II414) L’élasticité de
b) La méthode de calcul de σ Suivant l’énoncé en a) on doit calculer le rapport définissant l’élasticité de substitution factorielle ou de préférence, son inverse, soit : Or le diviseur du second membre (dK/dL) n’est autre que la dérivée de la fonction générale des isoquants, donc le TMST Ce qui permet d’écrire :
4 L’élasticité et ses applications
3 4 L’élasticité et ses applications 1 Elasticité-prix de la demande • Variation en de la quantité demandée d’un bien suite à une variation du prix de marché de ce bien de 1
5 L’offre de travail - Université libre de Bruxelles
Elasticité de l’offre de travail = élasticité de substitution + élasticité revenu Elasticité de substitution mesure l’impact sur l’offre de travail d’une variation de salaire, compensée par une variation du revenu permettant de conserver un niveau d’utilité constant Elle mesure le déplacement le long d’une même courbe
LeçonI (VarianCh 1) FedericoTrionfetti 2019-2020
Des concepts importants Élasticité de substitution Deux exemples de calcul de l’élasticité de substitution Exemple1: Cobb-Douglas OnadéjàcalculéleTST pourla Cobb-Douglasdansl’expression(20)quejeréécrisici TST CD 1 1 1 x 2 x 1 Oncalculeladérivée dTST CD dpx 2{x 1q 1 1 1 (25) Onremplacel’expression(25)dansl’expression(24
CH 4 : La Demande
Expliquer par un graphique l'effet de substitution et l'effet de revenu 5 Donner la formule de Slutsky 6 Définir la notion d'élasticité-revenu de la demande 7 Définir un bien inferieur 8 Définir la notion d'élasticité-prix de la demande 9 Changer les chiffres et refaire le calcul dans les exemples d’effets de
Classe terminale - Série STMG L’accompagnement personnalisé
où d’ est la dérivée de la fonction d définie et dérivable pour x > 0 D’après l’INSEE, l’élasticité prix/demande (calculée en 2006) pour les loisirs est de -2,5 tandis qu’elle est de -0,5 pour l’alimentation et de -0,2 pour le chauffage Elle correspond à la variation de la demande observée pour une augmentation de 1 du
L’offre de travail - CREST
marginal de substitution U L/U C = C0 (L) Pour qu’une solution int´erieure au programme soit possible, il suffit alors : U L U C A < w On d´efinit alors le salaire de r´eserve comme le taux marginal de substitution si le choix du travailleur ´etait le point A, i-e w A = U L (R,L 0) U C (R,L 0) (3)
La production - HEC UNIL
Fonction de cout:^ C = co + aq + bq2 + dq3 avec co > 0 (couts^ flxes) a;d > 0 ; b < 0 ; b2 < 3ad Cout^ moyen et marginal: CM = co q + a + bq + dq2 Cm = a +2bq +3dq2 Le cout^ moyen variable est: CMV = a + bq + dq2 Le proflt de l’entreprise est: ƒ = R ¡ C La maximisation du proflt donne: dƒ dq = Rm ¡ Cm = 0 Condition de premier ordre: Rm
Chapitre 3: Introduction La Demande de Travail
La demande de travail à long-terme Effet substitution Effets d’échelle De la théorie aux estimations Formes fonctionnelles Les estimations empiriques Introduction I Chapitres précédents: Offre de travail I Comment se détermine le niveau d’emploi (pour un salaire donné) I Dépend de l’offre et de la demande I Demande de travail:
MICROECONOMIE I - HEC UNIL
effectuer le même nombre de kilomètres tout en consommant moins d’essence, ou même changer de mode de transport d) Pour répondre, il faut connaître l’élasticité – prix de ce consommateur Si cette donnée vaut 8 , le calcul de la nouvelle quantité consommée se fait comme suit : 30 30 28 ,4 28 ,4 5 142 3 5 3 8 8 8 8 2 2 1 1
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La technologie
Leçon I
(Varian Ch. 1)Federico Trionfetti
Microéconomie 2
2019-2020
Table des matières
1L"objectif de recherche
2Description de la technologie
3Trois exemples importants
Cobb Doublas
Leontief
C.E.S4Propriétés des fonctions de production
5Des concepts importants
Productivité marginale d"un input
Taux de substitution technique
Élasticité de substitution
Rendements d"échelle
Homothéticité
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 2 /37L"objectif de recherche
L"objectif de recherche
Formuler une théorie de l"offre
Définir la technologie.
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 3 /37Description de la technologie
Description de la technologie
La technologie consiste à transformer les inputs en output. Par exem- ple, on transforme de la farine et l"utilisation d"un four et du travail (les inputs) en des pizzas (l"output). Ou encore, on utilise des métaux, une ampoule, du caoutchouc et du travail pour produire un vélo. La technolo- gie peut être très complexe, imaginez la variété des inputs utilisés dans la production d"un hélicoptère. Nous avons besoin de simplifier cette com- plexité. Pour ce faire nous utilisons des fonction mathématique. Une fonction est une relation entre variables, elle transforme les valeurs des variables indépendantes en valeur de la variable dépendante. La tech- nologie fait exactement ça, elle transforme les inputs en output. Ainsi, nous utiliserons la notation suivante:yreprésente la quantité d"output, le vecteurxreprésente les quantités de chaque inputs, etyfpxqest la fonction qui transforme les quantité des inputs en quantité d"output. Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 4 /37Description de la technologie
Pour que nos raisonnements soient claire nous avons besoin de définir quelque concept. Voici donc quelque définition:Definition 11Fonction de production.La fonction de production est la
fonction qui associe les quantité des inputs à la quantité la plus élevée d"output que ces inputs peuvent produire. yfpxq(1)2EnsembleVpyqC"est l"ensemble des inputs qui produisentau moinsla quantitéy..3IsoquantQpyq.Ensemble des inputs qui produisent exactement la quantité de outputy.Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 5 /37Description de la technologie
Nous étudions maintenant trois exemples importants defpxq:Cobb-DouglasLeontief
C.E.S.
Nous représentons graphiquement ces trois fonction de production, ainsi que leursVpyqetQpyq. Nous allons aussi spécifier leurs formules math-ématiques.
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 6 /37Trois exemples importantsCobb Doublas
Trois exemples importants
Example 1
Cobb-Douglas. La technologie Cobb-Douglas est ainsi définie: fpxq ¹pxiqi(2) où les paramètrestiusont tels quei¡0pour tousiet°n i1i1.Très souvent nous utiliserons une Cobb-Douglas à deux inputs: fpxq px1q1px2q11(3)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 7 /37Trois exemples importantsCobb Doublas
Figure 1
F onctionde pro ductionCobb Douglas (pa villon)
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 8 /37Trois exemples importantsCobb Doublas
Figure 2
Construction graphique de Vpyqet deQpyq. (Cobb-Douglas)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 9 /37
Trois exemples importantsCobb Doublas
Figure 3
Ensem bledes input nécessaires (Cobb-Douglas)
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 10 /37Trois exemples importantsCobb Doublas
Figure 4
Iso quant(Cobb-Douglas)
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 11 /37Trois exemples importantsLeontief
Example 2
Leontief. La technologie Leontief est ainsi définie: fpxq minpaixiq(4)oùaisont des paramètres strictement positifs.Très souvent nous utiliserons une Leontief à deux inputs:
fpxq minpa1x1;a2x2q(5)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 12 /37Trois exemples importantsLeontief
Figure 5
F onctionde pro ductionLeon tief(demi p yramide)
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 13 /37Trois exemples importantsLeontief
Figure 6
Construction graphique d el"iso quant(Leon tief)
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 14 /37Trois exemples importantsLeontief
Figure 7
Ensem bledes input nécessaires (Leon tief)
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 15 /37Trois exemples importantsLeontief
Figure 8
Iso quant(Leon tief)
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 16 /37Trois exemples importantsC.E.S
Example 3
C.E.S. La technologie C.E.S (Constant Elasticity of Substitution) est ainsi définie: fpxq n¸ i1a ipxiq 1 ; 1(6)oùaisont des paramètres strictement positifs.Très souvent nous utiliserons une C.E.S à deux inputs:
fpxq ra1px1qa2px2qs1 (7)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 17 /37Trois exemples importantsC.E.S
Figure 9
C.E.S (cerf v olant)
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 18 /37Trois exemples importantsC.E.S
Figure 10
Construction graphique de l"iso quant(C.E.S)
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 19 /37Trois exemples importantsC.E.S
Figure 11
Ensem bled esinput nécessaires (C.E.S)
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 20 /37Trois exemples importantsC.E.S
Figure 12
Iso quant(C.E.S)
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 21 /37Trois exemples importantsC.E.S
Représentation mathématique de l"isoquant.Fixeryà un niveau arbitraireyy. La fonctionyfpxqdevient ainsi une équationy fpxq. Résoudre cette équation pourx2. Exemples:Pour la Cobb-Douglas. y px1q1px2q11ñx2 px1q111pyq111(8)(a)Coup er(b)Coller Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 22 /37Trois exemples importantsC.E.S
Pour la Leontief.
yminpa1x1;a2x2q ñsiya1x1ñx2¥y{a2x 1a1a2siya2x2ñx1¥y{a1x
2a2a1(9)(a)Coup er(b)Coller
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 23 /37Trois exemples importantsC.E.S
Pour la C.E.S.
yra1px1qa2px2qs1ñx2y
a1px1qa 2 1 (10)(a)Coup er(b)Coller Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 24 /37Propriétés des fonctions de production
Ces fonctions ont trois propriétés importantes.1Monotonicité. Une technologie est monotone si pour toutxet
x1¥x,xPVpyq ùñx1PVpyq.2Convexité. Une technologie est convexe siVpyqest un ensemble
convexe.13Régularité. Une technologie est régulière siVpyqest un ensemble
fermé et non vide.1 Un ensemble est convexe si le fait quexetx1appartiennent à cet ensembleimplique quetx p1tqx1appartient à cet ensemble.Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 25 /37
Propriétés des fonctions de production
La Cobb-Douglas et la C.E.S. sont aussi des technologie diteslisses. Une technologie estlissesi la fonction de production est une fonction continue et deux fois différentiable. La Leontief n"est pas lisse. Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 26 /37Des concepts importants
Des concepts importants
Nous définissons ces concepts:Productivité marginale d"un inputTaux de substitution technique entre inputs
Élasticité de substitution
Rendement d"échelle
Homogénéité
Homothéticité
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 27 /37 Des concepts importantsProductivité marginale d"un inputDefinition 4
Productivité marginale d"un input.C"est le changement de l"output obtenu à partir d"un changement infinitésimal de cet input.Productivité marginale dexiestBfpxqBxi(11)
Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 28 /37 Des concepts importantsProductivité marginale d"un input Calculons la productivité marginale (PM) de l"inputx1pour nos trois fameuses fonctions de production.Cobb-Douglas fpxq x11x112(12)Product. marg. dex11x11
1x112(13)Leontief
fpxq minpa1x1;a2x2q(14) sia1x1 a2x2ñPr. marg. dex1a1 sia1x1¡a2x2ñPr. marg. dex10(15)C.E.S. fpxq ra1px1qa2px2qs1 (16)Pr. marg. dex1a1px1q1ra1px1qa2px2qs1
1(17)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 29 /37
Des concepts importantsTaux de substitution techniqueDefinitions 5
Taux de substitution technique.C"est le taux auquel un facteur doit se substituer à l"autre pour produire la même quantité de production.Pour une technologielissele TST est la dérivée de la fonction définie par l"équation suivante. 2 fpx1;x2q y(18) Nous avons déjà vu dans les trois exemple de Cobb-Douglas, Leontief, et C.E.S. que en résolvant (18) nous trouvions la quantité dex2qui pour une quantité dex1donné permettait de produirey. Cette relation entre x2etx1nous l"avons appelé isoquant. Le TST est la dérivée de l"isoqant.
TSTdx2dx
1Isoquant(19)2
Les étudiants qui connaissent le théorème des fonctions implicites peuvent en reconnaitre ici une application. Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 30 /37 Des concepts importantsTaux de substitution technique Par exemple, pour la Cobb-Douglas on a obtenu l"isoquant dans l"équation (8) qui était:x2 px1q111pyq111 TSTCDdx2dx
1Isoq:CD 111px1q111pyq111 111x
2x1:(20)
Par exemple, pour la C.E.S on a obtenu l"isoquant dans l"équation (10) qui était:x2y a1px1qa 2 1 TSTCESdx2dx
1Isoq:CESa1px1q1a
2y a1px1qa 2 1 (21) a1a 2 x2x 1 1 :(22)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 31 /37 Des concepts importantsÉlasticité de substitutionDefinitions 6
Élasticité de substitution.C"est la variation proportionnelle du rapport des inputs divisée par la variation proportionnelle du TST, l"output restant constant. Mathématiquement:dpx2{x1qx2{x1TSTdTST
(23) Graphiquement, l"élasticité de substitution mesure la courbure de l"isoquant.Pour calculer l"élasticité de substitution on a deux étapes.On réécrit (23) comme suit:
TSTx2{x1d TST
dpx2{x1q(24)On calculeTSTetdTST{dpx2{x1qen on les remplace dans l"expression (24). Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 32 /37 Des concepts importantsÉlasticité de substitutionDeux exemples de calcul de l"élasticité de substitution.Exemple 1: Cobb-Douglas. On a déjà calculé leTSTpour la
Cobb-Douglas dans l"expression (20) que je réécris ici TSTCD 111x
2x 1On calcule la dérivée
d TSTCDdpx2{x1q 111(25)
On remplace l"expression (25) dans l"expression (24) et on obtient CDTST CDx2{x1dTST
CDdpx2{x1q
111x2x 1x
2{x11111(26)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 33 /37
Des concepts importantsÉlasticité de substitution Exemple 2: C.E.S. On a déjà calculé leTSTpour la C.E.S dans l"expression (22) que je réécris ici TSTCES a1a
2 x2x 1 1On calcule la dérivée
dTSTCESdpx2{x1q p1qa1a
2 x2x 1 (27) On remplace l"expression (27) dans l"expression (24) et on obtientCESTST
CESx2{x1dTST
CESdpx2{x1q11(28)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 34 /37 Des concepts importantsÉlasticité de substitution Quelque comparaison.Figure 17: T roisC.E.S. et une Cobb-Douglas Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 35 /37Des concepts importantsRendements d"échelle
Definitions 9
Rendements d"échelle.Une fonction de productionfpxqprésente des rendements d"échelle ...... croissant si et seulement si fptxq ¡tfpxq;@t¥0:(29)... constant si et seulement si fptxq tfpxq;@t¥0:(30)... décroissant si et seulement sifptxq tfpxq;@t¥0:(31)Les trois fonctions Cobb-Douglas, Leontief, C.E.S. sont toutes les trois à
rendement constant. Vérifiez-le. Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 36 /37