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Variable Aleatoire - MatMirf

2 a) Loi de probabilité d’une variable aléatoire X : c’est la fonction qui à toute valeur xi de X associe le réel p i qui est la probabilité de l’événement (X = x i ) Une loi de probabilité P est souvent donnée par un tableau ou par une formule

PB 2 Variables aléatoires finies

Toute application X : › E est une variable aléatoire Par exemple, pour le lancé simultané de trois dés, S : › N, définie par S() est la somme des trois numéros obtenue, est une variable aléatoire Notation 2 3 Événements usuels Si X est une variable aléatoire et si A est une partie de E, notation {X 2 A} ou (X 2A) pour l

XVI Variables aléatoires - lois de probabilités 1 Exemple

variable aléatoire est une variable aléatoire discrète On emploie également cette appellation pour une variable aléatoire dont l'ensemble des valeurs possibles est un ensemble infini dénombrable Exemple : Considérons comme épreuve une suite indéfiniment prolongée de parties de pile ou face, et comme variable

1 Variable aléatoire et loi de probabilité

1 1 Variable aléatoire réelle (discrète) Définition 1 Soit Ω l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire Définir une variable aléatoire sur Ω, c’est associer à chaque issue de Ω un nombre réel Vocabulaire et notation : • Une variable aléatoire est généralement notée par une lettre majuscule : X, Y, Z,

CHAPITRE 3 : LES VARIABLES ALÉATOIRES

Reprise de l’exemple des paquets de farine dont le poids (en grammes) est une variable aléatoire Y : [950,1100] - Lorsqu’on prend un paquet au hasard, la proba d’obtenir un poids de farine

Cours 2: Les variables aléatoires - WordPresscom

Exemple Définissons une variable aléatoire qui représente le nombre d’autos vendues par jour: Soit X le nombre d’autos vendues par jour X est une variable aléatoire discrète Les valeurs que X peut prendre sont x= 0,1,2,3,4,5 f(x) donne la probabilité qu’on vende x autos un jour donné 17

Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité

Exemple 1 ♠ 1 Soit X une variable aléatoire dont la fonction de répartition est donnée par : ∀x ∈ R, F X (x)= 0 si x < 0 xsi ∈ [0,1] 1 si x > 1 X est-elle une variable aléatoire à densité? Si oui, donner une densité 2 Même question avec la variable aléatoire Y dont la fonction de répartition est donnée par : ∀x ∈ R F

VARIABLES ALEATOIRES I) Notion de variable aléatoire

I) Notion de variable aléatoire 1) Exemple :On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée On gagne 2 F pour chaque résultat "pile" et on perd 1 F pour chaque "face" L’univers des possibles est Ω= {PPP, PPF, PFP, FPP, PFF, FPF, FFP, FFF} L'ensemble des gains possibles est donc {+6, +3, 0, −3}

EXEMPLE MAJOR PREPA

La variable aléatoire U est donc à densité, et une densité fU de U est obtenue par dérivation de FU sauf en 0 et en 1, oil on donne à fU la valeur abitraire 0, de sorte que : si x < 0 ou x > 1 si 0 < x < 1 2- si x > 0 Soit a un réel strictement positif etfla fonction définie par : f (x) 0 si x < 0

Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

Variable Aléatoire Continue, Loi à densité : • Exemple : Une puce électronique se déplace,dans le sens des aiguilles d’une montre, à vitesse constante sur les

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p BC ĕ)p=5 12 n MN[AB][AC]AM=AN=1 n [AM][AN] p ′=P([AN][[AM]) =1 n +1 n 12 =1 6n A? B C M N n +1 n!+11 n n!+1p′= 0

P(fAg) =n!+1P([AN][[AM]) =n!+1p′= 0

P(aXb) =∑

x i2[a;b]P(X=xi)

P(X=a) = 0 a2I

X

P(X2[a;b]) [a;b] I

X xab

P(X2[a;b]) =P(aXb) =∫

b a f(x)x X IR f [1;3]f(x) =3 4 (x2)2+3 4 b a

0:20:4

0:5 1:0 1:5 2:0 2:5 3:0

P(2X3) =P(X= 2) +P(X= 2;5) +P(X= 3)

P(1X3) = 1

E(X) = 10;25 + 1;50;2 + 20;1 + 2;50;3 + 30;15

f(x) =3 4 (x2)2+3 4

0:10:20:30:40:50:60:7

0:10:5 1:0 1:5 2:0 2:5 3:00:5

P(1;3X2;7) =∫

2;7

1;3f(x)x=

[F(x)]2;7

1;3= (2;7)F(1;3)

ɍF f

f [1;3]

F(x) =1

4 (x2)3+3 4 xP(1;3X2;7) = 0;8785

P(1X3) =

F(3)F(1) = 1

E(X) =∑xiP(X=xi)

E(X) =∫

b a xf(x)x V(X) =∑(xiE(X))2P(X=xi) =∑x2iP(X=xi)[E(X)]2=E(X2)[E(X)]2

V(X) =∫

b a x2f(x)x[E(X)]2=E(X2)[E(X)]2 V

X ĕ P(X=xi) ɍ xi

X X P(Xxi)

X [a;b]R f

XF(x) =P(Xx) =∫

x a f(t)tx2[a;b]

F(a) = 0

f R [a;b]U[a;b]

X [a;b]R

U[a;b]

f 8 :f(t) =1 ba t2[a;b] f(t) = 0 [u;v][a;b]P(uXv) =∫ v u1 bat=vu ba f(t) =1 ba[a;b]

0:20:40:60:81:0

a b 1 ba× 1

F(x) =P(Xx)

0:20:40:60:81:0

0:2 a b

X U[a;b] f

P(aXb) =P(X2[a;b]) = 1

x2[a;b]P(X=x) = 0 b a xf(x)x=∫ b ax bax=a+b 2

E(X) =∫

b ax bax=1 ba[ x2 2 b a

E(X) =1

ba( b2a2 2 =1 (ba)(ba)(b+a) 2 =a+b 2 (X) U[a;b] (X) =p

VV=E(X2)[E(X)]2

V=∫

b ax 2 bax(a+b 2 2 =(ba)2 12 =ba 2 p 3

U[2;6] P(2;5X4;5)

E(X)

P(2;5X4;5) =4;52;5

62= 0;5

E(X) =2 + 6

2 = 4

ĕ >0E()

X ĕ >0

E() f { f(t) =ett2[0;+1[ f(t) = 0 ab 0a < bP(aXb) =∫b aetdt=[et]b a=eaeb xP(X=x) = 0 x0P(Xx) =∫ x 0 ett=[et]x

0= 1et

P(X0) =P(X2[0;+1[) =x!+1P(Xx) = 1 x!+1∫

x 0 f(t)t=∫ +1 0 f(t)t= 1 f (t) =et[0;+1[

0:10:20:30:40:50:60:70:80:91:0

0:5 1:0 1:5 2:0 2:5 3:0 3:5 4:0 4:5

F(x) =P(Xx) = 1exx0

0:10:20:30:40:50:60:70:80:91:0

0:5 1:0 1:5 2:0 2:5 3:0 3:5 4:0 4:5

X E()

thPXt(Xt+h) =P(Xh)

P(A)̸= 0PA(B) =P(A\B)

P(A)

PXt(Xt+h) =P(XtP(Xt+h)

P(Xt)=P(Xt+h)

P(Xt)=e(t+h)

quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14