 15 mai au 15 juin SAu Sud Bénin :

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Exercice 5 Candidats n' ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points

On note R l'ensemble des nombres réels.

L'espace est munit d'un repère orthonormé (O;⃗i;⃗j;⃗k). On considère les points A(-1;2;0), B(1;2;4) et C(-1;1;1).

1.a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

1.b. Calculer le produit scalaire

⃗AB.⃗AC.

1.c. En déduire la mesure de l'angle

̂BAC, arrondie au degré.

2. Soit

⃗n le vecteur de coordonnées (2 -1 -1)2.a. Démontrer que ⃗n est un vecteur normal au plan (ABC).

2.b. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Soient p1 le plan d'équation : 3x+y-2z+3=0 et p2 le plan passant par O et parallèle au plan d'équation :

x-2z+6=0

3.a. Démontrer que le plan p2 a pour équation x=2z.

3.b. Démontrer que les plans p1 et p2 sont sécants.

3.c. Soit la droite d dont un système d'équations paramétriques est :

{x=2t y=-4t-3 z=t t décrit R Démontrer que d est l'intersection des plans p1 et p2.

4. Démontrer que la droite d coupe le plan (ABC) en un point I dont on déterminera les coordonnées.

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CORRECTION(O;⃗i;⃗j;⃗k) est un repère orthonormé de l'espace. A(-1;2;0) ; B(1;2;4) et C(-1;1;1).

1.a. ⃗AB (2 0 4) et ⃗AC (0 -1 1)

Il n'existe pas de nombre réel k telque

⃗AC=k⃗AB donc les vecteurs ⃗AB et ⃗AC ne sont pas colinéaires et les points A, B et C ne sont pas alignés. 1.b. ⃗AB.⃗AC=2×0+0×(-1)+4×1=41.c. AB2=22+02+42=4+16=20 AB= 4=2 2 En utilisant la calculatrice la calculatrice, on obtient :

̂BAC= 51° au degré près.

2.a. ⃗n

(2 -1

-1) ⃗n est un vecteur normal au plan (ABC) si et seulement si ⃗n est orthogonal à deux vecteurs

non colinéaires du plan (ABC) (par exemples : ⃗AB et ⃗AC).

Conclusion

⃗n est un vecteur normal au plan (ABC).

2.b. M(x;y;z) appartient au plan (ABC) ⇔

⃗AM.⃗n=0 ⃗AM(x+1 y-2 z) ⃗n(2 -1 -1)

Conclusion

Une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x-y-z+4=0.

3.a. Le vecteur ⃗m

(1 0 -2) est un vecteur normal au plan d'équation : x-2z+6=0, donc ⃗m est un vecteur normal

au plan p2 qui est parallèle au plan d'équation : x-2z+6=0.D'autre part, le plan p2 passe par le point O.

M(x;y;z) appartient au plan p2 si et seulement si

⃗OM.⃗m=0. ⃗OM (x y z) ⃗m(1 0 -2)

Conclusion

Une équation cartésienne du plan p2 est : x-2z=0 soit x=2z.

3.b. Les vecteurs ⃗n

(2 -1 -1) et ⃗m(1 0 -2) normaux respectiveent aux plans p1 et p2 ne sont pas colinéaires donc les plans p1 et p2 ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants.

3.c. Les plans p1 et p2 sont sécants, leur intersection est une droite.

Pour démontrer que cette droite d'intersection est la droite d , il suffit de démontrer que deux points dis-

tincts de d appartiennent à p1 et p2.

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d : {x=2t y=-4t-3 z=t t décrit R

Pour t=0

E(0;-3;0) ; pour t=1 F(2;-7;1).

p1 : 3x+y-2z+3=0.

Pour le point E :

3×0+(-3)-2×0+3=-3+3=0 donc le point E appartient à p1.

Pour le point F : 3×2-7-2×1+3=6-9+3=0 donc F appartient à p1.

La droite d=(EF) est contenue dans p1.

p2 : x-2z=0 Pour le point E : 0-2×0=0 donc le point E appartient à p2 . Pour le point F : 2-2×1=2-2=0 donc le point F apartient à p2.

La droite d=(EF) est contenue dans p2.

Conclusion

d est la droite d'intersection des plans p1 et p2.

Remarque

Par le calcul, on résout le système :

{x+y-2z+3=0 x-2z=0 ⇔ {3x+y-2z+3=0 x-2z=0 z=t t décrit R ⇔ {x=2t y=-4t-3 z=t t décrit R

On obtient une représentation paramétrique de la droite d ( on peut obtenir une autre représentation

paramétrique de la droite donnée) .

4. Pour déterminer l'intersection de la droite d et du plan (ABC), on résout le système :

{2x-y-z+4=0 x=2t y=-4t-3 z=t On obtient :

2×(2t)-(-4t-3)-t+4=0 ⇔ 4t+4t-t+7=0 ⇔ 7t=-7 ⇔ t=-1.

La droite d es le plan (ABC) sont sécants en I de coordonnées : xI=2×(-1)=-2 ; yI=-4×(-1)-3=1

et zI=-1. I(-2;1 ;-1) .quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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On note R l'ensemble des nombres réels.

1.a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

1.b. Calculer le produit scalaire

1.c. En déduire la mesure de l'angle

̂BAC, arrondie au degré.

2. Soit

2.b. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Soient p1 le plan d'équation : 3x+y-2z+3=0 et p2 le plan passant par O et parallèle au plan d'équation :

3.a. Démontrer que le plan p2 a pour équation x=2z.

3.b. Démontrer que les plans p1 et p2 sont sécants.

3.c. Soit la droite d dont un système d'équations paramétriques est :

4. Démontrer que la droite d coupe le plan (ABC) en un point I dont on déterminera les coordonnées.

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Il n'existe pas de nombre réel k telque

̂BAC= 51° au degré près.

2.a. ⃗n

Conclusion

2.b. M(x;y;z) appartient au plan (ABC) ⇔

Conclusion

3.a. Le vecteur ⃗m

M(x;y;z) appartient au plan p2 si et seulement si

Conclusion

3.b. Les vecteurs ⃗n

3.c. Les plans p1 et p2 sont sécants, leur intersection est une droite.

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Pour t=0

E(0;-3;0) ; pour t=1 F(2;-7;1).

Pour le point E :

3×0+(-3)-2×0+3=-3+3=0 donc le point E appartient à p1.

La droite d=(EF) est contenue dans p1.

La droite d=(EF) est contenue dans p2.

Conclusion

Remarque

Par le calcul, on résout le système :

4. Pour déterminer l'intersection de la droite d et du plan (ABC), on résout le système :

2×(2t)-(-4t-3)-t+4=0 ⇔ 4t+4t-t+7=0 ⇔ 7t=-7 ⇔ t=-1.