Produit vectoriel - F2School
MVA006 Applications de l’Analyse a` la Geom´ etrie–´ Cours n 9 Jacques V´elu (CNAM) Chapitre 5 — Produit vectoriel, produit mixte Produit vectoriel 1 Rappels 1 On a vu que V V0, le produit vectoriel de deux vecteurs V et V0de R3 est donne par les formules :´ V = a{ + b+ c k V0= a0{ + b0+ c0k V V0= (bc0 cb0){ + (ca0 ac0
Produit vectoriel et déterminant dans l’espace
Propriétés du produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace Bien prendre garde, que contrairement au produit scalaire, qui d’ailleurs est un nomre et pas un ve teur, le produit vetoriel n’est pas ommutatif En effet, hanger l’ordre des veteurs, hange le signe du produit : - Bilinéarité
Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool
Le produit vectoriel des deux vecteurs et est le vecteur w AD tel ) ⊥( ) La base AB AC AD;; est directe = × ???????? ????où ????la mesure de l’angle BAC Le vecteur w est indépendant du choix des représentants des vecteurs et Si et sont colinéaires ; on pose que leur produit vectoriel est 0 On note w u v
YOUSSEFBOULILA PRODUIT VECTORIEL DANS E
Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v de E , est le vecteur noté: défini par: Si et sont colinéaires Alors = 0 Sinon, est: Le vecteur orthogonal à chacun des vecteurs et tel que: ( ; ; ) forme une base directe de E et tel que: u v = u uv usin(u , v ) 2) Exemples:
Produit vectoriel - F2School
Produit vectoriel En SI, on définit et on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace de dimension 3 La notion de produit vectoriel ne fait pas partie du programme de mathématiques de maths sup et de maths spé Nous donnons ici un complément hors programme sur le sujet
La double nature du produit vectoriel
La double nature du produit vectoriel Venons-en maintenant au produit vectoriel, pour lequel on donne usuellement deux définitions, l’une géométrique et en partie intuitive, l’autre algébrique et formelle Rappelons ces deux définitions Définition géométrique Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est un vecteur w (aussi
Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel
Le produit scalaire nous permet donc de déduire la perendicularité géometrique lorsqu’il est de valeur nulle Expression analytique : I 3 3 Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA et OB est le vecteur représenté par le bipoint OC avec : - Un module égale à OA OB sin(θ)
Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL
Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL page Pro Benmoussa Med IIII Produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace orienté: 01 Définition géométrique du produit vectoriel : a Définition : u AB et v AC deux vecteurs de l’espace E orienté Le produit vectoriel de u et v ( dans cet ordre ) est le vecteur w AD
Chapitre I : calcul vectoriel - Université de Sétif
V PRODUIT VECTORIEL V 1 Définition Le produit vectoriel de deux vecteurs ⃗ ???? ⃗ est un vecteur ⃗⃗⃗ noté : ⃗ ∧ ⃗ de direction telle que : ⃗⃗⃗ ⊥ ⃗ et ⃗⃗⃗ ⊥ ⃗ ( ⃗⃗⃗ est perpendiculaire au plan contenant les vecteurs ⃗ et ⃗
Sur le produit vectoriel - Département de Mathématiques d
Sur le produit vectoriel Daniel PERRIN Introduction On etudie les deux approches usuelles du produit vectoriel : la version el ementaire d ecrite en terme d’orthogonalit e et de sinus et celle qui prend comme point de d epart une application bilin eaire altern ee Dans tout ce qui suit, on travaille dans un espace vectoriel euclidien de
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Produit vectoriel
En SI, on définit et on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs de l"espace de dimension 3. La notion de produit vectoriel
ne fait pas partie du programme de mathématiques de maths supet de maths spé. Nous donnons ici un complément hors
programme sur le sujet.Dans tout ce qui suit,Edésigne unR-espace vectoriel de dimension3, muni d"un produit scalaire (le produit scalaire
de deux vecteursuetvsera notéu.v). On fixe une bonne fois pour toutes une base orthonormée directeB= (i,j,k).
Le produit mixte de trois vecteursu,vetwest noté[u,v,w](on rappelle que[u,v,w] =detB(u,v,w), le résultat ne
dépendant pas du choix d"une base orthonormée directe).1) Définition algébrique du produit vectoriel
On rappelle la description des formes linéaires de l"espaceeuclidien(E,.).Théorème 1.Pour toute forme linéaire?surE, il existe un vecteuruet un seul tel que?x?E,?(x) =u.x.
Soient alorsuetvdeux vecteurs. L"applicationx?→[u,v,x]est une forme linéaire sur l"espace euclidien(E,.). Donc, il
existe un unique vecteurwtel que ?x?E,[u,v,x] =w.x Le vecteurwest par définition leproduit vectorieldeuetv. Il se noteu?v. Ainsi, par définition, ?x?E,[u,v,x] = (u?v).xL"utilisation du mot " produit » utilisé dans l"expression "produit vectoriel » sera motivée au paragraphe suivant par le
fait que l"application(u,v)?→u?vest bilinéaire. L"expression " produit mixte » vient de la formule en rouge ci-dessus :
le produit mixte est un " mélange » de produit vectoriel et de produit scalaire.2) Propriétés algébriques et géométriques du produit vectoriel.
Théorème 2.Le produit vectoriel est anti-symétrique ou encore ?(u,v)?E2, v?u= -u?v.Démonstration.Soit(u,v)?E2. Soitx?E.
(v?u).x= [v,u,x] = -[u,v,x] = -(u?v).x Donc, pour toutxdeE,(v?u+u?v).x=0. On en déduit quev?u+u?v?E?={0}puis quev?u= -u?v. Théorème 3.Le produit vectoriel est bilinéaire ou encore ?(u,v,w)?E3,?(λ,μ)?R2,(λu+μv)?w=λ(u?w) +μ(v?w) et ?(u,v,w)?E3,?(λ,μ)?R2, u?(λv+μw) =λ(u?v) +μ(u?w) Démonstration.On démontre la linéarité par rapport à la première variable.Soient(u,v,w)?E3et(λ,μ)?R2. Soitx?E.
((λu+μv)?w).x= [λu+μv,w,x] =λ[u,w,x] +μ[v,w,x] =λ(u?w).x+μ(v?w).x = (λ(u?w) +μ(v?w)).xComme dans la démonstration précédente,(λu+μv)?w- (λ(u?w)+μ(v?w))?E?puis(λu+μv)?w=λ(u?w)+μ(v?w).
La linéarité du produit vectoriel par rapport à la deuxième variable découle alors de sa linéarité par rapport à la première variable
et de son anti-symétrie. c ?Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.fr Théorème 4.?(u,v)?E2,u?v=0?(u,v)liée.?(u,v)?E2,u?v?=0?(u,v)libre.Démonstration.Soit(u,v)?E2.
Si(u,v)est liée, alors pour toutx?E,(u,v,x)est liée en tant que sur-famille d"une famille liée puis, pour toutx?E,
(u?v).x= [u,v,x] =0Donc,u?v?E?={0}puisu?v=0.
Si(u,v)est libre, il existex0?Etel que(u,v,x0)soit une base deE. Mais alors, (u?v).x0= [u,v,x0]?=0 et en particulier,u?v?=0.Théorème 5.?(u,v)?E2,[u,v,u?v] =?u?v?2
Démonstration.Pour tout vecteurxdeE,[u,v,x] = (u?v).xet en particulier, [u,v,u?v] = (u?v).(u?v) =?u?v?2.Théorème 6.Soit(u,v)?E2tel que(u,v)soit une famille libre deE. Alors,(u,v,u?v)est une base directe deE.
Démonstration.Soit(u,v)?E2tel que(u,v)soit une famille libre deE. D"après les théorèmes 4 et 5,
[u,v,u?v] =?u?v?2> 0 et donc(u,v,u?v)est une base de directe deE.?Théorème 7.?(u,v)?E2,u?v?(u,v)?.
Démonstration.Soit(u,v)?E2. La famille(u,v,u)est liée et donc(u?v).u= [u,v,u] =0. De même,(u?v).v=0. Ainsi,
u?v?u?etu?v?v?puisu?v?(u,v)?.? ?Commentaire. Donc, si(u,v)est une famille libre,u?vest un vecteur normal au plan Vect(u,v).Théorème 8.Soit(u,v)une famille orthonormée deE. Alors,(u,v,u?v)est une base orthonormée directe deE.
Démonstration.Soit(u,v)une famille orthonormée deE. On sait déjà queu?vest orthogonal àuetvet que(u,v,u?v)
est une base directe deE. Il ne reste plus à vérifier que?u?v?=1.Il existe un vecteurwet un seul tel que(u,v,w)soit une base orthonormée directe deE. Le vecteuru?vest dans(u,v)?=Vect(w).
Donc, il existeλ?Rtel queu?v=λw. Mais alors,λ=λ(w.w) = (λw).w= (u?v).w= [u,v,w] =1
(déterminant de la base orthonormée directe(u,v,w)dans la base orthonormée directe(i,j,k)). On en déduit queu?v=wpuis
que(u,v,u?v)est une base orthonormée directe deE.Ainsi, si(u,v)est une famille orthonormée,u?vest l"uniquevecteurwde l"espace tel que la famille(u,v,w)soit une
base orthonormée directe de l"espace. Donc, Théorème 9.i?j= -j?i=k,j?k= -k?j=ietk?i= -i?k=j.Démonstration.Les familles(i,j,k),(j,k,i)et(k,i,j)sont des bases orthonormées directes. Donc,i?j=k,j?k=iet
k?i=j. Les trois autres égalités en découlent par anti-symétrie. c ?Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés.2 http ://www.maths-france.fr Théorème 10.(coordonnées du produit vectoriel dans la base orthonorméedirecte(i,j,k))Siua pour coordonnées(x,y,z)dansBetva pour coordonnées(x?,y?,z?)dansB, alors les coordonnées deu?v
dansBsont ?y y? z z ,-????x x? z z ,????x x? y y Donc, x y z)) x? y z y y? z z ?x x? z z ?x x? y yDémonstration.
1 ère démonstration.Par bilinéarité du produit vectoriel,
u?v= (xi+yj+zk)?(x?i+y?j+z?k) =xx?(i?i) +xy?(i?j) +xz?(i?k) +yx?(j?i) +yy?(j?j) +yz?(j?k) +zx?(k?i) +zy?(k?j) +zz?(k?k) =0+xy?k-xz?j-yx?k+0+yz?i+zx?j-zy?i+0= (yz?-zy?)i- (xz?-zx?)j+ (xy?-yx?)k =????y y? z z i-????x x? z z j+????x x? y y k.2 ème démonstration.Notons(α,β,γ)les coordonnées deu?vdans la baseB. Pour tout vecteurwde coordonnées(a,b,c)
dans la baseB, on aαa+βb+γc= (u?v).w= [u,v,w] =?x x
?a y y ?b z z ?c? ?y y? z z a-????x x? z z b+????x x? y y c(en développant suivant la troisième colonne).Ainsi,
?(a,b,c)?R3, αa+βb+γc=????y y? z z a-????x x? z z b+????x x? y y c.En évaluant les deux membres en chacun des trois triplets(1,0,0),(0,1,0)et(0,0,1), on obtientα=????y y?
z z ,β= -????x x? z z etγ=????x x? y yLes coordonnées du produit vectoriel deuetvdans la baseBsont donc effectivementles cofacteursdes coefficients de
la troisième colonne dans le déterminant ?x x y y z zOn peut aussi écrire formellement (le déterminant qui suit n"a aucun sens cari,jetksont des vecteurs) :
u?v=?x x ?i y y ?j z z ?k?Théorème 11.(norme du produit vectoriel)
Siuetvsont orthogonaux, alors?u?v?=?u? × ?v?.
Plus généralement, siuetvsont tous les deux non nuls,?u?v?=?u? × ?v? ×sin(?u,v)où(?u,v)désigne l"angle
géométrique (non orienté) entreuetv. c?Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés.3 http ://www.maths-france.fr Démonstration.Siu=0ouv=0,?u? × ?v?=0=?u?v?. Siu?=0,v?=0et siuetvsont orthogonaux, la famille ?1 ?u?u,1?v?v,?1?u?u? ??1?v?v?? est une base orthonormée directe de l"espace. Donc, ?1 ?u?u,1?v?v,?1?u?u? ??1?v?v?? =1.Par trilinéarité,
?1 ?u?u,1?v?v,?1?u?u? ??1?v?v?? =[u,v,u?v]?u?2?v?2puis ?u?v?2= [u,v,u?v] =?u?2?v?2.Finalement, siuetvsont orthogonaux,?u?v?=?u??v?.
Supposons maintenant,uetvtous deux non nuls et quelconques. Si(u,v)est liée, sin(u,v) =0puis?u?×?v?×sin(?u,v) =0=?u?v?.
Si(u,v)est libre, posonsθ= (?u,v)(θest un réel élément de[0,π]). Notonsv?le projeté orthogonal devsuru?dans le plan
Vect(u,v).
-→u-→v -→v? u?v=u?v?+u?(v-v?) =u?v?carv-v?est colinéaire àupuis,uetv?étant orthogonaux, ?u?v?=??u?v???=?u? × ?v??=?u? × ?v? ×sinθ. ?Commentaire.?On note que,uetvayant une norme donnée, la norme deu?vest maximum quanduetvsont orthogonaux et minimum quand
uetvsont colinéaires.?Au passage, on a vu queu?v=u?v?oùv?est le projeté orthogonal devsuru?dans Vect(u,v)alors queu.v=u.v??oùv??est
le projeté orthogonal devsurudans Vect(u,v). Le produit scalaire élimine ce qui est orthogonal pour garder ce qui est colinéaire
alors que le produit vectoriel élimine ce qui est colinéairepour garder ce qui est orthogonal.Ainsi, quand(u,v)est une famille libre,u?vest le vecteur orthogonal àuetv, de norme l"aire du parallélogramme bâti
suruetvet tel que la famille(u,v,u?v)soit directe. On dit souvent que le produit vectoriel de deuxvecteurs " est une
aire orientée ». -→u-→v -→u?-→vquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2