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FORMES LINÉAIRES ET HYPERPLANS

ngest une base de E, les formes linéaires sur E sont les applications de la forme: ˚ : x= Xn i=1 x ie i Xn i=1 a ix i où les a i sont des scalaires caractérisant ˚ En effet, il est clair qu’une application de cette forme est une forme linéaire; réci-proquement si ˚2E, alors pour tout vecteur xde Eon a: ˚(x) = ˚(Xn i=1 x ie i) = Xn

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FORMES LINÉAIRES ET HYPERPLANS

9 avril 2020

1 Espace Dual d"un espace vectoriel

dans tout le chapitre, E désigne un espace vectoriel surK(RouC).

1.1 Forme linéaire

Définition 1On appelle forme linéaire sur E une application linéaire deEdans K.

1.2 Quelques exemples

1.2.1 L"intégrale

SiE=C0([a;b];K), l"application:

f!Z b 0 f(t)dt est une forme linéaire surE.

1.2.2 La trace

SiE=Mn(K), l"application:

A!Tr(A)

est une forme linéaire surE.

1.2.3 Les formes linéaires coordonnéesdxi

Considérons le cas oùEest de dimension finien; siB=fe1;:::;engest une base deE, on peut définir pour1inla ième forme coordonnée comme l"application linéaire qui à un vecteurx=X jx jejassocie sa ième coordonnée x i. Nous noterons cette formedxi. On peut également notereila ième forme coordonnée . En dimension 2 ou 3, on note plutôt les coordonnéesx;youx;y;z. Les formes coordonnées seront notées dans ce casdx,dy,dz. 1

1.3 Espace dual

Définition 2On appelle espace dual deEl"espaceE=L(E;K).

2 Hyperplans d"un espace vectoriel

Dans cette partie E désigne un espace vectoriel de dimension finie n . Définition 3Dans un espace de dimension finie égale à n , on appelle hyperplans de E les sous espaces de dimensionn1de E ( ou de codimension 1 ) . Par une simple application du théorème du rang on montre que: Proposition 1Le noyau d"une forme linéaire non nulle est un hyperplan . Proposition 2SiHest un hyperplan deEet siaest un vecteur deEqui n"ap- partient pas àH, alors:E=HKa, ce qui signifie queEest la somme directe de l"hyperplan et de la droite vectorielle de vecteur directeura.

Remarque

En dimension non finie, il est possible de définir un hyperplan comme un sous espace de codimension 1, c"est à dire admettant une droite vectorielle comme sup- plémentaire.

3 Dualité en dimension finie

Dans cette partie E désigne toujours un espace vectoriel de dimension finie n .

3.1 Ecriture d"une forme linéaire

Proposition 3SiB=fe1;:::;engest une base de E, les formes linéaires sur E sont les applications de la forme: :x=nX i=1x iei!nX i=1a ixi où lesaisont des scalaires caractérisant. En effet, il est clair qu"une application de cette forme est une forme linéaire; réci- proquement si2E, alors pour tout vecteurxdeEon a: (x) =(nX i=1x iei) =nX i=1x i(ei) =nX i=1a ixi en posantai=(ei)pour touti= 1:::n. 2

Remarque

D"un point de vue matriciel, on peut dire que la matrice ligne(a1;:::;an)est la matrice de la formerelativement aux basesBdeEetf1gdeK. L"action de la forme peut alors s"écrire: (x) =(nX i=1x iei) = (a1a2::: an)0 B B@x 1 x 2 x n1 C CA

3.2 Base duale

Il résulte de la proposition précédente que: Proposition - définition 4SoitEun espace vectoriel de dimensionnet de base B=fe1;:::;eng; les formes linéaires coordonnéesei( oudxi) pouri= 1àn, forment une baseBdeEappelée la base duale deB. La baseBest appelée la base anti duale ou pré duale deB.

Corollaire 5

dimE= dimE

Démonstration

En effet d"après la proposition 3 toute forme linéaires"écrit: =nX i=1a idxi=nX i=1a iei avecai=(ei). La familleBest donc bien une famille génératrice du dual deE.

Montrons qu"elle est libre; supposons que

n X i=1a iei= 0 alors en appliquant cette forme nulle au vecteur de baseej, on obtient: n X i=1a iei(ej) = 0 mais commeei(ej) =j i(symbole de Kronecker), l"équation ci dessus se réduit à a j= 0, pour tout indicejetBest libre.

4 Equation d"un hyperplan en dimension finie

Théorème 1deux formes linéaires ayant le même noyau sont proportionnelles . 3

Démonstration

Considérons deux formes linéairesfetgde noyau communH; siH=Eles deux formes sont nulles, sinonHest un hyperplan deE. Choisissons un vecteuru tel queu =2H; on a alorsE=HKuet tout vecteurxdeEs"écrit de manière uniquex=h+uavech2Het2K. On calcule alors que f(x) =f(h) +f(u) =f(u) g(x) =g(h) +g(u) =g(u) orf(u)6= 0, donc: g(x) =f(u)g(u)f(u)=g(u)f(u)f(x) Théorème 2Etant donné un hyperplan H de E il existe une forme linéairetelle queker=Het toutes les formes linéaires telles queker =Hsont de la forme =avec2K. Si une formetelle queker=Hs"écrit en baseB:(x) =Pn i=1aixi, on dit que(x) = 0 =Pn i=1aixiest une équation de l"hyperplanHen baseB. Deux équations différentes d"un même hyperplan sont proportionnelles. 4

5 Exercices sur la dualité

Exercice 1

E=R3[X]. On définit quatre formes linéairesi,i= 1::4, par:

8P2E:1(P) =P(0)2(P) =P(1)3(P) =P00(0)4(P) =P00(1)

Est ce que lesiforment une base deE?

Si oui quelle en est la base pré-duale (question hors-programme)? Exercice 2 (Intégration et polynômes de Lagrange) E=Rn[X], espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àn. On se donnen+ 1réelsbideux à deux distincts. Soit f2C0([0;1];R). Montrer qu"il existen+ 1réelsaitels que:

8P2E:Z

1 0 f(t)P(t)dt=nX i=0a iP(bi)

Exercice 3

On considère un hyperplanHdeEet un sous espace vectorielFdeEde dimensionp. Monter queF[Hest de dimensionp1, sauf siFH. En déduire que l"intersection d"un nombreqd"Hyperplans deEest de dimen- sion supérieure ou égale ànq.

6 Solutions des exercices sur la dualité

Exercice 1

E=R3[X]. On définit quatre formes linéairesi,i= 1::4, par:

8P2E:1(P) =P(0)2(P) =P(1)3(P) =P00(0)4(P) =P00(1)

Considérons une combinaison linéaire nulle de ces quatre formes dans le dual: a

1+b2+c3+d4= 0

On doit donc avoir pour tout polynômeQ2E:

a

1(Q) +b2(Q) +c3(Q) +d4(Q) = 0

ou encore: aQ(0) +bQ(1) +cQ00(0) +dQ00(1) = 0 Nous appliquons cette combinaison à des polynômes bien choisis deE, pour obte- nir des équations sur les coefficients. PourQ1=Xnous obtenonsb= 0et pour Q

2= 1Xnous obtenonsa= 0. Il reste donc:

8Q2E:cQ00(0) +dQ00(1) = 0

5 PourQ=X3nous obtenons6d= 0et pourQ= (1X)3:6c= 0. On a donc tous les coefficients nuls et ces quatres formes constituent une partie libreAdu dual; or celui ci à la même dimension queEc"est à dire quatre.Aest donc une base du dual. Cherchons maintenant la base préduale. Nous prenons:Q1=X;Q2= 1X. CherchonsQ3tel queQ3(0) =Q3(1) = 0etQ003(0) = 1,Q003(1) = 1.Q3est donc divisible parX(X1)et s"écritQ3= (X2X)(aX+b)ou en développant: Q

3=aX3aX2+bX2bX

On calcule queQ003= 6aX2a+ 2bd"où le système:

2a+ 2b= 1

4a+ 2b= 0

On en tirea=16

; b=13 . et donc: Q 3=16 (X3X2) +13 (X2X) On cherche de mêmeQ4et on trouve cette fois:a=b=16 . Ce qui donne: Q 4=16 (X3X) On a bien pour tout couple(i;j)de[1;::;4]2i(Qj) =j idonc on a trouvé la base pré-duale. Exercice 2 (Intégration et polynômes de Lagrange) E=Rn[X], espace vectoriel des polyn¸Smes à coefficients réels de degré infé- rieur ou égal ànest de dimensionn+ 1. On se donnen+ 1réelsbideux à deux distincts. Pour chacun d"eux on définit la forme linéaire d"évaluation au pointbi par: i:P!P(bi)

Les constituent une familleBE.

Nous allons montrer queBest une base du dual. Il suffit de montrer que c"est une partie libre cardimE=n+1. Nous noteronsLi,i= 1::nles polynômes de Lagrange relatifs aux pointsbi. Rappelons qu"ils sont définis par: L i(x) =n+1Y j=1;j6=ixbjb ibj et qu"ils vérifientLi(bj) =j i(1). Considérons alors une combinaison linéaire nulle de cesn+ 1formes dans le dual: n+1X i=1a i i= 0 6 en appliquant ceci aux polynômes de LagrangeLj, on obtient la nullité de tous les coefficientsaj, pour toutj.Best donc une base. Soit alorsf2C0([0;1];R). Considérons l"application deEdansRdéfinie par: :P2E!Z 1 0 f(t)P(t)dt Il est clair que 2E. Donc va s"écrire en baseBet il existe doncn+1réels a itels que: =Pn i=0ai i, d"où:

8P2E:Z

1 0 f(t)P(t)dt=nX i=0a iP(bi) (2) On peut en outre remarquer que les coefficientsaise calculent facilement grCce

à (1) et (2). On aai= (Li) =Z

1 0 f(t)Li(t)dt. Si nous désirons calculer des intégrales de la forme: Z 1 0 et(at3+bt2+ct+d)dt par la méthode précédente, ce qui correspond àf(t) =et, il nous faut détermi- ner les coefficientsa1;a2;a3;a4;a5. Pour cela on calcule d"abord les polynômes de

Lagrange; on a par exemple:

L

1(x) =x212x313x414x515

L

1(x) =x424

7x312 +71x224
77x12
+ 5 ce qui permet de calculera1=13e+ 2. Finalement, après calculs, on obtient la formule exacte pour un polynôme de degré inférieur ou égal à quatre: Z 1 0 etP(t)dt= 13e+2
P(1)+

13e176

P(2)+ 12e+3

P(3)+13e32

P(4)+

16e+13

P(5)

Exercice 3

On considère un hyperplanHdeEet un sous espace vectorielFdeEde dimensionp. SiFHalors bien sûr on aF[H=Fde dimension p. Supposons mainte- nant queFne soit pas inclus dansH. Il existe un vecteurf2Fqui n"est pas dans H. On aE=HK:f. On écrit alors l"équation aux dimensions bien connue: dim(F+H) =dim(F) +dim(H)dim(F[H): mais commeE=HK:fF+H, on aF+H=E. L"équation aux dimensions donne alors: n=p+n1dim(F[H) 7 d"où on tiredim(F[H) =p1. SiFestunautrehyperplandifférentdeH,onvoitalorsquedim(F[H) =n

11 =n2. Dans tous les cas la dimension de l"intersection de deux hyperplans

est supérieure ou égale àn2On montre alors facilement par récurrence que l"intersection d"un nombreqd"Hyperplans deEest de dimension supérieure ou

égale ànq.

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