Multiplication dun vecteur par un nombre réel
Multiplication d'un vecteur par un nombre réel 1 Remarque ℜ= O; i; j est un repère orthonormal du plan 1 1 Cas d'un réel strictement positif On considère u x; y tel que x>0 et y>0 et λ >0 u= OM M ' x;0 remarque x>0 donc x = OM' N' est le point de coordonnées x;0 x 0 donc x=ON '
Multiplication dun vecteur par un nombre réel
Multiplication d'un vecteur par un nombre réel Fiche exercices EXERCICE 1 1 A et B sont deux points distincts du plan Construire le point C tel que : ⃗AC=2⃗AB 2 A et B sont deux points distincts du plan Construire le point tel que : ⃗AD=− 3 2 ⃗AB EXERCICE 2 A, B et C sont trois points non alignés du plan 1
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IV) La multiplication d’un vecteur par un réel 1 Définition un vecteur non nul et un nombre non nul k, on appelle produit du vecteur par le nombre k est le vecteur ku ayant les caractéristiques suivantes: et ont même direction, même sens si k 0 et de sens contraire si k 0: k00 et 1uu, 1 uu-Si ku 0 alors k=0 ou u 0 Application1 :
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Multiplication d’un vecteur par un nombre réel Nous avons déjà abordé le problème en parlant de l’opposé du vecteur →−u qu’on note −→−u, c’est à dire (−1)×→−u Nous pouvons aisément imaginer que le vecteur 3→−u est en fait égal à →−u +→−u →−u, et les additions de vecteurs, on connaît
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IV) La multiplication d’un vecteur par un réel 1 Définition Etant donné un vecteur et un nombre k, on appelle produit du vecteur par le nombre k le vecteur ku ayant les caractéristiques suivantes: -Si uz0, si k=0 alors k u u 00 si k>0 alors et ont même direction, même sens et k u k u u
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Multiplication d’un vecteur par un réel Barycentre Produit scalaire Produit vectoriel Définition Interprétation Propriété Coordonnées d’un vecteur Le vecteur OM nous donne la position du point M Si x, y, z sont des fonctions de la variable t représentant le temps, le vecteur OM (t) nous donne la position du point M à l’instant t
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3 MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN SCALAIRE 3 1Définition Définition 2 : Soit un vecteur ~u et un réel k On définit le produit k~u du scalaire k par le vecteur ~u par : Œ Si k > 0 k~u a la même direction et même sens que~u et sa longueur est multiplier par k On a alors : jjk~ujj= k jj~ujj
Chapitre 21 Matrices - MATHEMATIQUES
a) Multiplication d’un vecteur ligne de format n par un vecteur colonne de format n Définition 7 (multiplication d’un vecteur ligne par un vecteur colonne de même format) Soit n un entier naturel non nul
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u le vecteur suivant : Construire un représentant des vecteurs suivants : XERCICE u EXERCICE 3D 2 Soit u, v et w trois vecteurs : Chacun de ces vecteurs est obtenu en multipliant u, v ou w par un réel k Identifier chacun d’entre eux 2 ⃗ a 2 33 ⃗⃗ -2 ⃗ - ⃗ 0,5 ⃗ -4 ⃗⃗ 0,75 ⃗
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3 CRÉATION D’UN VECTEUR Création à la volée, génération d’une séquence, chargement à partir d’un fichier R R –Université Lyon 2
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Multiplication d'un vecteur
par un nombre réelFiche exercices
EXERCICE 1
1. A et B sont deux points distincts du plan.
Construire le point C tel que : ⃗AC=2⃗AB2. A et B sont deux points distincts du plan.
Construire le point tel que :
⃗AD=-32⃗AB
EXERCICE 2
A, B et C sont trois points non alignés du plan.1. Construire le point B' tel que :
⃗AB'=2⃗AB Construire le point C' tel que : ⃗AC'=-3⃗ACConstruire le point E tel que :
⃗AE=2⃗AB'-3⃗AC'2. r= (O;⃗i:⃗j) est un repère du plan.A(-1;3) B((3;3) C(-3;5)
Calculer les coordonnées de B', c4 et E.
EXERCICE 3
A et B sont deux points du plan.
On considère le point K tel que :
⃗KA+2⃗KB=⃗0 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservésPage 1Multiplication d'un vecteur
par un nombre réel1. Exprimer ⃗AK en fonction de ⃗AB.
Placer le point K suusle dessin.
Soit M un point du plan. Exprimer le vecteur : ⃗v= ⃗MA+2⃗MB en fonction de ⃗MK.2. r=
(O;⃗i;⃗j) est un repère du plan.A(1;2) B(4;-1)
Calculer les coordonnées du point K.
Soit M un point du plan de coordonnées (x;y).
Exprimer les coordonnées du vecteur
⃗v en fonction de x et y et retrouver le résultat de la première question.EXERCICE 4
r= (0;⃗i;⃗j) est un repère du plan.A(-1;-4) B(-2;-1) C(3;-2) M(x;y).
1. Exprimer en fonction de x et y les coordonnées du vecteur :
⃗v=2⃗MA-3⃗MB+2⃗MC.2. Déterminer les coordonnées du point M tel que :
⃗v=⃗0.EXERCICE 5
A, B et C sont trois points non alignnés du plan.1. Construire les points :
. B' tel que ⃗AB'=43⃗ABCopyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservésPage 2
Multiplication d'un vecteur
par un nombre réel . C' tel que ⃗AC'=32⃗AC
. E tel que ⃗AE=43⃗AB+3
2⃗AC
2. r=
(O;⃗i;⃗j) est un repère du plan.A(-1:2) B(2;3) c(1;-1)
Calculer les coordonnées de K et G.
Calculer les coordonnées du vecteur
⃗GA+⃗GB+2⃗GC.EXERCICE 7
r= (O;⃗i;⃗j) est un repère du plan.A(3;5) B(-1;-1) C(7;-2) M(x;y)
Calculer les coordonnées du vecteur : ⃗v=2 ⃗MA-2⃗MB+⃗MC.EXERCICE 8
r= (0;⃗i;⃗j) est un repère du plan ⃗u(2:-3) et ⃗v(-2;1).Calculer les coordonnées des vecteurs.
⃗t=5(⃗u-2⃗v)-3(⃗u-⃗v)Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservésPage 3
Multiplication d'un vecteur
par un nombre réelCORRECTION
EXERCICE 1
Construire le point G tel que ⃗AC=2⃗ABConstruire le point D tel que ⃗AD=-32⃗AB
EXERCICE 2
1. Construire le point B' tel que
⃗AB'=2⃗AB Construire le point C' tel que ⃗AC'=-3⃗ACConstruire le point E tel que
⃗AE=2⃗AB-3⃗AC AB'EC' est un parallélogramme.2. Calculer les coordonnées de B', C' et E
A(-1:3) B(3;3) C(-3;5)
⃗AB(3+1;3-3) ⃗AB(4;0) ⃗AB'=2⃗AB ⃗AB'(2×4:2×0) ⃗AB'(8;0) ⃗AB'(xB'+1;yB'-3)On obtient :
{xB'+1=8 yB'=0 ⇔ {xB'=7 yB'=3 B'(7;3) ⃗AC(-3+1;5-3) ⃗AC(-2;2) ⃗AC'=-3⃗AC ⃗AC'(-3×(-2);-3×2) ⃗AC'(6;-6) ⃗AC'(xC'+1;yC'-3) Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservésPage 4Multiplication d'un vecteur
par un nombre réelOn obtient {xc'+1=6
yC'-3=-6 ⇔ {xC'=5 yc'=3 C'(5;-3) ⃗AE=2⃗AB-3⃗AC=⃗AB'+⃗AC' ⃗AE(8+6;0-6) ⃗AE(14;-6) ⃗AE(xE+1;yE-3)On obtient
{xE+1=14 yE-3=-6 ⇔ {xE=13 yE=-3 E(13;-3).EXERCICE 3
1. Exprimer
⃗AK en fonction de ⃗AB ⃗KA+2⃗KB=⃗0 En utilisant la relation de Chasles⃗KA+2(⃗KA+⃗AB)=⃗0 ⇔ ⃗KA+2⃗KA+2⃗AB=⃗0 ⇔ 3⃗KA+2⃗AB=⃗0 ⇔ 2⃗AB=3⃗AK ⇔
⃗AK=2