Fonction de repartition´ et densit´e - POLARIS
compl`etes, le cas plus g´en ´eral (et beaucoup plus difficile) de X = R Fonction de repartition´ et densit´e Definition´ 1 La fonction de repartition´ (f d r ) de la variable aleatoir´ e X sur Rest la fonction suivante : FX(x) = P(X 2] 1;x]) = P(X 6 x): Propriet´ es´ : 1 la fonction FX(x) est croissante, continue a` droite, lim x1
Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite On suppose que Xsuit une loi normale centrée réduite N(0;1) La fonction de répartition de Xest la fonction F: R R donnée par F(x) = P(X x) = Z x 1 e t2=2 p 2ˇ dt Pour tout réel x, le nombre F(x) est l'aire de la partie représentée sur le gra-phique : x P(X x) f(x) = e x2 =2
Chapitre 2 : Variables aléatoires et distributions
La fonction de répartition obtenue en ne considérant qu’une des deux variables est appelée fonction de répartition marginale On peut l’obtenir directement de la fonction de répartition conjointe : F X ( x ) = F X,Y ( x, ∞) - Si X et Y sont des v a discrètes, on obtient la fonction de masse marginale de X par : = ∑ i p X ( x) p X
Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité
1 1 Rappels sur les fonctions de répartition Les prochaines définitions et propositions sont des rappels du chapitre 12 Définition 1 1 Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire On définit sur R la fonction de répartition de F, notée F X par : ∀x ∈ R, F X (x)=P(X ≤ x) Proposition 1 1 Propriétés des fonctions
Annexe - Extrait de la fonction de répartition loi normale
Annexe - Extrait de la fonction de répartition loi normale centrée et réduite La loi normale est caractérisée par : 2 2 2 1 ( ) t f t e
RAPPELS de PROBABILITÉ
peut interpréter F comme la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle Il découle, que F X caractériselaloiP X deX Ona: P(a X b) = F X(b) F X(a ) sia b; P(a
Cours de mathématiques ECT 2ème année Chapitre 8 Variables
La fonction f vérifie donc bien les trois points de la définition ci-dessus Donc, f est bien unedensitéde probabilité Théorème1: Si X est une variable aléatoire à densité, de fonction de répartition FX et de densité f, alors, en chaqueréel x où f est continue, ona : f (x)=F′ X(x) Théorème2:
Exercices de Probabilités Table des matières
Exercices de Probabilités ChristopheFiszka,ClaireLeGoff SectionST Table des matières 1 Introduction aux probabilités 2 2 V a r, espérance, fonction de répartition 3
Exercices corrigés de probabilités et statistique
de ne pas tomber sur un billet de 5 e devient donc 16 21, puis 15 20 et ainsi de Il tire ensuite un jeton dans une urne choisie en fonction du résultat du dé
STATISTIQUE DESCRIPTIVE - Département de Mathématiques d
(e) de ceux (ou celles) des classes précédentes(lorsque la variable statistique est quantitative) La fréquence cumulée est une fonction F de la borne supérieure de la classe (dans le cas d’une variable statistique continue) 2 3 DIAGRAMMES Ils servent à visualiser la répartition des individus
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2- Variables aléatoires et distributions -1
Chapitre 2 : Variables aléatoires et distributions2.1 Variable aléatoire.....................................................................................................................1
2.2 Fonction de répartition............................................................................................................2
2.3 Fonction de masse et de densité ..............................................................................................2
2.4 Distribution conjointe de variables aléatoires.......................................................................5
2.4.1 Distribution marginale.........................................................................................................5
2.4.2 Distribution conditionnelle..................................................................................................5
2.4.3 Indépendance de variables aléatoires..................................................................................6
2.5 Fonctions de variables aléatoires ............................................................................................7
2.6 Caractéristiques de distributions (une seule variable)..........................................................8
2.6.1 L'espérance mathématique (moyenne) ...............................................................................9
2.6.2 Autres caractéristiques courantes......................................................................................10
2.7 Caractéristiques de distributions (plusieurs variables)......................................................10
2.8 Propriétés de l'opérateur espérance mathématique...........................................................12
2.9 Formules d'approximation pour l'espérance et la variance de fonctions de v.a..............12
2.9.1 Formules d'approximation pour le cas multivariable .......................................................13
2.1 Variable aléatoire
Définition. Variable aléatoire : fonction qui associe un nombre réel à chaque élément de l'espace
échantillonnal.
Exemple 1 : On prélève 3 échantillons de sol et l'on note pour chacun la nature du sol (argile (A), silt
(F), sable (S), gravier (G)). L'espace échantillonnal est : {AAA, AAF, AAS...SGG GGG}. Si X représente le nombre d'échantillons de type sable, alors X(AAA)=0, X(AAF)=0,X(AAS)=1, ...X(ASS)=2, ... X(SSS)=3.
Exemple 2 : Prélever un échantillon de sol et mesurer sa masse volumique sèche. La masse volumique
est une variable aléatoire.Note : L'exemple 1 illustre une variable aléatoire discrète, l'exemple 2 une variable aléatoire continue. Il
existe aussi des v.a. mixtes, i.e. discrète pour certains éléments de l'espace échantillonnal et
continue pour d'autres.2- Variables aléatoires et distributions -2
2.2 Fonction de répartition
Définition :
aléatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à toute valeur particulière " x ».
Propriétés :
i. 0= -∞→)x(FlimXx ii. 1= ∞→)x(FlimXx iii. )x(FXest non-décroissante iv. Si X est une v.a. discrète, alors )x(FX est une fonction en escalier; si X est continue alors )x(FXest une fonction continue.2.3 Fonction de masse et de densité
Définition :
a) cas discret : )xX(P)x(pX== est la fonction de masse de la v.a. discrète X. On peut aussi exprimer la fonction de masse comme : )()()(--=xFxFxpXXX b) cas continu : )x(Fdxd)x(fXX= est la fonction de densité de la v.a. continue X.Propriétés :
a) Cas discret : i.0≥)x(pX
ii. iii. iiXxp1)( b) cas continu : i.0≥)x(fX
ii )a(F)b(Fdx)x(f)bXa(PXXb a iii.1=∫
∞-dx)x(fX En génie civil, on rencontre plus souvent les v.a. continues.Exemple 3 : Des tiges d'acier montrent une résistance en tension variable. La fonction de densité est
donnée par :